Theorem numclwwlk5lem 31021

Description: Lemma for numclwwlk5 31022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk5lem	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))

Proof of Theorem numclwwlk5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eleq2i 2856	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		clwwlknon2num 30729	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
4	2, 3	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
6		oveq1 7453	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
7	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
8		2prm 16899	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
9		nn0z 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
10		modprm1div 17007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
12	11	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
13	12	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
15	14	imp 412	. . . 4 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝐾 mod 2) = 1)
16	7, 15	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
17	16	ex 418	. 2 ⊢ (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
18	5, 17	mpancom 701	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1c1 11231   − cmin 11571  2c2 12427  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723   mod cmo 14039  ♯chash 14504   ∥ cdvds 16454  ℙcprime 16878  Vtxcvtx 29607   RegUSGraph crusgr 30170  ClWWalksNOncclwwlknon 30711

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-xadd 13272  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-word 14689  df-lsw 14738  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-prm 16879  df-edg 29659  df-uhgr 29669  df-ushgr 29670  df-upgr 29693  df-umgr 29694  df-uspgr 29764  df-usgr 29765  df-nbgr 29947  df-vtxdg 30080  df-rgr 30171  df-rusgr 30172  df-clwwlk 30606  df-clwwlkn 30649  df-clwwlknon 30712

This theorem is used by:  numclwwlk5  31022