Theorem lcmineqlem17 42845

Description: Inequality of 2^{2n}. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lcmineqlem17.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem17	⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem17

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12532	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
3		lcmineqlem17.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nn0mulcld 12581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5		binom11 15904	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (2↑(2 · 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘))
7		fzfid 14022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
8	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9		elfzelz 13563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	8, 10	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
12		bccl 14371	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12577	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℝ)
15	3	nn0zd 12627	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		bccl 14371	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
17	4, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
20		bcmax 27471	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
21	3, 9, 20	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
22	7, 14, 19, 21	fsumle 15869	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁))
23	6, 22	eqbrtrd 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁))
24	17	nn0cnd 12578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
25		fsumconst 15859	. . . 4 ⊢ (((0...(2 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
26	7, 24, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
27		hashfz0 14482	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(2 · 𝑁))) = ((2 · 𝑁) + 1))
28	4, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0...(2 · 𝑁))) = ((2 · 𝑁) + 1))
29	28	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
30	26, 29	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
31	23, 30	breqtrd 5139	1 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   ≤ cle 11255  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ...cfz 13546  ↑cexp 14110  Ccbc 14351  ♯chash 14379  Σcsu 15756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-ico 13389  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757

This theorem is used by:  lcmineqlem20  42848