MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angrtmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angrtmuld 26174
Description: Perpendicularity of two vectors does not change under rescaling the second. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
angrtmuld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
angrtmuld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
angrtmuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
angrtmuld.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)
angrtmuld.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰  0)
angrtmuld.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
angrtmuld.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
angrtmuld (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹๐น๐‘Œ) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)} โ†” (๐‘‹๐น๐‘) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)}))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‹   ๐‘ฅ,๐‘Œ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem angrtmuld
StepHypRef Expression
1 angrtmuld.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 angrtmuld.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
3 angrtmuld.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
4 angrtmuld.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰  0)
51, 2, 3, 4divne0d 11954 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โ‰  0)
65neneqd 2949 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘ / ๐‘Œ) = 0)
7 biorf 936 . . 3 (ยฌ (๐‘ / ๐‘Œ) = 0 โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) = 0 โ†” ((๐‘ / ๐‘Œ) = 0 โˆจ (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) = 0)))
86, 7syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) = 0 โ†” ((๐‘ / ๐‘Œ) = 0 โˆจ (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) = 0)))
9 ang.1 . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
10 angrtmuld.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
11 angrtmuld.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)
129, 10, 11, 2, 4angrteqvd 26172 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹๐น๐‘Œ) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)} โ†” (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) = 0))
139, 10, 11, 1, 3angrteqvd 26172 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹๐น๐‘) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)} โ†” (โ„œโ€˜(๐‘ / ๐‘‹)) = 0))
141, 2, 10, 4, 11dmdcan2d 11968 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / ๐‘Œ) ยท (๐‘Œ / ๐‘‹)) = (๐‘ / ๐‘‹))
1514fveq2d 6851 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜((๐‘ / ๐‘Œ) ยท (๐‘Œ / ๐‘‹))) = (โ„œโ€˜(๐‘ / ๐‘‹)))
16 angrtmuld.7 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
172, 10, 11divcld 11938 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
1816, 17remul2d 15119 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜((๐‘ / ๐‘Œ) ยท (๐‘Œ / ๐‘‹))) = ((๐‘ / ๐‘Œ) ยท (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹))))
1915, 18eqtr3d 2779 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ / ๐‘‹)) = ((๐‘ / ๐‘Œ) ยท (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹))))
2019eqeq1d 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ / ๐‘‹)) = 0 โ†” ((๐‘ / ๐‘Œ) ยท (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹))) = 0))
211, 2, 4divcld 11938 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
2217recld 15086 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
2322recnd 11190 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
2421, 23mul0ord 11812 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ / ๐‘Œ) ยท (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹))) = 0 โ†” ((๐‘ / ๐‘Œ) = 0 โˆจ (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) = 0)))
2513, 20, 243bitrd 305 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹๐น๐‘) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)} โ†” ((๐‘ / ๐‘Œ) = 0 โˆจ (โ„œโ€˜(๐‘Œ / ๐‘‹)) = 0)))
268, 12, 253bitr4d 311 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹๐น๐‘Œ) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)} โ†” (๐‘‹๐น๐‘) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058   ยท cmul 11063  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990  ฯ€cpi 15956  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  chordthmlem2  26199
  Copyright terms: Public domain W3C validator