MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc2 23995
Description: Combine ivthicc 23993 with evthicc 23994 to exactly describe the image of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
evthicc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthicc2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evthicc.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 evthicc.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 evthicc.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
4 evthicc.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
51, 2, 3, 4evthicc 23994 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)))
6 reeanv 3373 . . 3 (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)))
75, 6sylibr 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)))
8 r19.26 3175 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)))
94adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10 cncff 23435 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
12 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1311, 12ffvelrnd 6850 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
15 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1611, 15ffvelrnd 6850 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
1811adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
1918ffnd 6514 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
2016adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
21 elicc2 12796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑎) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎))))
2213, 20, 21syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎))))
23 3anass 1089 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎))))
2422, 23syl6bb 288 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)))))
25 ancom 461 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)))
2611ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
2726biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)))))
2825, 27syl5bb 284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎)))))
2924, 28bitr4d 283 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))))
3029ralbidva 3201 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))))
3130biimpar 478 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)))
32 ffnfv 6880 . . . . . . . . 9 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ↔ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎))))
3319, 31, 32sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)))
3433frnd 6520 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ran 𝐹 ⊆ ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)))
351adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
362adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 ssidd 3994 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
38 ax-resscn 10588 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
39 ssid 3993 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
40 cncfss 23441 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4138, 39, 40mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
4241, 9sseldi 3969 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4311ffvelrnda 6849 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4435, 36, 12, 15, 37, 42, 43ivthicc 23993 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
4544adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)) ⊆ ran 𝐹)
4634, 45eqssd 3988 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ran 𝐹 = ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎)))
47 rspceov 7197 . . . . . 6 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑎) ∈ ℝ ∧ ran 𝐹 = ((𝐹𝑏)[,](𝐹𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
4814, 17, 46, 47syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
4948ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
508, 49syl5bir 244 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
5150rexlimdvva 3299 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑏) ≤ (𝐹𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦)))
527, 51mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran 𝐹 = (𝑥[,]𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  wss 3940   class class class wbr 5063  ran crn 5555   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  cle 10670  [,]cicc 12736  cnccncf 23418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-cmp 21930  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem1  24548
  Copyright terms: Public domain W3C validator