MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk5lem 28178
Description: Lemma for numclwwlk5 28179. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5lem ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))

Proof of Theorem numclwwlk5lem
StepHypRef Expression
1 numclwwlk3.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21eleq2i 2907 . . . 4 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3 clwwlknon2num 27896 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
42, 3sylan2b 596 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
543adant3 1129 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
6 oveq1 7157 . . . . 5 ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
76ad2antrr 725 . . . 4 ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
8 2prm 16037 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℙ
9 nn0z 12005 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
10 modprm1div 16135 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
118, 9, 10sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
1211biimprd 251 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
13123ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
1413adantl 485 . . . . 5 (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
1514imp 410 . . . 4 ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝐾 mod 2) = 1)
167, 15eqtrd 2859 . . 3 ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
1716ex 416 . 2 (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
185, 17mpancom 687 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  1c1 10537  cmin 10869  2c2 11692  0cn0 11897  cz 11981   mod cmo 13244  chash 13698  cdvds 15610  cprime 16016  Vtxcvtx 26795   RegUSGraph crusgr 27352  ClWWalksNOncclwwlknon 27878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-inf 8905  df-dju 9328  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-xadd 12508  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-word 13870  df-lsw 13918  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-prm 16017  df-edg 26847  df-uhgr 26857  df-ushgr 26858  df-upgr 26881  df-umgr 26882  df-uspgr 26949  df-usgr 26950  df-nbgr 27129  df-vtxdg 27262  df-rgr 27353  df-rusgr 27354  df-clwwlk 27773  df-clwwlkn 27816  df-clwwlknon 27879
This theorem is referenced by:  numclwwlk5  28179
  Copyright terms: Public domain W3C validator