Theorem bccn1 45082

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose 1. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
bccn0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bccn1	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = 𝐶)

Proof of Theorem bccn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccn0.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		0nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
4	1, 3	bccp1k 45079	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(0 + 1)) = ((𝐶C𝑐0) · ((𝐶 − 0) / (0 + 1))))
5		0p1e1 12365	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (𝐶C𝑐(0 + 1)) = (𝐶C𝑐1)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(0 + 1)) = (𝐶C𝑐1))
8	1	bccn0 45081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) = 1)
9	1	subid1d 11562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 0) = 𝐶)
10	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
11	9, 10	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 0) / (0 + 1)) = (𝐶 / 1))
12	1	div1d 11987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 1) = 𝐶)
13	11, 12	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 0) / (0 + 1)) = 𝐶)
14	8, 13	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐0) · ((𝐶 − 0) / (0 + 1))) = (1 · 𝐶))
15	4, 7, 14	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = (1 · 𝐶))
16	1	mullidd 11231	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐1) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109   − cmin 11445   / cdiv 11875  ℕ₀cn0 12508  C_𝑐cbcc 45074

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-prod 15963  df-risefac 16065  df-fallfac 16066  df-bcc 45075

This theorem is used by: (None)