Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3fv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3fv3 32881
Description: Function value of a 3-cycle at the third point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpm3.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm3.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
cycpm3.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
Assertion
Ref Expression
cyc3fv3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ) = 𝐼)

Proof of Theorem cyc3fv3
StepHypRef Expression
1 cycpm3.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpm3.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 cycpm3.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm3.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
5 cycpm3.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
63, 4, 5s3cld 14863 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
7 cycpm3.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
8 cycpm3.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
9 cycpm3.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
103, 4, 5, 7, 8, 9s3f1 32691 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€“1-1→𝐷)
11 3pos 12355 . . . . 5 0 < 3
12 s3len 14885 . . . . 5 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) = 3
1311, 12breqtrri 5179 . . . 4 0 < (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©))
1512oveq1i 7436 . . . . 5 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1) = (3 βˆ’ 1)
16 3m1e2 12378 . . . . 5 (3 βˆ’ 1) = 2
1715, 16eqtr2i 2757 . . . 4 2 = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) βˆ’ 1))
191, 2, 6, 10, 14, 18cycpmfv2 32856 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2)) = (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0))
20 s3fv2 14884 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2) = 𝐾)
215, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2) = 𝐾)
2221fveq2d 6906 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜2)) = ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ))
23 s3fv0 14882 . . 3 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
243, 23syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
2519, 22, 243eqtr3d 2776 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)β€˜πΎ) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   < clt 11286   βˆ’ cmin 11482  2c2 12305  3c3 12306  β™―chash 14329  βŸ¨β€œcs3 14833  SymGrpcsymg 19328  toCycctocyc 32848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-csh 14779  df-s2 14839  df-s3 14840  df-tocyc 32849
This theorem is referenced by:  cyc3co2  32882
  Copyright terms: Public domain W3C validator