MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc2 24968
Description: Combine ivthicc 24966 with evthicc 24967 to exactly describe the image of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
evthicc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthicc2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evthicc.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 evthicc.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 evthicc.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
4 evthicc.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
51, 2, 3, 4evthicc 24967 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)))
6 reeanv 3226 . . 3 (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)))
75, 6sylibr 233 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)))
8 r19.26 3111 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)))
94adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10 cncff 24400 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
12 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1311, 12ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
15 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1611, 15ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
1811adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
1918ffnd 6715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
2016adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
21 elicc2 13385 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑎) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎))))
2213, 20, 21syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎))))
23 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎))))
2422, 23bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)))))
25 ancom 461 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)))
2611ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
2726biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)))))
2825, 27bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)))))
2924, 28bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))))
3029ralbidva 3175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))))
3130biimpar 478 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)))
32 ffnfv 7114 . . . . . . . . 9 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎))))
3319, 31, 32sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)))
3433frnd 6722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ran 𝐹 ⊆ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)))
351adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
362adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 ssidd 4004 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
38 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
39 ssid 4003 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
40 cncfss 24406 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4138, 39, 40mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
4241, 9sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4311ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4435, 36, 12, 15, 37, 42, 43ivthicc 24966 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
4544adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
4634, 45eqssd 3998 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ran 𝐹 = ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)))
47 rspceov 7452 . . . . . 6 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑎) ∈ ℝ ∧ ran 𝐹 = ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
4814, 17, 46, 47syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
4948ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
508, 49biimtrrid 242 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
5150rexlimdvva 3211 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
527, 51mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  wss 3947   class class class wbr 5147  ran crn 5676   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  cc 11104  cr 11105  cle 11245  [,]cicc 13323  cnccncf 24383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem1  25525
  Copyright terms: Public domain W3C validator