Theorem blo3i 30877

Description: Properties that determine a bounded linear operator. (Contributed by NM, 13-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
isblo3i.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
isblo3i.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blo3i	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝑦,𝑇   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem blo3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) = (𝐴 · (𝑀‘𝑦)))
2	1	breq2d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))))
3	2	ralbidv 3159	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))))
4	3	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
5		isblo3i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		isblo3i.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
7		isblo3i.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
8		isblo3i.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9		isblo3i.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		isblo3i.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		isblo3i.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	isblo3i 30876	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))
13	12	biimpri 228	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
14	4, 13	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦)))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
15	14	3impb 1114	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   · cmul 11031   ≤ cle 11167  NrmCVeccnv 30659  BaseSetcba 30661  norm_CVcnmcv 30665   LnOp clno 30815   BLnOp cblo 30817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-nmcv 30675  df-lno 30819  df-nmoo 30820  df-blo 30821  df-0o 30822

This theorem is referenced by:  ipblnfi  30930