Theorem lawcos 26992

Description: Law of cosines (also known as the Al-Kashi theorem or the generalized Pythagorean theorem, or the cosine formula or cosine rule). Given three distinct points A, B, and C, prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 26990), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB, and 𝑂 is the signed angle m/_ BCA on the complex plane. We translate triangle ABC to move C to the origin (C-C), B to U=(B-C), and A to V=(A-C), then use lemma lawcoslem1 26991 to prove this algebraically simpler case. The Metamath convention is to use a signed angle; in this case the sign doesn't matter because we use the cosine of the angle (see cosneg 16209). The Pythagorean theorem pythag 26993 is a special case of the law of cosines. The theorem's expression and approach were suggested by Mario Carneiro. This is Metamath 100 proof #94. (Contributed by David A. Wheeler, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcos.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2	⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
lawcos.3	⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
lawcos.4	⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
lawcos.5	⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
lawcos	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝑂(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥, 𝑦)   𝑍(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem lawcos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11462	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3adant2 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
4		subcl 11462	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5	4	3adant1 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		subeq0 11490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
8	7	necon3bid 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
9	8	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≠ 0))
10	9	3adant2 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≠ 0))
11	10	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
12	11	adantrr 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
13		subeq0 11490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) = 0 ↔ 𝐵 = 𝐶))
14	13	necon3bid 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
15	14	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
16	15	3adant1 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
17	16	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
18	17	adantrl 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
19	3, 6, 12, 18	lawcoslem1 26991	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
20		lawcos.4	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
21		nnncan2 11501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)) = (𝐴 − 𝐵))
22	21	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶))) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
23	20, 22	eqtr4id 2816	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑍 = (abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶))))
24	23	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2))
25	24	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2))
26		lawcos.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
27	26	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑋↑2) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)
28		lawcos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
29	28	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑌↑2) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2)
30	27, 29	oveq12i 7424	. . . 4 ⊢ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2))
31	3	abscld 15497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
33	32	sqcld 14187	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
34	6	abscld 15497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
36	35	sqcld 14187	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
37	33, 36	addcomd 11418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) = (((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2)))
38	30, 37	eqtr4id 2816	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)))
39	26, 28	oveq12i 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) · (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
40	32, 35	mulcomd 11236	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) · (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
41	39, 40	eqtr4id 2816	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42		lawcos.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))
43	42	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘𝑂) = (cos‘((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)))
44		lawcos.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
45	44, 6, 18, 3, 12	angvald 26980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)) = (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
46	45	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
47	43, 46	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
48	3, 6, 18	divcld 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
49	3, 6, 12, 18	divne0d 12013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ≠ 0)
50	48, 49	logcld 26746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
51	50	imcld 15253	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
52		recosval 16198	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
53	51, 52	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
54	47, 53	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
55		efiarg 26783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))) = (((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
56	48, 49, 55	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))) = (((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
57	56	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))) = (ℜ‘(((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
58	48	abscld 15497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
59	48, 49	absne0d 15508	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ≠ 0)
60	58, 48, 59	redivd 15287	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℜ‘(((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
62	41, 61	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
63	62	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))))
64	38, 63	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
65	19, 25, 64	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447   / cdiv 11877  2c2 12301  ↑cexp 14104  ℜcre 15155  ℑcim 15156  abscabs 15292  expce 16121  cosccos 16124  logclog 26730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732

This theorem is used by:  pythag  26993  ssscongptld  26998  heron  27014