Theorem ang180lem4 25384

Description: Lemma for ang180 25386. Reduce the statement to one variable. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
ang180lem4	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((1 − 𝐴)𝐹1) + (𝐴𝐹(𝐴 − 1))) + (1𝐹𝐴)) ∈ {-π, π})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ang.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2		1cnd 10630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
3		simp1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 10991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
5		simp3 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
6	5	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
7	2, 3, 6	subne0d 11000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
8		ax-1ne0 10600	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 0)
10	1, 4, 7, 2, 9	angvald 25376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴)𝐹1) = (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))))
11		simp2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 0)
12	3, 2	subcld 10991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
13	3, 2, 5	subne0d 11000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
14	1, 3, 11, 12, 13	angvald 25376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴𝐹(𝐴 − 1)) = (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))
15	10, 14	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 − 𝐴)𝐹1) + (𝐴𝐹(𝐴 − 1))) = ((ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
16	2, 4, 7	divcld 11410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
17	4, 7	recne0d 11404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ≠ 0)
18	16, 17	logcld 25148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
19	12, 3, 11	divcld 11410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℂ)
20	12, 3, 13, 11	divne0d 11426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ≠ 0)
21	19, 20	logcld 25148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℂ)
22	18, 21	imaddd 14568	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
23	15, 22	eqtr4d 2859	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((1 − 𝐴)𝐹1) + (𝐴𝐹(𝐴 − 1))) = (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
24	1, 2, 9, 3, 11	angvald 25376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1𝐹𝐴) = (ℑ‘(log‘(𝐴 / 1))))
25	3	div1d 11402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
26	25	fveq2d 6668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘(𝐴 / 1)) = (log‘𝐴))
27	26	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘(𝐴 / 1))) = (ℑ‘(log‘𝐴)))
28	24, 27	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1𝐹𝐴) = (ℑ‘(log‘𝐴)))
29	23, 28	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((1 − 𝐴)𝐹1) + (𝐴𝐹(𝐴 − 1))) + (1𝐹𝐴)) = ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
30	18, 21	addcld 10654	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℂ)
31	3, 11	logcld 25148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
32	30, 31	imaddd 14568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
33	29, 32	eqtr4d 2859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((1 − 𝐴)𝐹1) + (𝐴𝐹(𝐴 − 1))) + (1𝐹𝐴)) = (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))))
34		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
35		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = ((((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
36	1, 34, 35	ang180lem3 25383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ {-(i · π), (i · π)})
37		fveq2 6664	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = -(i · π) → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = (ℑ‘-(i · π)))
38		ax-icn 10590	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
39		picn 25039	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 10642	. . . . . . . 8 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
41	40	imnegi 14534	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘-(i · π)) = -(ℑ‘(i · π))
42	40	addid2i 10822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + (i · π)) = (i · π)
43	42	fveq2i 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · π))) = (ℑ‘(i · π))
44		0re 10637	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
45		pire 25038	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
46	44, 45	crimi 14546	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · π))) = π
47	43, 46	eqtr3i 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
48	47	negeqi 10873	. . . . . . 7 ⊢ -(ℑ‘(i · π)) = -π
49	41, 48	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (ℑ‘-(i · π)) = -π
50	37, 49	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ ((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = -(i · π) → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = -π)
51		fveq2 6664	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = (i · π) → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = (ℑ‘(i · π)))
52	51, 47	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ ((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = (i · π) → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = π)
53	50, 52	orim12i 905	. . . 4 ⊢ (((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = -(i · π) ∨ (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = (i · π)) → ((ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = -π ∨ (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = π))
54		ovex 7183	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ V
55	54	elpr 4583	. . . 4 ⊢ ((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ {-(i · π), (i · π)} ↔ ((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = -(i · π) ∨ (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) = (i · π)))
56		fvex 6677	. . . . 5 ⊢ (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) ∈ V
57	56	elpr 4583	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) ∈ {-π, π} ↔ ((ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = -π ∨ (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = π))
58	53, 55, 57	3imtr4i 294	. . 3 ⊢ ((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ {-(i · π), (i · π)} → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) ∈ {-π, π})
59	36, 58	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) ∈ {-π, π})
60	33, 59	eqeltrd 2913	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((1 − 𝐴)𝐹1) + (𝐴𝐹(𝐴 − 1))) + (1𝐹𝐴)) ∈ {-π, π})

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932  {csn 4560  {cpr 4562  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  2c2 11686  ℑcim 14451  πcpi 15414  logclog 25132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134

This theorem is referenced by:  ang180lem5  25385