Theorem axsegcon 29012

Description: Any segment 𝐴𝐵 can be extended to a point 𝑥 such that 𝐵𝑥 is congruent to 𝐶𝐷. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axsegcon	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem axsegcon

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axsegconlem1 29002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
2	1	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
3		simprll 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simprlr 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
9		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))
10	7, 8, 9	axsegconlem8 29009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
11	7, 8	axsegconlem7 29008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1))
12	7, 8, 9	axsegconlem10 29011	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))))
13	7, 8, 9	axsegconlem9 29010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
14		fveq1 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (𝑥‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))
15	14	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (𝑡 · (𝑥‘𝑖)) = (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))
16	15	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))))
17	16	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
18	17	ralbidv 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
19	14	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → ((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))
20	19	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = (((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
21	20	sumeq2sdv 15638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
22	21	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
23	18, 22	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
24		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → (1 − 𝑡) = (1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))))
25	24	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)))
26		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)) = (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))
27	25, 26	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))))
28	27	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
29	28	ralbidv 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
30	29	anbi1d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
31	23, 30	rspc2ev 3591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
32	10, 11, 12, 13, 31	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
33	3, 4, 5, 6, 32	syl31anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
34	33	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
35	2, 34	pm2.61ine 3016	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
36		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
38		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
39		brbtwn 28984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖)))))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖)))))
41		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
42		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43		brcgr 28985	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
44	36, 38, 41, 42, 43	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
45	40, 44	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
46		r19.41v 3168	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
47	45, 46	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
48	47	rexbidva 3160	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
49	35, 48	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
50	49	3adant1 1131	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  [,]cicc 13276  ...cfz 13435  ↑cexp 13996  √csqrt 15168  Σcsu 15621  𝔼cee 28972   Btwn cbtwn 28973  Cgrccgr 28974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-ee 28975  df-btwn 28976  df-cgr 28977

This theorem is referenced by:  eengtrkg  29071  cgrtriv  36218  segconeu  36227  btwntriv2  36228  btwnouttr2  36238  btwndiff  36243  ifscgr  36260  cgrxfr  36271  lineext  36292  btwnconn1lem13  36315  btwnconn1lem14  36316  segcon2  36321