MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegcon 27918
Description: Any segment ๐ด๐ต can be extended to a point ๐‘ฅ such that ๐ต๐‘ฅ is congruent to ๐ถ๐ท. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegcon ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)(๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท

Proof of Theorem axsegcon
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ ๐‘ก ๐‘– are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axsegconlem1 27908 . . . . 5 ((๐ด = ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
21ex 414 . . . 4 (๐ด = ๐ต โ†’ (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
3 simprll 778 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
4 simprlr 779 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
5 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
6 simprr 772 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
7 eqid 2733 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)
8 eqid 2733 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)
9 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))
107, 8, 9axsegconlem8 27915 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
117, 8axsegconlem7 27914 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โˆˆ (0[,]1))
127, 8, 9axsegconlem10 27917 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))))
137, 8, 9axsegconlem9 27916 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
14 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))
1514oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)) = (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))
1615oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))))
1716eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))))
1817ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))))
1914oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–)) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))
2019oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2))
2120sumeq2sdv 15594 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2))
2221eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
2318, 22anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
24 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))))
2524oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))
26 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)) = (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))
2725, 26oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))))
2827eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))))
2928ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–)))))
3029anbi1d 631 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
3123, 30rspc2ev 3591 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) โˆˆ (0[,]1) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))))) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) / ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2))) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))))โ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
3210, 11, 12, 13, 31syl112anc 1375 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
333, 4, 5, 6, 32syl31anc 1374 . . . . 5 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
3433ex 414 . . . 4 (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
352, 34pm2.61ine 3025 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
36 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
37 simplll 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
38 simpr 486 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
39 brbtwn 27890 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)))))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)))))
41 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
42 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
43 brcgr 27891 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
4436, 38, 41, 42, 43syl22anc 838 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
4540, 44anbi12d 632 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
46 r19.41v 3182 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
4745, 46bitr4di 289 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
4847rexbidva 3170 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)(๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
4935, 48mpbird 257 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)(๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))
50493adant1 1131 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)(๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐‘ฅโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐‘ฅโŸฉCgrโŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โŸจcop 4593   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  โˆšcsqrt 15124  ฮฃcsu 15576  ๐”ผcee 27879   Btwn cbtwn 27880  Cgrccgr 27881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-ee 27882  df-btwn 27883  df-cgr 27884
This theorem is referenced by:  eengtrkg  27977  cgrtriv  34633  segconeu  34642  btwntriv2  34643  btwnouttr2  34653  btwndiff  34658  ifscgr  34675  cgrxfr  34686  lineext  34707  btwnconn1lem13  34730  btwnconn1lem14  34731  segcon2  34736
  Copyright terms: Public domain W3C validator