Theorem bccn0 45312

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose 0. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
bccn0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bccn0	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) = 1)

Proof of Theorem bccn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccn0.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		0nn0 12614	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
4	1, 3	bccval 45307	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) = ((𝐶 FallFac 0) / (!‘0)))
5		fallfac0 16187	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 FallFac 0) = 1)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 0) = 1)
7		fac0 14413	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘0) = 1)
9	6, 8	oveq12d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 0) / (!‘0)) = (1 / 1))
10		1div1e1 12000	. . 3 ⊢ (1 / 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 0) / (!‘0)) = 1)
12	4, 11	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   / cdiv 11966  ℕ₀cn0 12599  !cfa 14410   FallFac cfallfac 16164  C_𝑐cbcc 45305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-prod 16066  df-risefac 16166  df-fallfac 16167  df-bcc 45306

This theorem is used by:  bccn1  45313  binomcxplemnotnn0  45325