MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ang180lem4 26317
Description: Lemma for ang180 26319. Reduce the statement to one variable. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ang.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
Assertion
Ref Expression
ang180lem4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((((1 โˆ’ ๐ด)๐น1) + (๐ด๐น(๐ด โˆ’ 1))) + (1๐น๐ด)) โˆˆ {-ฯ€, ฯ€})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem ang180lem4
StepHypRef Expression
1 ang.1 . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
2 1cnd 11209 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42, 3subcld 11571 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  1)
65necomd 2997 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โ‰  ๐ด)
72, 3, 6subne0d 11580 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
8 ax-1ne0 11179 . . . . . . . 8 1 โ‰  0
98a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โ‰  0)
101, 4, 7, 2, 9angvald 26309 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด)๐น1) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))))
11 simp2 1138 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  0)
123, 2subcld 11571 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
133, 2, 5subne0d 11580 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰  0)
141, 3, 11, 12, 13angvald 26309 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด๐น(๐ด โˆ’ 1)) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))))
1510, 14oveq12d 7427 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((1 โˆ’ ๐ด)๐น1) + (๐ด๐น(๐ด โˆ’ 1))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))
162, 4, 7divcld 11990 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
174, 7recne0d 11984 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
1816, 17logcld 26079 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
1912, 3, 11divcld 11990 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2012, 3, 13, 11divne0d 12006 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โ‰  0)
2119, 20logcld 26079 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2218, 21imaddd 15162 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))
2315, 22eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((1 โˆ’ ๐ด)๐น1) + (๐ด๐น(๐ด โˆ’ 1))) = (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))
241, 2, 9, 3, 11angvald 26309 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1๐น๐ด) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐ด / 1))))
253div1d 11982 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด / 1) = ๐ด)
2625fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜(๐ด / 1)) = (logโ€˜๐ด))
2726fveq2d 6896 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐ด / 1))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
2824, 27eqtrd 2773 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1๐น๐ด) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
2923, 28oveq12d 7427 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((((1 โˆ’ ๐ด)๐น1) + (๐ด๐น(๐ด โˆ’ 1))) + (1๐น๐ด)) = ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
3018, 21addcld 11233 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
313, 11logcld 26079 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3230, 31imaddd 15162 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) + (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
3329, 32eqtr4d 2776 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((((1 โˆ’ ๐ด)๐น1) + (๐ด๐น(๐ด โˆ’ 1))) + (1๐น๐ด)) = (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))))
34 eqid 2733 . . . 4 (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))
35 eqid 2733 . . . 4 ((((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) = ((((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2))
361, 34, 35ang180lem3 26316 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ {-(i ยท ฯ€), (i ยท ฯ€)})
37 fveq2 6892 . . . . . 6 ((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = -(i ยท ฯ€) โ†’ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜-(i ยท ฯ€)))
38 ax-icn 11169 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
39 picn 25969 . . . . . . . . 9 ฯ€ โˆˆ โ„‚
4038, 39mulcli 11221 . . . . . . . 8 (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
4140imnegi 15128 . . . . . . 7 (โ„‘โ€˜-(i ยท ฯ€)) = -(โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))
4240addlidi 11402 . . . . . . . . . 10 (0 + (i ยท ฯ€)) = (i ยท ฯ€)
4342fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (โ„‘โ€˜(0 + (i ยท ฯ€))) = (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))
44 0re 11216 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
45 pire 25968 . . . . . . . . . 10 ฯ€ โˆˆ โ„
4644, 45crimi 15140 . . . . . . . . 9 (โ„‘โ€˜(0 + (i ยท ฯ€))) = ฯ€
4743, 46eqtr3i 2763 . . . . . . . 8 (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€)) = ฯ€
4847negeqi 11453 . . . . . . 7 -(โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€)) = -ฯ€
4941, 48eqtri 2761 . . . . . 6 (โ„‘โ€˜-(i ยท ฯ€)) = -ฯ€
5037, 49eqtrdi 2789 . . . . 5 ((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = -(i ยท ฯ€) โ†’ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = -ฯ€)
51 fveq2 6892 . . . . . 6 ((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = (i ยท ฯ€) โ†’ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€)))
5251, 47eqtrdi 2789 . . . . 5 ((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = (i ยท ฯ€) โ†’ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = ฯ€)
5350, 52orim12i 908 . . . 4 (((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = -(i ยท ฯ€) โˆจ (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = (i ยท ฯ€)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = -ฯ€ โˆจ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = ฯ€))
54 ovex 7442 . . . . 5 (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ V
5554elpr 4652 . . . 4 ((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ {-(i ยท ฯ€), (i ยท ฯ€)} โ†” ((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = -(i ยท ฯ€) โˆจ (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) = (i ยท ฯ€)))
56 fvex 6905 . . . . 5 (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) โˆˆ V
5756elpr 4652 . . . 4 ((โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) โˆˆ {-ฯ€, ฯ€} โ†” ((โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = -ฯ€ โˆจ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = ฯ€))
5853, 55, 573imtr4i 292 . . 3 ((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ {-(i ยท ฯ€), (i ยท ฯ€)} โ†’ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) โˆˆ {-ฯ€, ฯ€})
5936, 58syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (โ„‘โ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) โˆˆ {-ฯ€, ฯ€})
6033, 59eqeltrd 2834 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((((1 โˆ’ ๐ด)๐น1) + (๐ด๐น(๐ด โˆ’ 1))) + (1๐น๐ด)) โˆˆ {-ฯ€, ฯ€})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„‘cim 15045  ฯ€cpi 16010  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  ang180lem5  26318
  Copyright terms: Public domain W3C validator