MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegcon 28766
Description: Any segment ๐ด๐ต can be extended to a point ๐‘ฅ such that ๐ต๐‘ฅ is congruent to ๐ถ๐ท. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegcon ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)(๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท

Proof of Theorem axsegcon
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ ๐‘ก ๐‘– are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axsegconlem1 28756 . . . . 5 ((๐ด = ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
21ex 411 . . . 4 (๐ด = ๐ต โ†’ (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
3 simprll 777 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
4 simprlr 778 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
5 simpl 481 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
6 simprr 771 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
7 eqid 2728 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)
8 eqid 2728 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)
9 eqid 2728 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))
107, 8, 9axsegconlem8 28763 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
117, 8axsegconlem7 28762 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โˆˆ (0[,]1))
127, 8, 9axsegconlem10 28765 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))))
137, 8, 9axsegconlem9 28764 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
14 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))
1514oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)) = (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))
1615oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))))
1716eqeq2d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))))
1817ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))))
1914oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–)) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))
2019oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2))
2120sumeq2sdv 15692 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2))
2221eqeq1d 2730 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
2318, 22anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
24 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))))
2524oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))
26 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)) = (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))
2725, 26oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))))
2827eqeq2d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))))
2928ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))))
3029anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
3123, 30rspc2ev 3624 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โˆˆ (0[,]1) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
3210, 11, 12, 13, 31syl112anc 1371 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
333, 4, 5, 6, 32syl31anc 1370 . . . . 5 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
3433ex 411 . . . 4 (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
352, 34pm2.61ine 3022 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
36 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
37 simplll 773 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
38 simpr 483 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
39 brbtwn 28738 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)))))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)))))
41 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
42 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
43 brcgr 28739 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
4436, 38, 41, 42, 43syl22anc 837 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
4540, 44anbi12d 630 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
46 r19.41v 3186 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
4745, 46bitr4di 288 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
4847rexbidva 3174 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)(๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
4935, 48mpbird 256 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)(๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))
50493adant1 1127 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)(๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  โŸจcop 4638   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484   / cdiv 11911  โ„•cn 12252  2c2 12307  [,]cicc 13369  ...cfz 13526  โ†‘cexp 14068  โˆšcsqrt 15222  ฮฃcsu 15674  ๐”ผcee 28727   Btwn cbtwn 28728  Cgrccgr 28729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-ee 28730  df-btwn 28731  df-cgr 28732
This theorem is referenced by:  eengtrkg  28825  cgrtriv  35639  segconeu  35648  btwntriv2  35649  btwnouttr2  35659  btwndiff  35664  ifscgr  35681  cgrxfr  35692  lineext  35713  btwnconn1lem13  35736  btwnconn1lem14  35737  segcon2  35742
  Copyright terms: Public domain W3C validator