![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > quartlem4 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure lemmas for quart 26811. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
quart.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
quart.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
quart.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
quart.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
quart.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
quart.e | โข (๐ โ ๐ธ = -(๐ด / 4)) |
quart.p | โข (๐ โ ๐ = (๐ต โ ((3 / 8) ยท (๐ดโ2)))) |
quart.q | โข (๐ โ ๐ = ((๐ถ โ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ3) / 8))) |
quart.r | โข (๐ โ ๐ = ((๐ท โ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ2) ยท ๐ต) / ;16) โ ((3 / ;;256) ยท (๐ดโ4))))) |
quart.u | โข (๐ โ ๐ = ((๐โ2) + (;12 ยท ๐ ))) |
quart.v | โข (๐ โ ๐ = ((-(2 ยท (๐โ3)) โ (;27 ยท (๐โ2))) + (;72 ยท (๐ ยท ๐ )))) |
quart.w | โข (๐ โ ๐ = (โโ((๐โ2) โ (4 ยท (๐โ3))))) |
quart.s | โข (๐ โ ๐ = ((โโ๐) / 2)) |
quart.m | โข (๐ โ ๐ = -((((2 ยท ๐) + ๐) + (๐ / ๐)) / 3)) |
quart.t | โข (๐ โ ๐ = (((๐ + ๐) / 2)โ๐(1 / 3))) |
quart.t0 | โข (๐ โ ๐ โ 0) |
quart.m0 | โข (๐ โ ๐ โ 0) |
quart.i | โข (๐ โ ๐ผ = (โโ((-(๐โ2) โ (๐ / 2)) + ((๐ / 4) / ๐)))) |
quart.j | โข (๐ โ ๐ฝ = (โโ((-(๐โ2) โ (๐ / 2)) โ ((๐ / 4) / ๐)))) |
Ref | Expression |
---|---|
quartlem4 | โข (๐ โ (๐ โ 0 โง ๐ผ โ โ โง ๐ฝ โ โ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | quart.s | . . 3 โข (๐ โ ๐ = ((โโ๐) / 2)) | |
2 | quart.a | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
3 | quart.b | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
4 | quart.c | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
5 | quart.d | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
6 | quart.e | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ธ = -(๐ด / 4)) | |
7 | quart.p | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = (๐ต โ ((3 / 8) ยท (๐ดโ2)))) | |
8 | quart.q | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = ((๐ถ โ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ3) / 8))) | |
9 | quart.r | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = ((๐ท โ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ2) ยท ๐ต) / ;16) โ ((3 / ;;256) ยท (๐ดโ4))))) | |
10 | quart.u | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = ((๐โ2) + (;12 ยท ๐ ))) | |
11 | quart.v | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = ((-(2 ยท (๐โ3)) โ (;27 ยท (๐โ2))) + (;72 ยท (๐ ยท ๐ )))) | |
12 | quart.w | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = (โโ((๐โ2) โ (4 ยท (๐โ3))))) | |
13 | quart.m | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = -((((2 ยท ๐) + ๐) + (๐ / ๐)) / 3)) | |
14 | quart.t | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = (((๐ + ๐) / 2)โ๐(1 / 3))) | |
15 | quart.t0 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ 0) | |
16 | 2, 3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15 | quartlem3 26809 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ)) |
17 | 16 | simp2d 1140 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
18 | 17 | sqrtcld 15416 | . . . 4 โข (๐ โ (โโ๐) โ โ) |
19 | 2cnd 12320 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ โ) | |
20 | 17 | sqsqrtd 15418 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((โโ๐)โ2) = ๐) |
21 | quart.m0 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ 0) | |
22 | 20, 21 | eqnetrd 2998 | . . . . 5 โข (๐ โ ((โโ๐)โ2) โ 0) |
23 | sqne0 14119 | . . . . . 6 โข ((โโ๐) โ โ โ (((โโ๐)โ2) โ 0 โ (โโ๐) โ 0)) | |
24 | 18, 23 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (((โโ๐)โ2) โ 0 โ (โโ๐) โ 0)) |
25 | 22, 24 | mpbid 231 | . . . 4 โข (๐ โ (โโ๐) โ 0) |
26 | 2ne0 12346 | . . . . 5 โข 2 โ 0 | |
27 | 26 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ 0) |
28 | 18, 19, 25, 27 | divne0d 12036 | . . 3 โข (๐ โ ((โโ๐) / 2) โ 0) |
29 | 1, 28 | eqnetrd 2998 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ 0) |
30 | quart.i | . . 3 โข (๐ โ ๐ผ = (โโ((-(๐โ2) โ (๐ / 2)) + ((๐ / 4) / ๐)))) | |
31 | 16 | simp1d 1139 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
