MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptadd 24563
Description: Function-builder for derivative, addition rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptadd.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptadd.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
dvmptadd.dc (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptadd (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 + 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptadd
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptadd.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
32fmpttd 6856 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
4 dvmptadd.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
54fmpttd 6856 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐶):𝑋⟶ℂ)
6 dvmptadd.da . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
76dmeqd 5738 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
8 dvmptadd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
98ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
10 dmmptg 6063 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
127, 11eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
13 dvmptadd.dc . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
1413dmeqd 5738 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = dom (𝑥𝑋𝐷))
15 dvmptadd.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
1615ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐷𝑊)
17 dmmptg 6063 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 𝐷𝑊 → dom (𝑥𝑋𝐷) = 𝑋)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐷) = 𝑋)
1914, 18eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = 𝑋)
201, 3, 5, 12, 19dvaddf 24545 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ∘f + (𝑥𝑋𝐶))) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ∘f + (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶))))
21 ovex 7168 . . . . . 6 (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) ∈ V
2221dmex 7598 . . . . 5 dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) ∈ V
2319, 22eqeltrrdi 2899 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
24 eqidd 2799 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴))
25 eqidd 2799 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐶) = (𝑥𝑋𝐶))
2623, 2, 4, 24, 25offval2 7406 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ∘f + (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐶)))
2726oveq2d 7151 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ∘f + (𝑥𝑋𝐶))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐶))))
2823, 8, 15, 6, 13offval2 7406 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ∘f + (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 + 𝐷)))
2920, 27, 283eqtr3d 2841 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  Vcvv 3441  {cpr 4527  cmpt 5110  dom cdm 5519  (class class class)co 7135  f cof 7387  cc 10524  cr 10525   + caddc 10529   D cdv 24466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-limc 24469  df-dv 24470
This theorem is referenced by:  dvmptsub  24570  dvmptre  24572  dvmptfsum  24578  dvsincos  24584  dvlipcn  24597  advlogexp  25246  loglesqrt  25347  dvatan  25521  lgamgulmlem2  25615  log2sumbnd  26128  dvasin  35138  areacirclem1  35142  binomcxplemdvbinom  41052  dvxpaek  42577  itgiccshift  42617  itgperiod  42618  dirkeritg  42739  fourierdlem28  42772  fourierdlem60  42803  fourierdlem61  42804
  Copyright terms: Public domain W3C validator