MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk5lem 28759
Description: Lemma for numclwwlk5 28760. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5lem ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))

Proof of Theorem numclwwlk5lem
StepHypRef Expression
1 numclwwlk3.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21eleq2i 2830 . . . 4 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3 clwwlknon2num 28477 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
42, 3sylan2b 594 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
543adant3 1131 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
6 oveq1 7274 . . . . 5 ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
76ad2antrr 723 . . . 4 ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
8 2prm 16407 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℙ
9 nn0z 12353 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
10 modprm1div 16508 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
1211biimprd 247 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
13123ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
1413adantl 482 . . . . 5 (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
1514imp 407 . . . 4 ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝐾 mod 2) = 1)
167, 15eqtrd 2778 . . 3 ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
1716ex 413 . 2 (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
185, 17mpancom 685 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  1c1 10882  cmin 11215  2c2 12038  0cn0 12243  cz 12329   mod cmo 13599  chash 14054  cdvds 15973  cprime 16386  Vtxcvtx 27376   RegUSGraph crusgr 27933  ClWWalksNOncclwwlknon 28459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-oadd 8288  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-dju 9669  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-xnn0 12316  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-xadd 12859  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-word 14228  df-lsw 14276  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-dvds 15974  df-prm 16387  df-edg 27428  df-uhgr 27438  df-ushgr 27439  df-upgr 27462  df-umgr 27463  df-uspgr 27530  df-usgr 27531  df-nbgr 27710  df-vtxdg 27843  df-rgr 27934  df-rusgr 27935  df-clwwlk 28354  df-clwwlkn 28397  df-clwwlknon 28460
This theorem is referenced by:  numclwwlk5  28760
  Copyright terms: Public domain W3C validator