MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc2 24847
Description: Combine ivthicc 24845 with evthicc 24846 to exactly describe the image of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
evthicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
evthicc.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem evthicc2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evthicc.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 evthicc.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 evthicc.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
4 evthicc.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
51, 2, 3, 4evthicc 24846 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
6 reeanv 3216 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
75, 6sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
8 r19.26 3111 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
94adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
10 cncff 24279 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
12 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1311, 12ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1413adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
15 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡))
1611, 15ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
1716adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
1811adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
1918ffnd 6673 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
2016adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
21 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž))))
2213, 20, 21syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž))))
23 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž))))
2422, 23bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)))))
25 ancom 462 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)))
2611ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
2726biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)))))
2825, 27bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)))))
2924, 28bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))))
3029ralbidva 3169 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))))
3130biimpar 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)))
32 ffnfv 7070 . . . . . . . . 9 (𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž))))
3319, 31, 32sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)))
3433frnd 6680 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ ran 𝐹 βŠ† ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)))
351adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
362adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
37 ssidd 3971 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
38 ax-resscn 11116 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
39 ssid 3970 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
40 cncfss 24285 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4138, 39, 40mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
4241, 9sselid 3946 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4311ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4435, 36, 12, 15, 37, 42, 43ivthicc 24845 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† ran 𝐹)
4544adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† ran 𝐹)
4634, 45eqssd 3965 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ ran 𝐹 = ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)))
47 rspceov 7408 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ ran 𝐹 = ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦))
4814, 17, 46, 47syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦))
4948ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦)))
508, 49biimtrrid 242 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦)))
5150rexlimdvva 3202 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦)))
527, 51mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   ≀ cle 11198  [,]cicc 13276  β€“cnβ†’ccncf 24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem1  25404
  Copyright terms: Public domain W3C validator