Theorem bccn1 43652

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose 1. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
bccn0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bccn1	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = 𝐶)

Proof of Theorem bccn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccn0.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		0nn0 12486	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
4	1, 3	bccp1k 43649	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(0 + 1)) = ((𝐶C𝑐0) · ((𝐶 − 0) / (0 + 1))))
5		0p1e1 12333	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 7413	. . . 4 ⊢ (𝐶C𝑐(0 + 1)) = (𝐶C𝑐1)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(0 + 1)) = (𝐶C𝑐1))
8	1	bccn0 43651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) = 1)
9	1	subid1d 11559	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 0) = 𝐶)
10	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
11	9, 10	oveq12d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 0) / (0 + 1)) = (𝐶 / 1))
12	1	div1d 11981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 1) = 𝐶)
13	11, 12	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 0) / (0 + 1)) = 𝐶)
14	8, 13	oveq12d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐0) · ((𝐶 − 0) / (0 + 1))) = (1 · 𝐶))
15	4, 7, 14	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = (1 · 𝐶))
16	1	mullidd 11231	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   − cmin 11443   / cdiv 11870  ℕ₀cn0 12471  C_𝑐cbcc 43644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852  df-risefac 15952  df-fallfac 15953  df-bcc 43645

This theorem is referenced by: (None)