32 | 31 | sqcld 14140 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐โ2) โ โ) |
33 | 32 | negcld 11588 | . . . . . 6 โข (๐ โ -(๐โ2) โ โ) |
34 | 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 | quart1cl 26804 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ)) |
35 | 34 | simp1d 1139 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
36 | 35 | halfcld 12487 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ / 2) โ โ) |
37 | 33, 36 | subcld 11601 | . . . . 5 โข (๐ โ (-(๐โ2) โ (๐ / 2)) โ โ) |
38 | 34 | simp2d 1140 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
39 | 4cn 12327 | . . . . . . . 8 โข 4 โ โ | |
40 | 39 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 4 โ โ) |
41 | 4ne0 12350 | . . . . . . . 8 โข 4 โ 0 | |
42 | 41 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 4 โ 0) |
43 | 38, 40, 42 | divcld 12020 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ / 4) โ โ) |
44 | 43, 31, 29 | divcld 12020 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ / 4) / ๐) โ โ) |
45 | 37, 44 | addcld 11263 | . . . 4 โข (๐ โ ((-(๐โ2) โ (๐ / 2)) + ((๐ / 4) / ๐)) โ โ) |
46 | 45 | sqrtcld 15416 | . . 3 โข (๐ โ (โโ((-(๐โ2) โ (๐ / 2)) + ((๐ / 4) / ๐))) โ โ) |
47 | 30, 46 | eqeltrd 2825 | . 2 โข (๐ โ ๐ผ โ โ) |
48 | quart.j | . . 3 โข (๐ โ ๐ฝ = (โโ((-(๐โ2) โ (๐ / 2)) โ ((๐ / 4) / ๐)))) | |
49 | 37, 44 | subcld 11601 | . . . 4 โข (๐ โ ((-(๐โ2) โ (๐ / 2)) โ ((๐ / 4) / ๐)) โ โ) |
50 | 49 | sqrtcld 15416 | . . 3 โข (๐ โ (โโ((-(๐โ2) โ (๐ / 2)) โ ((๐ / 4) / ๐))) โ โ) |
51 | 48, 50 | eqeltrd 2825 | . 2 โข (๐ โ ๐ฝ โ โ) |
52 | 29, 47, 51 | 3jca 1125 | 1 โข (๐ โ (๐ โ 0 โง ๐ผ โ โ โง ๐ฝ โ โ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2930 โcfv 6543 (class class class)co 7416 โcc 11136 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 ยท cmul 11143 โ cmin 11474 -cneg 11475 / cdiv 11901 2c2 12297 3c3 12298 4c4 12299 5c5 12300 6c6 12301 7c7 12302 8c8 12303 ;cdc 12707 โcexp 14058 โcsqrt 15212 โ๐ccxp 26507 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-inf2 9664 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 ax-addf 11217 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7682 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-supp 8164 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-2o 8486 df-er 8723 df-map 8845 df-pm 8846 df-ixp 8915 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-fin 8966 df-fsupp 9386 df-fi 9434 df-sup 9465 df-inf 9466 df-oi 9533 df-card 9962 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-4 12307 df-5 12308 df-6 12309 df-7 12310 df-8 12311 df-9 12312 df-n0 12503 df-z 12589 df-dec 12708 df-uz 12853 df-q 12963 df-rp 13007 df-xneg 13124 df-xadd 13125 df-xmul 13126 df-ioo 13360 df-ioc 13361 df-ico 13362 df-icc 13363 df-fz 13517 df-fzo 13660 df-fl 13789 df-mod 13867 df-seq 13999 df-exp 14059 df-fac 14265 df-bc 14294 df-hash 14322 df-shft 15046 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 df-limsup 15447 df-clim 15464 df-rlim 15465 df-sum 15665 df-ef 16043 df-sin 16045 df-cos 16046 df-pi 16048 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-ress 17209 df-plusg 17245 df-mulr 17246 df-starv 17247 df-sca 17248 df-vsca 17249 df-ip 17250 df-tset 17251 df-ple 17252 df-ds 17254 df-unif 17255 df-hom 17256 df-cco 17257 df-rest 17403 df-topn 17404 df-0g 17422 df-gsum 17423 df-topgen 17424 df-pt 17425 df-prds 17428 df-xrs 17483 df-qtop 17488 df-imas 17489 df-xps 17491 df-mre 17565 df-mrc 17566 df-acs 17568 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-submnd 18740 df-mulg 19028 df-cntz 19272 df-cmn 19741 df-psmet 21275 df-xmet 21276 df-met 21277 df-bl 21278 df-mopn 21279 df-fbas 21280 df-fg 21281 df-cnfld 21284 df-top 22814 df-topon 22831 df-topsp 22853 df-bases 22867 df-cld 22941 df-ntr 22942 df-cls 22943 df-nei 23020 df-lp 23058 df-perf 23059 df-cn 23149 df-cnp 23150 df-haus 23237 df-tx 23484 df-hmeo 23677 df-fil 23768 df-fm 23860 df-flim 23861 df-flf 23862 df-xms 24244 df-ms 24245 df-tms 24246 df-cncf 24816 df-limc 25813 df-dv 25814 df-log 26508 df-cxp 26509 |
This theorem is referenced by: quart 26811 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |