Theorem chrnzr 20349

Description: Nonzero rings are precisely those with characteristic not 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
chrnzr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))

Proof of Theorem chrnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20151	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4	3	baib 539	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
5		1z 12093	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
8	6, 7, 2	chrdvds 20347	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅)))
9	5, 8	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅)))
10	6	chrcl 20345	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
11		dvds1 15764	. . . . 5 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ (chr‘𝑅) = 1))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ (chr‘𝑅) = 1))
13	7, 1	zrh1 20333	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
14	13	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
15	9, 12, 14	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 1 ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
16	15	necon3bid 2978	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ≠ 1 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
17	4, 16	bitr4d 285	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  1c1 10616  ℕ₀cn0 11976  ℤcz 12062   ∥ cdvds 15699  0_gc0g 16816  1_rcur 19370  Ringcrg 19416  NzRingcnzr 20149  ℤRHomczrh 20320  chrcchr 20322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-od 18774  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-nzr 20150  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-chr 20326

This theorem is referenced by:  domnchr  20351