MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lawcos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lawcos 25388
Description: Law of cosines (also known as the Al-Kashi theorem or the generalized Pythagorean theorem, or the cosine formula or cosine rule). Given three distinct points A, B, and C, prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 25386), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB, and 𝑂 is the signed angle m/_ BCA on the complex plane. We translate triangle ABC to move C to the origin (C-C), B to U=(B-C), and A to V=(A-C), then use lemma lawcoslem1 25387 to prove this algebraically simpler case. The Metamath convention is to use a signed angle; in this case the sign doesn't matter because we use the cosine of the angle (see cosneg 15494). The Pythagorean theorem pythag 25389 is a special case of the law of cosines. The theorem's expression and approach were suggested by Mario Carneiro. This is Metamath 100 proof #94. (Contributed by David A. Wheeler, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lawcos.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
lawcos.3 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
lawcos.4 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
lawcos.5 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
lawcos (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lawcos
StepHypRef Expression
1 subcl 10879 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
213adant2 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
32adantr 483 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
4 subcl 10879 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
543adant1 1126 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
65adantr 483 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
7 subeq0 10906 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
87necon3bid 3060 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐴𝐶))
98bicomd 225 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶) ≠ 0))
1093adant2 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶) ≠ 0))
1110biimpa 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐴𝐶) ≠ 0)
1211adantrr 715 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐴𝐶) ≠ 0)
13 subeq0 10906 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) = 0 ↔ 𝐵 = 𝐶))
1413necon3bid 3060 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐵𝐶))
1514bicomd 225 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵𝐶) ≠ 0))
16153adant1 1126 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵𝐶) ≠ 0))
1716biimpa 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
1817adantrl 714 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
193, 6, 12, 18lawcoslem1 25387 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
20 nnncan2 10917 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)) = (𝐴𝐵))
2120fveq2d 6668 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶))) = (abs‘(𝐴𝐵)))
22 lawcos.4 . . . . 5 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
2321, 22syl6reqr 2875 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑍 = (abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶))))
2423oveq1d 7165 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2))
2524adantr 483 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2))
263abscld 14790 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
2726recnd 10663 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
2827sqcld 13502 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐴𝐶))↑2) ∈ ℂ)
296abscld 14790 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
3029recnd 10663 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
3130sqcld 13502 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶))↑2) ∈ ℂ)
3228, 31addcomd 10836 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) = (((abs‘(𝐵𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴𝐶))↑2)))
33 lawcos.2 . . . . . 6 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
3433oveq1i 7160 . . . . 5 (𝑋↑2) = ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)
35 lawcos.3 . . . . . 6 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
3635oveq1i 7160 . . . . 5 (𝑌↑2) = ((abs‘(𝐴𝐶))↑2)
3734, 36oveq12i 7162 . . . 4 ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐵𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴𝐶))↑2))
3832, 37syl6reqr 2875 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)))
3927, 30mulcomd 10656 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) = ((abs‘(𝐵𝐶)) · (abs‘(𝐴𝐶))))
4033, 35oveq12i 7162 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐵𝐶)) · (abs‘(𝐴𝐶)))
4139, 40syl6reqr 2875 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))
42 lawcos.5 . . . . . . . . 9 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
4342fveq2i 6667 . . . . . . . 8 (cos‘𝑂) = (cos‘((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)))
44 lawcos.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
4544, 6, 18, 3, 12angvald 25376 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) = (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
4645fveq2d 6668 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
4743, 46syl5eq 2868 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
483, 6, 18divcld 11410 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
493, 6, 12, 18divne0d 11426 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ≠ 0)
5048, 49logcld 25148 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ∈ ℂ)
5150imcld 14548 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))) ∈ ℝ)
52 recosval 15483 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
5447, 53eqtrd 2856 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
55 efiarg 25184 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))) = (((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
5648, 49, 55syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))) = (((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
5756fveq2d 6668 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))) = (ℜ‘(((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
5848abscld 14790 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
5948, 49absne0d 14801 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ≠ 0)
6058, 48, 59redivd 14582 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℜ‘(((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
6154, 57, 603eqtrd 2860 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
6241, 61oveq12d 7168 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
6362oveq2d 7166 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))))
6438, 63oveq12d 7168 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
6519, 25, 643eqtr4d 2866 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  cdif 3932  {csn 4560  cfv 6349  (class class class)co 7150  cmpo 7152  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536  cmin 10864   / cdiv 11291  2c2 11686  cexp 13423  cre 14450  cim 14451  abscabs 14587  expce 15409  cosccos 15412  logclog 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134
This theorem is referenced by:  pythag  25389  ssscongptld  25394  heron  25410
  Copyright terms: Public domain W3C validator