Theorem chrnzr 21836

Description: Nonzero rings are precisely those with characteristic not 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
chrnzr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))

Proof of Theorem chrnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20764	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4	3	baib 545	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
5		1z 12726	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
8	6, 7, 2	chrdvds 21832	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅)))
9	5, 8	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅)))
10	6	chrcl 21830	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
11		dvds1 16489	. . . . 5 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ (chr‘𝑅) = 1))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ∥ 1 ↔ (chr‘𝑅) = 1))
13	7, 1	zrh1 21818	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
14	13	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (0g‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
15	9, 12, 14	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 1 ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
16	15	necon3bid 3000	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) ≠ 1 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
17	4, 16	bitr4d 285	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  1c1 11201  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693   ∥ cdvds 16422  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  NzRingcnzr 20762  ℤRHomczrh 21805  chrcchr 21807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-od 19742  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-chr 21811

This theorem is used by:  domnchr  21838