MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk5lem 29373
Description: Lemma for numclwwlk5 29374. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5lem ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))

Proof of Theorem numclwwlk5lem
StepHypRef Expression
1 numclwwlk3.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21eleq2i 2830 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
3 clwwlknon2num 29091 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾)
42, 3sylan2b 595 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾)
543adant3 1133 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾)
6 oveq1 7369 . . . . 5 ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾 β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
76ad2antrr 725 . . . 4 ((((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0)) ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
8 2prm 16575 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„™
9 nn0z 12531 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
10 modprm1div 16676 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„™ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))
118, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))
1211biimprd 248 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ (𝐾 mod 2) = 1))
13123ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ (𝐾 mod 2) = 1))
1413adantl 483 . . . . 5 (((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0)) β†’ (2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ (𝐾 mod 2) = 1))
1514imp 408 . . . 4 ((((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0)) ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ (𝐾 mod 2) = 1)
167, 15eqtrd 2777 . . 3 ((((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0)) ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1)
1716ex 414 . 2 (((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0)) β†’ (2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))
185, 17mpancom 687 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   βˆ’ cmin 11392  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506   mod cmo 13781  β™―chash 14237   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554  Vtxcvtx 27989   RegUSGraph crusgr 28546  ClWWalksNOncclwwlknon 29073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-rgr 28547  df-rusgr 28548  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074
This theorem is referenced by:  numclwwlk5  29374
  Copyright terms: Public domain W3C validator