Theorem numclwwlk5lem 30349

Description: Lemma for numclwwlk5 30350. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk5lem	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))

Proof of Theorem numclwwlk5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		clwwlknon2num 30067	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
4	2, 3	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
5	4	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
6		oveq1 7360	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
7	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
8		2prm 16621	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
9		nn0z 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
10		modprm1div 16727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
12	11	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝐾 mod 2) = 1)
16	7, 15	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
18	5, 17	mpancom 688	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   − cmin 11365  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489   mod cmo 13791  ♯chash 14255   ∥ cdvds 16181  ℙcprime 16600  Vtxcvtx 28959   RegUSGraph crusgr 29520  ClWWalksNOncclwwlknon 30049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-prm 16601  df-edg 29011  df-uhgr 29021  df-ushgr 29022  df-upgr 29045  df-umgr 29046  df-uspgr 29113  df-usgr 29114  df-nbgr 29296  df-vtxdg 29430  df-rgr 29521  df-rusgr 29522  df-clwwlk 29944  df-clwwlkn 29987  df-clwwlknon 30050

This theorem is referenced by:  numclwwlk5  30350