MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegcon 28620
Description: Any segment 𝐴𝐵 can be extended to a point 𝑥 such that 𝐵𝑥 is congruent to 𝐶𝐷. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegcon ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem axsegcon
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axsegconlem1 28610 . . . . 5 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
21ex 412 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
3 simprll 776 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simprlr 777 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴𝐵)
6 simprr 770 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7 eqid 2731 . . . . . . . 8 Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
8 eqid 2731 . . . . . . . 8 Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)
9 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))
107, 8, 9axsegconlem8 28617 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
117, 8axsegconlem7 28616 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1))
127, 8, 9axsegconlem10 28619 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
137, 8, 9axsegconlem9 28618 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
14 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))
1514oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (𝑡 · (𝑥𝑖)) = (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
1615oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
1716eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
1817ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
1914oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
2019oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
2120sumeq2sdv 15657 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
2221eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
2318, 22anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
24 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (1 − 𝑡) = (1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))))
2524oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) = ((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)))
26 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)) = (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
2725, 26oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
2827eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
2928ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
3029anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
3123, 30rspc2ev 3624 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
3210, 11, 12, 13, 31syl112anc 1373 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
333, 4, 5, 6, 32syl31anc 1372 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
3433ex 412 . . . 4 (𝐴𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
352, 34pm2.61ine 3024 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
36 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
37 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
38 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
39 brbtwn 28592 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
41 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
42 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43 brcgr 28593 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4436, 38, 41, 42, 43syl22anc 836 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4540, 44anbi12d 630 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
46 r19.41v 3187 . . . . 5 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4745, 46bitr4di 289 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
4847rexbidva 3175 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
4935, 48mpbird 257 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
50493adant1 1129 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cop 4634   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  cmin 11451   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  [,]cicc 13334  ...cfz 13491  cexp 14034  csqrt 15187  Σcsu 15639  𝔼cee 28581   Btwn cbtwn 28582  Cgrccgr 28583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-ee 28584  df-btwn 28585  df-cgr 28586
This theorem is referenced by:  eengtrkg  28679  cgrtriv  35446  segconeu  35455  btwntriv2  35456  btwnouttr2  35466  btwndiff  35471  ifscgr  35488  cgrxfr  35499  lineext  35520  btwnconn1lem13  35543  btwnconn1lem14  35544  segcon2  35549
  Copyright terms: Public domain W3C validator