Theorem lawcos 25871

Description: Law of cosines (also known as the Al-Kashi theorem or the generalized Pythagorean theorem, or the cosine formula or cosine rule). Given three distinct points A, B, and C, prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 25869), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB, and 𝑂 is the signed angle m/_ BCA on the complex plane. We translate triangle ABC to move C to the origin (C-C), B to U=(B-C), and A to V=(A-C), then use lemma lawcoslem1 25870 to prove this algebraically simpler case. The Metamath convention is to use a signed angle; in this case the sign doesn't matter because we use the cosine of the angle (see cosneg 15784). The Pythagorean theorem pythag 25872 is a special case of the law of cosines. The theorem's expression and approach were suggested by Mario Carneiro. This is Metamath 100 proof #94. (Contributed by David A. Wheeler, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcos.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2	⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
lawcos.3	⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
lawcos.4	⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
lawcos.5	⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
lawcos	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lawcos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
4		subcl 11150	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5	4	3adant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		subeq0 11177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
8	7	necon3bid 2987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
9	8	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≠ 0))
10	9	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≠ 0))
11	10	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
12	11	adantrr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
13		subeq0 11177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) = 0 ↔ 𝐵 = 𝐶))
14	13	necon3bid 2987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
15	14	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
16	15	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
18	17	adantrl 712	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
19	3, 6, 12, 18	lawcoslem1 25870	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
20		lawcos.4	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
21		nnncan2 11188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)) = (𝐴 − 𝐵))
22	21	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶))) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
23	20, 22	eqtr4id 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑍 = (abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶))))
24	23	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2))
25	24	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2))
26		lawcos.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
27	26	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ (𝑋↑2) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)
28		lawcos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
29	28	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ (𝑌↑2) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2)
30	27, 29	oveq12i 7267	. . . 4 ⊢ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2))
31	3	abscld 15076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
33	32	sqcld 13790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
34	6	abscld 15076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
35	34	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
36	35	sqcld 13790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
37	33, 36	addcomd 11107	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) = (((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2)))
38	30, 37	eqtr4id 2798	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)))
39	26, 28	oveq12i 7267	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) · (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
40	32, 35	mulcomd 10927	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) · (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
41	39, 40	eqtr4id 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42		lawcos.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))
43	42	fveq2i 6759	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘𝑂) = (cos‘((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)))
44		lawcos.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
45	44, 6, 18, 3, 12	angvald 25859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)) = (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
46	45	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
47	43, 46	syl5eq 2791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
48	3, 6, 18	divcld 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
49	3, 6, 12, 18	divne0d 11697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ≠ 0)
50	48, 49	logcld 25631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
51	50	imcld 14834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
52		recosval 15773	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
54	47, 53	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
55		efiarg 25667	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))) = (((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
56	48, 49, 55	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))) = (((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
57	56	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))) = (ℜ‘(((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
58	48	abscld 15076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
59	48, 49	absne0d 15087	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ≠ 0)
60	58, 48, 59	redivd 14868	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℜ‘(((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
62	41, 61	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
63	62	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))))
64	38, 63	oveq12d 7273	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
65	19, 25, 64	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ↑cexp 13710  ℜcre 14736  ℑcim 14737  abscabs 14873  expce 15699  cosccos 15702  logclog 25615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617

This theorem is referenced by:  pythag  25872  ssscongptld  25877  heron  25893