Theorem lawcos 26761

Description: Law of cosines (also known as the Al-Kashi theorem or the generalized Pythagorean theorem, or the cosine formula or cosine rule). Given three distinct points A, B, and C, prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 26759), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB, and 𝑂 is the signed angle m/_ BCA on the complex plane. We translate triangle ABC to move C to the origin (C-C), B to U=(B-C), and A to V=(A-C), then use lemma lawcoslem1 26760 to prove this algebraically simpler case. The Metamath convention is to use a signed angle; in this case the sign doesn't matter because we use the cosine of the angle (see cosneg 16093). The Pythagorean theorem pythag 26762 is a special case of the law of cosines. The theorem's expression and approach were suggested by Mario Carneiro. This is Metamath 100 proof #94. (Contributed by David A. Wheeler, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcos.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2	⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
lawcos.3	⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
lawcos.4	⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
lawcos.5	⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
lawcos	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lawcos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
4		subcl 11399	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5	4	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		subeq0 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
8	7	necon3bid 2969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
9	8	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≠ 0))
10	9	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≠ 0))
11	10	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
12	11	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
13		subeq0 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) = 0 ↔ 𝐵 = 𝐶))
14	13	necon3bid 2969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
15	14	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
16	15	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
18	17	adantrl 716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
19	3, 6, 12, 18	lawcoslem1 26760	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
20		lawcos.4	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
21		nnncan2 11438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)) = (𝐴 − 𝐵))
22	21	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶))) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
23	20, 22	eqtr4id 2783	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑍 = (abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶))))
24	23	oveq1d 7385	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2))
25	24	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)))↑2))
26		lawcos.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
27	26	oveq1i 7380	. . . . 5 ⊢ (𝑋↑2) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)
28		lawcos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
29	28	oveq1i 7380	. . . . 5 ⊢ (𝑌↑2) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2)
30	27, 29	oveq12i 7382	. . . 4 ⊢ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2))
31	3	abscld 15383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11181	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
33	32	sqcld 14088	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
34	6	abscld 15383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11181	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
36	35	sqcld 14088	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
37	33, 36	addcomd 11355	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) = (((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2)))
38	30, 37	eqtr4id 2783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)))
39	26, 28	oveq12i 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) · (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
40	32, 35	mulcomd 11174	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) · (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
41	39, 40	eqtr4id 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42		lawcos.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))
43	42	fveq2i 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘𝑂) = (cos‘((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)))
44		lawcos.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
45	44, 6, 18, 3, 12	angvald 26749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)) = (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
46	45	fveq2d 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
47	43, 46	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
48	3, 6, 18	divcld 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
49	3, 6, 12, 18	divne0d 11953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ≠ 0)
50	48, 49	logcld 26514	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
51	50	imcld 15139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
52		recosval 16082	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
54	47, 53	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
55		efiarg 26551	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))) = (((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
56	48, 49, 55	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))) = (((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
57	56	fveq2d 6845	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))) = (ℜ‘(((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
58	48	abscld 15383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
59	48, 49	absne0d 15394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) ≠ 0)
60	58, 48, 59	redivd 15173	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (ℜ‘(((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))) = ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (cos‘𝑂) = ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))
62	41, 61	oveq12d 7388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))
63	62	oveq2d 7386	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶)))))))
64	38, 63	oveq12d 7388	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))) / (abs‘((𝐴 − 𝐶) / (𝐵 − 𝐶))))))))
65	19, 25, 64	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908  {csn 4585  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372  ℂcc 11045  ℝcr 11046  0cc0 11047  ici 11049   + caddc 11050   · cmul 11052   − cmin 11384   / cdiv 11814  2c2 12220  ↑cexp 14005  ℜcre 15041  ℑcim 15042  abscabs 15178  expce 16005  cosccos 16008  logclog 26498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-supp 8118  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8649  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8849  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-fsupp 9290  df-fi 9339  df-sup 9370  df-inf 9371  df-oi 9440  df-card 9871  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-n0 12422  df-z 12509  df-dec 12629  df-uz 12773  df-q 12887  df-rp 12931  df-xneg 13051  df-xadd 13052  df-xmul 13053  df-ioo 13289  df-ioc 13290  df-ico 13291  df-icc 13292  df-fz 13448  df-fzo 13595  df-fl 13733  df-mod 13811  df-seq 13946  df-exp 14006  df-fac 14218  df-bc 14247  df-hash 14275  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15631  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17095  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-submnd 18695  df-mulg 18984  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21290  df-xmet 21291  df-met 21292  df-bl 21293  df-mopn 21294  df-fbas 21295  df-fg 21296  df-cnfld 21299  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22868  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24243  df-ms 24244  df-tms 24245  df-cncf 24806  df-limc 25802  df-dv 25803  df-log 26500

This theorem is referenced by:  pythag  26762  ssscongptld  26767  heron  26783