Theorem ang180lem5 26773

Description: Lemma for ang180 26774: Reduce the statement to two variables. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
ang180lem5	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((((𝐴 − 𝐵)𝐹𝐴) + (𝐵𝐹(𝐵 − 𝐴))) + (𝐴𝐹𝐵)) ∈ {-π, π})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
3		simp2l 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simp1r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0)
5	3, 1, 4	divcld 12015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	subdid 11691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))))
7	1	mulridd 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
8	3, 1, 4	divcan2d 12017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = 𝐵)
9	7, 8	oveq12d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
10	6, 9	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
11	10, 7	oveq12d 7421	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · 1)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹𝐴))
12	2, 5	subcld 11592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
13		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
14	13	necomd 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
15	3, 1, 4, 14	divne1d 12026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 1)
16	15	necomd 2987	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 1 ≠ (𝐵 / 𝐴))
17	2, 5, 16	subne0d 11601	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
18		ax-1ne0 11196	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 1 ≠ 0)
20		ang.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
21	20	angcan 26762	. . . . . 6 ⊢ ((((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · 1)) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹1))
22	12, 17, 2, 19, 1, 4, 21	syl222anc 1388	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · 1)) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹1))
23	11, 22	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹𝐴) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹1))
24	1, 5, 2	subdid 11691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 · ((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) − (𝐴 · 1)))
25	8, 7	oveq12d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) − (𝐴 · 1)) = (𝐵 − 𝐴))
26	24, 25	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 · ((𝐵 / 𝐴) − 1)) = (𝐵 − 𝐴))
27	8, 26	oveq12d 7421	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐴))𝐹(𝐴 · ((𝐵 / 𝐴) − 1))) = (𝐵𝐹(𝐵 − 𝐴)))
28		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
29	3, 1, 28, 4	divne0d 12031	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
30	5, 2	subcld 11592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
31	5, 2, 15	subne0d 11601	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ≠ 0)
32	20	angcan 26762	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0) ∧ (((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐴))𝐹(𝐴 · ((𝐵 / 𝐴) − 1))) = ((𝐵 / 𝐴)𝐹((𝐵 / 𝐴) − 1)))
33	5, 29, 30, 31, 1, 4, 32	syl222anc 1388	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 · (𝐵 / 𝐴))𝐹(𝐴 · ((𝐵 / 𝐴) − 1))) = ((𝐵 / 𝐴)𝐹((𝐵 / 𝐴) − 1)))
34	27, 33	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴)𝐹((𝐵 / 𝐴) − 1)))
35	23, 34	oveq12d 7421	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐴 − 𝐵)𝐹𝐴) + (𝐵𝐹(𝐵 − 𝐴))) = (((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹1) + ((𝐵 / 𝐴)𝐹((𝐵 / 𝐴) − 1))))
36	7, 8	oveq12d 7421	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴𝐹𝐵))
37	20	angcan 26762	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (𝐵 / 𝐴))) = (1𝐹(𝐵 / 𝐴)))
38	2, 19, 5, 29, 1, 4, 37	syl222anc 1388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (𝐵 / 𝐴))) = (1𝐹(𝐵 / 𝐴)))
39	36, 38	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐹𝐵) = (1𝐹(𝐵 / 𝐴)))
40	35, 39	oveq12d 7421	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((((𝐴 − 𝐵)𝐹𝐴) + (𝐵𝐹(𝐵 − 𝐴))) + (𝐴𝐹𝐵)) = ((((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹1) + ((𝐵 / 𝐴)𝐹((𝐵 / 𝐴) − 1))) + (1𝐹(𝐵 / 𝐴))))
41	20	ang180lem4 26772	. . 3 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 1) → ((((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹1) + ((𝐵 / 𝐴)𝐹((𝐵 / 𝐴) − 1))) + (1𝐹(𝐵 / 𝐴))) ∈ {-π, π})
42	5, 29, 15, 41	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹1) + ((𝐵 / 𝐴)𝐹((𝐵 / 𝐴) − 1))) + (1𝐹(𝐵 / 𝐴))) ∈ {-π, π})
43	40, 42	eqeltrd 2834	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((((𝐴 − 𝐵)𝐹𝐴) + (𝐵𝐹(𝐵 − 𝐴))) + (𝐴𝐹𝐵)) ∈ {-π, π})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  {csn 4601  {cpr 4603  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∈ cmpo 7405  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11464  -cneg 11465   / cdiv 11892  ℑcim 15115  πcpi 16080  logclog 26513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-pi 16086  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-limc 25817  df-dv 25818  df-log 26515

This theorem is referenced by:  ang180  26774