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Theorem evthicc2 25409
Description: Combine ivthicc 25407 with evthicc 25408 to exactly describe the image of a closed interval. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
evthicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
evthicc.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem evthicc2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evthicc.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 evthicc.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 evthicc.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
4 evthicc.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
51, 2, 3, 4evthicc 25408 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
6 reeanv 3224 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
75, 6sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
8 r19.26 3108 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
94adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
10 cncff 24833 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
12 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1311, 12ffvelcdmd 7100 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
15 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡))
1611, 15ffvelcdmd 7100 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
1716adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
1811adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
1918ffnd 6728 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
2016adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
21 elicc2 13429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž))))
2213, 20, 21syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž))))
23 3anass 1092 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž))))
2422, 23bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)))))
25 ancom 459 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)))
2611ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
2726biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)))))
2825, 27bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž)))))
2924, 28bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))))
3029ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))))
3130biimpar 476 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)))
32 ffnfv 7134 . . . . . . . . 9 (𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) ↔ (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ∈ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž))))
3319, 31, 32sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)))
3433frnd 6735 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ ran 𝐹 βŠ† ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)))
351adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
362adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
37 ssidd 4005 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
38 ax-resscn 11203 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
39 ssid 4004 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
40 cncfss 24839 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4138, 39, 40mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
4241, 9sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4311ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4435, 36, 12, 15, 37, 42, 43ivthicc 25407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† ran 𝐹)
4544adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† ran 𝐹)
4634, 45eqssd 3999 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ ran 𝐹 = ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž)))
47 rspceov 7473 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ ran 𝐹 = ((πΉβ€˜π‘)[,](πΉβ€˜π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦))
4814, 17, 46, 47syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦))
4948ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦)))
508, 49biimtrrid 242 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦)))
5150rexlimdvva 3209 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)(βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦)))
527, 51mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran 𝐹 = (π‘₯[,]𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  ran crn 5683   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145   ≀ cle 11287  [,]cicc 13367  β€“cnβ†’ccncf 24816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818
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