Theorem evthicc2 25495

Description: Combine ivthicc 25493 with evthicc 25494 to exactly describe the image of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
evthicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
evthicc2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthicc2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		evthicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		evthicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		evthicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5	1, 2, 3, 4	evthicc 25494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
6		reeanv 3229	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
7	5, 6	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
8		r19.26 3111	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
9	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10		cncff 24919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	11, 12	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
15		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	11, 15	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
18	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
19	18	ffnd 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
20	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
21		elicc2 13452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
22	13, 20, 21	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
23		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
24	22, 23	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
25		ancom 460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))
26	11	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
27	26	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
28	25, 27	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
29	24, 28	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))))
30	29	ralbidva 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))))
31	30	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
32		ffnfv 7139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎))))
33	19, 31, 32	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
34	33	frnd 6744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ran 𝐹 ⊆ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
35	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		ssidd 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
38		ax-resscn 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		ssid 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
40		cncfss 24925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
41	38, 39, 40	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
42	41, 9	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
43	11	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
44	35, 36, 12, 15, 37, 42, 43	ivthicc 25493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
46	34, 45	eqssd 4001	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ran 𝐹 = ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
47		rspceov 7480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ ∧ ran 𝐹 = ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
48	14, 17, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
50	8, 49	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
51	50	rexlimdvva 3213	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
52	7, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ran crn 5686   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154   ≤ cle 11296  [,]cicc 13390  –cn→ccncf 24902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904

This theorem is referenced by:  dvcnvrelem1  26056