MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrnzr 21417
Description: Nonzero rings are precisely those with characteristic not 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
chrnzr (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))

Proof of Theorem chrnzr
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
2 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
31, 2isnzr 20414 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
43baib 535 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
5 1z 12593 . . . . 5 1 ∈ β„€
6 eqid 2726 . . . . . 6 (chrβ€˜π‘…) = (chrβ€˜π‘…)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (β„€RHomβ€˜π‘…) = (β„€RHomβ€˜π‘…)
86, 7, 2chrdvds 21413 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 1 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (0gβ€˜π‘…)))
95, 8mpan2 688 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 1 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (0gβ€˜π‘…)))
106chrcl 21411 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
11 dvds1 16267 . . . . 5 ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0 β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 1 ↔ (chrβ€˜π‘…) = 1))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 1 ↔ (chrβ€˜π‘…) = 1))
137, 1zrh1 21395 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
1413eqeq1d 2728 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
159, 12, 143bitr3d 309 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 1 ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
1615necon3bid 2979 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) β‰  1 ↔ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
174, 16bitr4d 282 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  1c1 11110  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559   βˆ₯ cdvds 16202  0gc0g 17392  1rcur 20084  Ringcrg 20136  NzRingcnzr 20412  β„€RHomczrh 21382  chrcchr 21384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-od 19446  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20372  df-nzr 20413  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-cnfld 21237  df-zring 21330  df-zrh 21386  df-chr 21388
This theorem is referenced by:  domnchr  21419
  Copyright terms: Public domain W3C validator