MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegcon 26640
Description: Any segment 𝐴𝐵 can be extended to a point 𝑥 such that 𝐵𝑥 is congruent to 𝐶𝐷. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegcon ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem axsegcon
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axsegconlem1 26630 . . . . 5 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
21ex 413 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
3 simprll 775 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simprlr 776 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴𝐵)
6 simprr 769 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7 eqid 2818 . . . . . . . 8 Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
8 eqid 2818 . . . . . . . 8 Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)
9 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))
107, 8, 9axsegconlem8 26637 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
117, 8axsegconlem7 26636 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1))
127, 8, 9axsegconlem10 26639 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
137, 8, 9axsegconlem9 26638 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
14 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))
1514oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (𝑡 · (𝑥𝑖)) = (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
1615oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
1716eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
1817ralbidv 3194 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
1914oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
2019oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
2120sumeq2sdv 15049 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
2221eqeq1d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
2318, 22anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
24 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (1 − 𝑡) = (1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))))
2524oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) = ((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)))
26 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)) = (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))
2725, 26oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))))
2827eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
2928ralbidv 3194 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
3029anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
3123, 30rspc2ev 3632 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))))) · (𝐴𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2))) · (𝐵𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)) · (𝐴𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
3210, 11, 12, 13, 31syl112anc 1366 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
333, 4, 5, 6, 32syl31anc 1365 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
3433ex 413 . . . 4 (𝐴𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
352, 34pm2.61ine 3097 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
36 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
37 simplll 771 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
38 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
39 brbtwn 26612 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
41 simplrl 773 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
42 simplrr 774 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43 brcgr 26613 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4436, 38, 41, 42, 43syl22anc 834 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4540, 44anbi12d 630 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
46 r19.41v 3344 . . . . 5 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
4745, 46syl6bbr 290 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
4847rexbidva 3293 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
4935, 48mpbird 258 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
50493adant1 1122 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  cop 4563   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  cexp 13417  csqrt 14580  Σcsu 15030  𝔼cee 26601   Btwn cbtwn 26602  Cgrccgr 26603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-ee 26604  df-btwn 26605  df-cgr 26606
This theorem is referenced by:  eengtrkg  26699  cgrtriv  33360  segconeu  33369  btwntriv2  33370  btwnouttr2  33380  btwndiff  33385  ifscgr  33402  cgrxfr  33413  lineext  33434  btwnconn1lem13  33457  btwnconn1lem14  33458  segcon2  33463
  Copyright terms: Public domain W3C validator