Theorem bccn1 43781

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose 1. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
bccn0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bccn1	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = 𝐶)

Proof of Theorem bccn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccn0.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		0nn0 12517	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
4	1, 3	bccp1k 43778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(0 + 1)) = ((𝐶C𝑐0) · ((𝐶 − 0) / (0 + 1))))
5		0p1e1 12364	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (𝐶C𝑐(0 + 1)) = (𝐶C𝑐1)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(0 + 1)) = (𝐶C𝑐1))
8	1	bccn0 43780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) = 1)
9	1	subid1d 11590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 0) = 𝐶)
10	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
11	9, 10	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 0) / (0 + 1)) = (𝐶 / 1))
12	1	div1d 12012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 1) = 𝐶)
13	11, 12	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 0) / (0 + 1)) = 𝐶)
14	8, 13	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐0) · ((𝐶 − 0) / (0 + 1))) = (1 · 𝐶))
15	4, 7, 14	3eqtr3d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = (1 · 𝐶))
16	1	mullidd 11262	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474   / cdiv 11901  ℕ₀cn0 12502  C_𝑐cbcc 43773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882  df-risefac 15982  df-fallfac 15983  df-bcc 43774

This theorem is referenced by: (None)