Theorem chrnzr 21465

Description: Nonzero rings are precisely those with characteristic not 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
chrnzr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))

Proof of Theorem chrnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20458	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4	3	baib 534	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
5		1z 12628	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
7		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
8	6, 7, 2	chrdvds 21461	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅)))
9	5, 8	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅)))
10	6	chrcl 21459	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
11		dvds1 16301	. . . . 5 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ (chr‘𝑅) = 1))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ (chr‘𝑅) = 1))
13	7, 1	zrh1 21443	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
14	13	eqeq1d 2729	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
15	9, 12, 14	3bitr3d 308	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 1 ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
16	15	necon3bid 2981	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ≠ 1 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
17	4, 16	bitr4d 281	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936   class class class wbr 5150  ‘cfv 6551  1c1 11145  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12594   ∥ cdvds 16236  0_gc0g 17426  1_rcur 20126  Ringcrg 20178  NzRingcnzr 20456  ℤRHomczrh 21430  chrcchr 21432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-od 19488  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-rhm 20416  df-nzr 20457  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zrh 21434  df-chr 21436

This theorem is referenced by:  domnchr  21467