Theorem evthicc2 25339

Description: Combine ivthicc 25337 with evthicc 25338 to exactly describe the image of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
evthicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
evthicc2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthicc2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		evthicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		evthicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		evthicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5	1, 2, 3, 4	evthicc 25338	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
6		reeanv 3220	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
7	5, 6	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
8		r19.26 3105	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
9	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10		cncff 24763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
12		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	11, 12	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
15		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	11, 15	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
18	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
19	18	ffnd 6711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
20	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
21		elicc2 13392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
22	13, 20, 21	syl2an2r 682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
23		3anass 1092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
24	22, 23	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
25		ancom 460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))
26	11	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
27	26	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
28	25, 27	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
29	24, 28	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))))
30	29	ralbidva 3169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))))
31	30	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
32		ffnfv 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎))))
33	19, 31, 32	sylanbrc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
34	33	frnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ran 𝐹 ⊆ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
35	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		ssidd 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
38		ax-resscn 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		ssid 3999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
40		cncfss 24769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
41	38, 39, 40	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
42	41, 9	sselid 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
43	11	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
44	35, 36, 12, 15, 37, 42, 43	ivthicc 25337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
46	34, 45	eqssd 3994	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ran 𝐹 = ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
47		rspceov 7451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ ∧ ran 𝐹 = ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
48	14, 17, 46, 47	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
50	8, 49	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
51	50	rexlimdvva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
52	7, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ran crn 5670   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108   ≤ cle 11250  [,]cicc 13330  –cn→ccncf 24746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748

This theorem is referenced by:  dvcnvrelem1  25900