Theorem cyc3fv3 33746

Description: Function value of a 3-cycle at the third point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cyc3fv3	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐾) = 𝐼)

Proof of Theorem cyc3fv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm3.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm3.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cycpm3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
6	3, 4, 5	s3cld 15027	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7		cycpm3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
8		cycpm3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
10	3, 4, 5, 7, 8, 9	s3f1 33557	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷)
11		3pos 12454	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
12		s3len 15050	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
13	11, 12	breqtrri 5131	. . . 4 ⊢ 0 < (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩))
15	12	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = (3 − 1)
16		3m1e2 12473	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
17	15, 16	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ 2 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1))
19	1, 2, 6, 10, 14, 18	cycpmfv2 33721	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0))
20		s3fv2 15049	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
21	5, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
22	21	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐾))
23		s3fv0 15047	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
24	3, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
25	19, 22, 24	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐾) = 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   < clt 11346   − cmin 11544  2c2 12400  3c3 12401  ♯chash 14477  ⟨“cs3 14997  SymGrpcsymg 19588  toCycctocyc 33713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-substr 14793  df-pfx 14825  df-csh 14944  df-s2 15003  df-s3 15004  df-tocyc 33714

This theorem is used by:  cyc3co2  33747