Theorem blo3i 30774

Description: Properties that determine a bounded linear operator. (Contributed by NM, 13-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
isblo3i.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
isblo3i.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blo3i	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝑦,𝑇   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem blo3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) = (𝐴 · (𝑀‘𝑦)))
2	1	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))))
3	2	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))))
4	3	rspcev 3572	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦)))
5		isblo3i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		isblo3i.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
7		isblo3i.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
8		isblo3i.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9		isblo3i.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		isblo3i.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		isblo3i.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	isblo3i 30773	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))))
13	12	biimpri 228	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
14	4, 13	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦)))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
15	14	3impb 1114	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀‘𝑦))) → 𝑇 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000   · cmul 11006   ≤ cle 11142  NrmCVeccnv 30556  BaseSetcba 30558  norm_CVcnmcv 30562   LnOp clno 30712   BLnOp cblo 30714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-grpo 30465  df-gid 30466  df-ginv 30467  df-ablo 30517  df-vc 30531  df-nv 30564  df-va 30567  df-ba 30568  df-sm 30569  df-0v 30570  df-nmcv 30572  df-lno 30716  df-nmoo 30717  df-blo 30718  df-0o 30719

This theorem is referenced by:  ipblnfi  30827