Theorem numclwwlk5lem 30535

Description: Lemma for numclwwlk5 30536. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk5lem	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))

Proof of Theorem numclwwlk5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		clwwlknon2num 30253	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
4	2, 3	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
5	4	3adant3 1144	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
6		oveq1 7399	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
7	6	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = (𝐾 mod 2))
8		2prm 16709	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
9		nn0z 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
10		modprm1div 16816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
11	8, 9, 10	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 mod 2) = 1 ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
12	11	biimprd 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
13	12	3ad2ant3 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
14	13	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → (𝐾 mod 2) = 1))
15	14	imp 410	. . . 4 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝐾 mod 2) = 1)
16	7, 15	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
17	16	ex 416	. 2 ⊢ (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
18	5, 17	mpancom 698	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071   − cmin 11411  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565   mod cmo 13876  ♯chash 14340   ∥ cdvds 16269  ℙcprime 16688  Vtxcvtx 29143   RegUSGraph crusgr 29703  ClWWalksNOncclwwlknon 30235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-xadd 13112  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-prm 16689  df-edg 29195  df-uhgr 29205  df-ushgr 29206  df-upgr 29229  df-umgr 29230  df-uspgr 29297  df-usgr 29298  df-nbgr 29480  df-vtxdg 29613  df-rgr 29704  df-rusgr 29705  df-clwwlk 30130  df-clwwlkn 30173  df-clwwlknon 30236

This theorem is referenced by:  numclwwlk5  30536