Theorem lcmineqlem17 41568

Description: Inequality of 2^{2n}. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lcmineqlem17.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem17	⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem17

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
3		lcmineqlem17.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nn0mulcld 12562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5		binom11 15805	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (2↑(2 · 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘))
7		fzfid 13965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
8	4	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9		elfzelz 13528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	8, 10	jca 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
12		bccl 14308	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12558	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ∈ ℝ)
15	3	nn0zd 12609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		bccl 14308	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
17	4, 15, 16	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
19	18	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
20		bcmax 27224	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
21	3, 9, 20	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
22	7, 14, 19, 21	fsumle 15772	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁))
23	6, 22	eqbrtrd 5166	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁))
24	17	nn0cnd 12559	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
25		fsumconst 15763	. . . 4 ⊢ (((0...(2 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
26	7, 24, 25	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
27		hashfz0 14418	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(2 · 𝑁))) = ((2 · 𝑁) + 1))
28	4, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0...(2 · 𝑁))) = ((2 · 𝑁) + 1))
29	28	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0...(2 · 𝑁))) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
30	26, 29	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(2 · 𝑁))((2 · 𝑁)C𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
31	23, 30	breqtrd 5170	1 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   ≤ cle 11274  2c2 12292  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ...cfz 13511  ↑cexp 14053  Ccbc 14288  ♯chash 14316  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  lcmineqlem20  41571