MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lawcos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lawcos 25947
Description: Law of cosines (also known as the Al-Kashi theorem or the generalized Pythagorean theorem, or the cosine formula or cosine rule). Given three distinct points A, B, and C, prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 25945), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB, and 𝑂 is the signed angle m/_ BCA on the complex plane. We translate triangle ABC to move C to the origin (C-C), B to U=(B-C), and A to V=(A-C), then use lemma lawcoslem1 25946 to prove this algebraically simpler case. The Metamath convention is to use a signed angle; in this case the sign doesn't matter because we use the cosine of the angle (see cosneg 15837). The Pythagorean theorem pythag 25948 is a special case of the law of cosines. The theorem's expression and approach were suggested by Mario Carneiro. This is Metamath 100 proof #94. (Contributed by David A. Wheeler, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lawcos.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
lawcos.3 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
lawcos.4 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
lawcos.5 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
lawcos (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lawcos
StepHypRef Expression
1 subcl 11203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
213adant2 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
32adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
4 subcl 11203 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
543adant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
65adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
7 subeq0 11230 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
87necon3bid 2989 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐴𝐶))
98bicomd 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶) ≠ 0))
1093adant2 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶) ≠ 0))
1110biimpa 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐴𝐶) ≠ 0)
1211adantrr 713 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐴𝐶) ≠ 0)
13 subeq0 11230 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) = 0 ↔ 𝐵 = 𝐶))
1413necon3bid 2989 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐵𝐶))
1514bicomd 222 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵𝐶) ≠ 0))
16153adant1 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵𝐶) ≠ 0))
1716biimpa 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
1817adantrl 712 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
193, 6, 12, 18lawcoslem1 25946 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
20 lawcos.4 . . . . 5 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
21 nnncan2 11241 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)) = (𝐴𝐵))
2221fveq2d 6772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶))) = (abs‘(𝐴𝐵)))
2320, 22eqtr4id 2798 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑍 = (abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶))))
2423oveq1d 7283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2))
2524adantr 480 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2))
26 lawcos.2 . . . . . 6 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
2726oveq1i 7278 . . . . 5 (𝑋↑2) = ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)
28 lawcos.3 . . . . . 6 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
2928oveq1i 7278 . . . . 5 (𝑌↑2) = ((abs‘(𝐴𝐶))↑2)
3027, 29oveq12i 7280 . . . 4 ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐵𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴𝐶))↑2))
313abscld 15129 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
3231recnd 10987 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
3332sqcld 13843 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐴𝐶))↑2) ∈ ℂ)
346abscld 15129 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
3534recnd 10987 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
3635sqcld 13843 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶))↑2) ∈ ℂ)
3733, 36addcomd 11160 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) = (((abs‘(𝐵𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴𝐶))↑2)))
3830, 37eqtr4id 2798 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)))
3926, 28oveq12i 7280 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐵𝐶)) · (abs‘(𝐴𝐶)))
4032, 35mulcomd 10980 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) = ((abs‘(𝐵𝐶)) · (abs‘(𝐴𝐶))))
4139, 40eqtr4id 2798 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))
42 lawcos.5 . . . . . . . . 9 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
4342fveq2i 6771 . . . . . . . 8 (cos‘𝑂) = (cos‘((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)))
44 lawcos.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
4544, 6, 18, 3, 12angvald 25935 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) = (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
4645fveq2d 6772 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
4743, 46eqtrid 2791 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
483, 6, 18divcld 11734 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
493, 6, 12, 18divne0d 11750 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ≠ 0)
5048, 49logcld 25707 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ∈ ℂ)
5150imcld 14887 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))) ∈ ℝ)
52 recosval 15826 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
5447, 53eqtrd 2779 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
55 efiarg 25743 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))) = (((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
5648, 49, 55syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))) = (((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
5756fveq2d 6772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))) = (ℜ‘(((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
5848abscld 15129 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
5948, 49absne0d 15140 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ≠ 0)
6058, 48, 59redivd 14921 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℜ‘(((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
6154, 57, 603eqtrd 2783 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
6241, 61oveq12d 7286 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
6362oveq2d 7284 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))))
6438, 63oveq12d 7286 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
6519, 25, 643eqtr4d 2789 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  cdif 3888  {csn 4566  cfv 6430  (class class class)co 7268  cmpo 7270  cc 10853  cr 10854  0cc0 10855  ici 10857   + caddc 10858   · cmul 10860  cmin 11188   / cdiv 11615  2c2 12011  cexp 13763  cre 14789  cim 14790  abscabs 14926  expce 15752  cosccos 15755  logclog 25691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-ioc 13066  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-fac 13969  df-bc 13998  df-hash 14026  df-shft 14759  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-ef 15758  df-sin 15760  df-cos 15761  df-pi 15763  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-lp 22268  df-perf 22269  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-haus 22447  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-cncf 24022  df-limc 25011  df-dv 25012  df-log 25693
This theorem is referenced by:  pythag  25948  ssscongptld  25953  heron  25969
  Copyright terms: Public domain W3C validator