Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3fv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3fv3 32285
Description: Function value of a 3-cycle at the third point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpm3.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm3.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
cycpm3.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
Assertion
Ref Expression
cyc3fv3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ) = 𝐼)

Proof of Theorem cyc3fv3
StepHypRef Expression
1 cycpm3.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpm3.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 cycpm3.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm3.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
5 cycpm3.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
63, 4, 5s3cld 14819 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
7 cycpm3.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
8 cycpm3.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
9 cycpm3.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
103, 4, 5, 7, 8, 9s3f1 32100 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€“1-1→𝐷)
11 3pos 12313 . . . . 5 0 < 3
12 s3len 14841 . . . . 5 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) = 3
1311, 12breqtrri 5174 . . . 4 0 < (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©))
1512oveq1i 7415 . . . . 5 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1) = (3 βˆ’ 1)
16 3m1e2 12336 . . . . 5 (3 βˆ’ 1) = 2
1715, 16eqtr2i 2761 . . . 4 2 = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1))
191, 2, 6, 10, 14, 18cycpmfv2 32260 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2)) = (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0))
20 s3fv2 14840 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2) = 𝐾)
215, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2) = 𝐾)
2221fveq2d 6892 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2)) = ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ))
23 s3fv0 14838 . . 3 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
243, 23syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
2519, 22, 243eqtr3d 2780 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  2c2 12263  3c3 12264  β™―chash 14286  βŸ¨β€œcs3 14789  SymGrpcsymg 19228  toCycctocyc 32252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735  df-s2 14795  df-s3 14796  df-tocyc 32253
This theorem is referenced by:  cyc3co2  32286
  Copyright terms: Public domain W3C validator