Theorem angmndaddeu6 29255

Description: There exists a unique point 𝑠 satisfying the conditions of angle addition. Case where the first angle is a zero angle, and the second angle is a straight angle. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmndadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmndadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmndadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmndadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmndadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmndadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmndadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmndaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmndaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmndaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmndaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmndaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmndaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmndaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmndaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmndaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmndaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmndaddeu6.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
angmndaddeu6.2	⊢ (𝜑 → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)

Assertion

Ref	Expression
angmndaddeu6	⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))

Distinct variable groups:   − ,𝑠   𝐺,𝑠   𝐼,𝑠   𝑃,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑌,𝑠   𝑍,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑠, 𝑑)   𝑃(𝑑)   ∼ (𝑠, 𝑑)   𝑈(𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐼(𝑑)   𝐿(𝑠, 𝑑)   − (𝑑)   𝑉(𝑑)   𝑊(𝑠, 𝑑)   𝑋(𝑠, 𝑑)   𝑌(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem angmndaddeu6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmndadd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmndadd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		angmndaddov.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
5		angmndaddov.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
6		angmndaddov.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
7		angmndadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		angmndaddov.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		angmndadd.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		angmndaddeu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
11	10	necomd 3012	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
12		angmndaddeu.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
13	12	necomd 3012	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	hlcgreu 28959	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
15		angmndadd.c	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
16	7	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
18	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
19	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
21	1, 2, 3, 17, 18, 19, 16, 20	hlcomd 28945	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑠)
22		angmndaddeu6.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
23	22	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
24	5	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
25	1, 15, 3, 16, 21, 23, 19, 24	zerocgra 29206	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
26		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))
27	25, 26	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
28	27	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))) → (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
29	8	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
30		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
31	4	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
32	7	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
33	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
34	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
35		angmndaddov.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
36	35	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
37	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
38		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
39	37, 38	breqdi 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
40	1, 2, 32, 3, 29, 31, 30, 33, 34, 36, 39	cgracom 29204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩)
41	22	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
42	1, 2, 9, 32, 33, 34, 36, 29, 31, 30, 40, 3, 41	cgrahl 29210	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑠)
43	1, 2, 3, 29, 30, 31, 32, 42	hlcomd 28945	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
44		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))
45	43, 44	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
46	45	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))) → (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
47	28, 46	impbida 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) → ((𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ↔ (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))))
48	47	reubidva 3381	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))))
49	14, 48	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃!wreu 3365  {crab 3414   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  0cc0 11125  1c1 11126  2c2 12320  3c3 12321  ..^cfzo 13709  ⟨“cs3 14913  Basecbs 17303  distcds 17353  TarskiGcstrkg 28764  Itvcitv 28770  LineGclng 28771  hlGchlg 28938  cgrAccgra 29189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-trkgc 28785  df-trkgb 28786  df-trkgcb 28787  df-trkg 28790  df-cgrg 28849  df-leg 28921  df-hlg 28939  df-cgra 29190

This theorem is used by:  angmndaddov2lem  29258