MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem4 26747
Description: Closure lemmas for quart 26748. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quart.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
quart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
quart.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = -(๐ด / 4))
quart.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
quart.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
quart.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
quart.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
quart.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
quart.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
quart.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = ((โˆšโ€˜๐‘€) / 2))
quart.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + ๐‘‡) + (๐‘ˆ / ๐‘‡)) / 3))
quart.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)))
quart.t0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
quart.m0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
quart.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))))
quart.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))))
Assertion
Ref Expression
quartlem4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โ‰  0 โˆง ๐ผ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„‚))

Proof of Theorem quartlem4
StepHypRef Expression
1 quart.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = ((โˆšโ€˜๐‘€) / 2))
2 quart.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 quart.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 quart.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 quart.d . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 quart.e . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = -(๐ด / 4))
7 quart.p . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
8 quart.q . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
9 quart.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
10 quart.u . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
11 quart.v . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
12 quart.w . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
13 quart.m . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = -((((2 ยท ๐‘ƒ) + ๐‘‡) + (๐‘ˆ / ๐‘‡)) / 3))
14 quart.t . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((๐‘‰ + ๐‘Š) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)))
15 quart.t0 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
162, 3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15quartlem3 26746 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚))
1716simp2d 1140 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1817sqrtcld 15390 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
19 2cnd 12294 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2017sqsqrtd 15392 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘€)โ†‘2) = ๐‘€)
21 quart.m0 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
2220, 21eqnetrd 3002 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘€)โ†‘2) โ‰  0)
23 sqne0 14093 . . . . . 6 ((โˆšโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘€)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (โˆšโ€˜๐‘€) โ‰  0))
2418, 23syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘€)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (โˆšโ€˜๐‘€) โ‰  0))
2522, 24mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘€) โ‰  0)
26 2ne0 12320 . . . . 5 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
2818, 19, 25, 27divne0d 12010 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘€) / 2) โ‰  0)
291, 28eqnetrd 3002 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)
30 quart.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))))
3116simp1d 1139 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
3231sqcld 14114 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3332negcld 11562 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
342, 3, 4, 5, 7, 8, 9quart1cl 26741 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
3534simp1d 1139 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
3635halfcld 12461 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„‚)
3733, 36subcld 11575 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆˆ โ„‚)
3834simp2d 1140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
39 4cn 12301 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„‚
4039a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
41 4ne0 12324 . . . . . . . 8 4 โ‰  0
4241a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
4338, 40, 42divcld 11994 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ / 4) โˆˆ โ„‚)
4443, 31, 29divcld 11994 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
4537, 44addcld 11237 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
4645sqrtcld 15390 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) + ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))) โˆˆ โ„‚)
4730, 46eqeltrd 2827 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
48 quart.j . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))))
4937, 44subcld 11575 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
5049sqrtcld 15390 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐‘ƒ / 2)) โˆ’ ((๐‘„ / 4) / ๐‘†))) โˆˆ โ„‚)
5148, 50eqeltrd 2827 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
5229, 47, 513jca 1125 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โ‰  0 โˆง ๐ผ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  cdc 12681  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15186  โ†‘๐‘ccxp 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446
This theorem is referenced by:  quart  26748
  Copyright terms: Public domain W3C validator