Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem17 39333
 Description: Inequality of 2^{2n}. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmineqlem17.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem17 (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem17
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11902 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
3 lcmineqlem17.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nn0mulcld 11948 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5 binom11 15179 . . . 4 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (2↑(2 · 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘))
7 fzfid 13336 . . . 4 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
84adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9 elfzelz 12902 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
109adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
118, 10jca 515 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ))
12 bccl 13678 . . . . . 6 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11944 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℝ)
153nn0zd 12073 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
16 bccl 13678 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
174, 15, 16syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
1817nn0red 11944 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
1918adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
20 bcmax 25862 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
213, 9, 20syl2an 598 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
227, 14, 19, 21fsumle 15146 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁))
236, 22eqbrtrd 5052 . 2 (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁))
2417nn0cnd 11945 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
25 fsumconst 15137 . . . 4 (((0...(2 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
267, 24, 25syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
27 hashfz0 13789 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(2 · 𝑁))) = ((2 · 𝑁) + 1))
284, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0...(2 · 𝑁))) = ((2 · 𝑁) + 1))
2928oveq1d 7150 . . 3 (𝜑 → ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
3026, 29eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
3123, 30breqtrd 5056 1 (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  Ccbc 13658  ♯chash 13686  Σcsu 15034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035 This theorem is referenced by:  lcmineqlem20  39336
 Copyright terms: Public domain W3C validator