Theorem evthicc2 24976

Description: Combine ivthicc 24974 with evthicc 24975 to exactly describe the image of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
evthicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
evthicc2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthicc2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		evthicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		evthicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		evthicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5	1, 2, 3, 4	evthicc 24975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
6		reeanv 3226	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
7	5, 6	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
8		r19.26 3111	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
9	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10		cncff 24408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
12		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	11, 12	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
15		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	11, 15	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
18	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
19	18	ffnd 6718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
20	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
21		elicc2 13388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
22	13, 20, 21	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
23		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
24	22, 23	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
25		ancom 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))
26	11	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
27	26	biantrurd 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
28	25, 27	bitrid 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
29	24, 28	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))))
30	29	ralbidva 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))))
31	30	biimpar 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
32		ffnfv 7117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎))))
33	19, 31, 32	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
34	33	frnd 6725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ran 𝐹 ⊆ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
35	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		ssidd 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
38		ax-resscn 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		ssid 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
40		cncfss 24414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
41	38, 39, 40	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
42	41, 9	sselid 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
43	11	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
44	35, 36, 12, 15, 37, 42, 43	ivthicc 24974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
46	34, 45	eqssd 3999	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ran 𝐹 = ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
47		rspceov 7455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ ∧ ran 𝐹 = ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
48	14, 17, 46, 47	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
49	48	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
50	8, 49	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
51	50	rexlimdvva 3211	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
52	7, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ran crn 5677   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108   ≤ cle 11248  [,]cicc 13326  –cn→ccncf 24391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393

This theorem is referenced by:  dvcnvrelem1  25533