Theorem evthicc2 25781

Description: Combine ivthicc 25779 with evthicc 25780 to exactly describe the image of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
evthicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
evthicc2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthicc2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		evthicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		evthicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		evthicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5	1, 2, 3, 4	evthicc 25780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
6		reeanv 3235	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
7	5, 6	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
8		r19.26 3123	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)))
9	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10		cncff 25214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
12		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	11, 12	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
15		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	11, 15	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
18	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
19	18	ffnd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
20	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
21		elicc2 13542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
22	13, 20, 21	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
23		3anass 1111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎))))
24	22, 23	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
25		ancom 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))
26	11	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
27	26	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
28	25, 27	bitrid 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧) ∧ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎)))))
29	24, 28	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))))
30	29	ralbidva 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))))
31	30	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
32		ffnfv 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ↔ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ∈ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎))))
33	19, 31, 32	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
34	33	frnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ran 𝐹 ⊆ ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
35	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		ssidd 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
38		ax-resscn 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		ssid 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
40		cncfss 25220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
41	38, 39, 40	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
42	41, 9	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
43	11	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
44	35, 36, 12, 15, 37, 42, 43	ivthicc 25779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
45	44	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
46	34, 45	eqssd 3948	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ran 𝐹 = ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎)))
47		rspceov 7469	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ ∧ ran 𝐹 = ((𝐹‘𝑏)[,](𝐹‘𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
48	14, 17, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
49	48	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
50	8, 49	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
51	50	rexlimdvva 3220	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
52	7, 51	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ran crn 5652   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199   ≤ cle 11344  [,]cicc 13479  –cn→ccncf 25197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199

This theorem is used by:  dvcnvrelem1  26337