Theorem lcmineqlem17 40898

Description: Inequality of 2^{2n}. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lcmineqlem17.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem17	⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem17

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12485	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
3		lcmineqlem17.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nn0mulcld 12533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5		binom11 15774	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (2↑(2 · 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘))
7		fzfid 13934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
8	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9		elfzelz 13497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	8, 10	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
12		bccl 14278	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12529	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℝ)
15	3	nn0zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		bccl 14278	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
17	4, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12529	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
20		bcmax 26770	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
21	3, 9, 20	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
22	7, 14, 19, 21	fsumle 15741	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁))
23	6, 22	eqbrtrd 5169	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁))
24	17	nn0cnd 12530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
25		fsumconst 15732	. . . 4 ⊢ (((0...(2 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
26	7, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
27		hashfz0 14388	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(2 · 𝑁))) = ((2 · 𝑁) + 1))
28	4, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0...(2 · 𝑁))) = ((2 · 𝑁) + 1))
29	28	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
30	26, 29	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
31	23, 30	breqtrd 5173	1 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   ≤ cle 11245  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ...cfz 13480  ↑cexp 14023  Ccbc 14258  ♯chash 14286  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  lcmineqlem20  40901