Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3fv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3fv3 32801
Description: Function value of a 3-cycle at the third point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpm3.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm3.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
cycpm3.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
Assertion
Ref Expression
cyc3fv3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ) = 𝐼)

Proof of Theorem cyc3fv3
StepHypRef Expression
1 cycpm3.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpm3.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 cycpm3.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm3.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
5 cycpm3.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
63, 4, 5s3cld 14826 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
7 cycpm3.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
8 cycpm3.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
9 cycpm3.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
103, 4, 5, 7, 8, 9s3f1 32615 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€“1-1→𝐷)
11 3pos 12318 . . . . 5 0 < 3
12 s3len 14848 . . . . 5 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) = 3
1311, 12breqtrri 5168 . . . 4 0 < (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©))
1512oveq1i 7414 . . . . 5 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1) = (3 βˆ’ 1)
16 3m1e2 12341 . . . . 5 (3 βˆ’ 1) = 2
1715, 16eqtr2i 2755 . . . 4 2 = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1))
191, 2, 6, 10, 14, 18cycpmfv2 32776 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2)) = (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0))
20 s3fv2 14847 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2) = 𝐾)
215, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2) = 𝐾)
2221fveq2d 6888 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2)) = ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ))
23 s3fv0 14845 . . 3 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
243, 23syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
2519, 22, 243eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249   βˆ’ cmin 11445  2c2 12268  3c3 12269  β™―chash 14292  βŸ¨β€œcs3 14796  SymGrpcsymg 19283  toCycctocyc 32768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-csh 14742  df-s2 14802  df-s3 14803  df-tocyc 32769
This theorem is referenced by:  cyc3co2  32802
  Copyright terms: Public domain W3C validator