Theorem lawcos 26545

Description: Law of cosines (also known as the Al-Kashi theorem or the generalized Pythagorean theorem, or the cosine formula or cosine rule). Given three distinct points A, B, and C, prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 26543), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB, and 𝑂 is the signed angle m/_ BCA on the complex plane. We translate triangle ABC to move C to the origin (C-C), B to U=(B-C), and A to V=(A-C), then use lemma lawcoslem1 26544 to prove this algebraically simpler case. The Metamath convention is to use a signed angle; in this case the sign doesn't matter because we use the cosine of the angle (see cosneg 16094). The Pythagorean theorem pythag 26546 is a special case of the law of cosines. The theorem's expression and approach were suggested by Mario Carneiro. This is Metamath 100 proof #94. (Contributed by David A. Wheeler, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcos.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2	⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
lawcos.3	⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
lawcos.4	⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
lawcos.5	⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
lawcos	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lawcos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
4		subcl 11463	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5	4	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		subeq0 11490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
8	7	necon3bid 2985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
9	8	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≠ 0))
10	9	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≠ 0))
11	10	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
12	11	adantrr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
13		subeq0 11490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) = 0 ↔ 𝐵 = 𝐶))
14	13	necon3bid 2985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
15	14	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
16	15	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
17	16	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
18	17	adantrl 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
19	3, 6, 12, 18	lawcoslem1 26544	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
20		lawcos.4	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
21		nnncan2 11501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)) = (𝐴 − 𝐵))
22	21	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶))) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
23	20, 22	eqtr4id 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑍 = (abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶))))
24	23	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2))
25	24	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2))
26		lawcos.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
27	26	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑋↑2) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)
28		lawcos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
29	28	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑌↑2) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2)
30	27, 29	oveq12i 7423	. . . 4 ⊢ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2))
31	3	abscld 15387	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
33	32	sqcld 14113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
34	6	abscld 15387	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
36	35	sqcld 14113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
37	33, 36	addcomd 11420	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) = (((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2)))
38	30, 37	eqtr4id 2791	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)))
39	26, 28	oveq12i 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) · (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
40	32, 35	mulcomd 11239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) · (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
41	39, 40	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42		lawcos.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))
43	42	fveq2i 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘𝑂) = (cos‘((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)))
44		lawcos.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
45	44, 6, 18, 3, 12	angvald 26533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)) = (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
46	45	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
47	43, 46	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
48	3, 6, 18	divcld 11994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
49	3, 6, 12, 18	divne0d 12010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ≠ 0)
50	48, 49	logcld 26303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
51	50	imcld 15146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
52		recosval 16083	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
54	47, 53	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
55		efiarg 26339	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))) = (((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
56	48, 49, 55	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))) = (((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
57	56	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))) = (ℜ‘(((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
58	48	abscld 15387	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
59	48, 49	absne0d 15398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ≠ 0)
60	58, 48, 59	redivd 15180	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℜ‘(((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
62	41, 61	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
63	62	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))))
64	38, 63	oveq12d 7429	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
65	19, 25, 64	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  ↑cexp 14031  ℜcre 15048  ℑcim 15049  abscabs 15185  expce 16009  cosccos 16012  logclog 26287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289

This theorem is referenced by:  pythag  26546  ssscongptld  26551  heron  26567