MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem4 26602
Description: Closure lemmas for quart 26603. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart.e (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
quart.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quart.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
quart.w (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
quart.s (𝜑𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
quart.m (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
quart.t (𝜑𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
quart.t0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
quart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
quart.i (𝜑𝐼 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
quart.j (𝜑𝐽 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
Assertion
Ref Expression
quartlem4 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 ∧ 𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quartlem4
StepHypRef Expression
1 quart.s . . 3 (𝜑𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
2 quart.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 quart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 quart.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 quart.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
7 quart.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
8 quart.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
9 quart.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
10 quart.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
11 quart.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
12 quart.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
13 quart.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
14 quart.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
15 quart.t0 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
162, 3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15quartlem3 26601 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))
1716simp2d 1142 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1817sqrtcld 15389 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑀) ∈ ℂ)
19 2cnd 12295 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2017sqsqrtd 15391 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑀)↑2) = 𝑀)
21 quart.m0 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
2220, 21eqnetrd 3007 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝑀)↑2) ≠ 0)
23 sqne0 14093 . . . . . 6 ((√‘𝑀) ∈ ℂ → (((√‘𝑀)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘𝑀) ≠ 0))
2418, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘𝑀)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘𝑀) ≠ 0))
2522, 24mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑀) ≠ 0)
26 2ne0 12321 . . . . 5 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2818, 19, 25, 27divne0d 12011 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝑀) / 2) ≠ 0)
291, 28eqnetrd 3007 . 2 (𝜑𝑆 ≠ 0)
30 quart.i . . 3 (𝜑𝐼 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
3116simp1d 1141 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3231sqcld 14114 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
3332negcld 11563 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
342, 3, 4, 5, 7, 8, 9quart1cl 26596 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
3534simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3635halfcld 12462 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
3733, 36subcld 11576 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) ∈ ℂ)
3834simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
39 4cn 12302 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
41 4ne0 12325 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ≠ 0)
4338, 40, 42divcld 11995 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 / 4) ∈ ℂ)
4443, 31, 29divcld 11995 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
4537, 44addcld 11238 . . . 4 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
4645sqrtcld 15389 . . 3 (𝜑 → (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))) ∈ ℂ)
4730, 46eqeltrd 2832 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
48 quart.j . . 3 (𝜑𝐽 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
4937, 44subcld 11576 . . . 4 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
5049sqrtcld 15389 . . 3 (𝜑 → (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))) ∈ ℂ)
5148, 50eqeltrd 2832 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
5229, 47, 513jca 1127 1 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 ∧ 𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119  cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  6c6 12276  7c7 12277  8c8 12278  cdc 12682  cexp 14032  csqrt 15185  𝑐ccxp 26301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303
This theorem is referenced by:  quart  26603
  Copyright terms: Public domain W3C validator