Theorem zringbas 20615

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 11981	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 20610	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 20541	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 16547	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1531   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  ℂcc 10527  ℤcz 11973  Basecbs 16475  ℂ_fldccnfld 20537  ℤ_ringzring 20609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-cnfld 20538  df-zring 20610

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  20622  zringlpirlem1  20623  zringlpirlem3  20625  zringinvg  20626  zringunit  20627  zringndrg  20629  zringcyg  20630  prmirredlem  20632  prmirred  20634  expghm  20635  mulgghm2  20636  mulgrhm  20637  mulgrhm2  20638  zlmlmod  20662  zlmassa  20663  chrrhm  20670  domnchr  20671  znlidl  20672  znbas  20682  znzrh2  20684  znzrhfo  20686  zndvds  20688  znf1o  20690  zzngim  20691  znfld  20699  znidomb  20700  znunit  20702  znrrg  20704  cygznlem3  20708  frgpcyg  20712  zrhpsgnodpm  20728  dchrzrhmul  25814  lgsqrlem1  25914  lgsqrlem2  25915  lgsqrlem3  25916  lgsdchr  25923  lgseisenlem3  25945  lgseisenlem4  25946  dchrisum0flblem1  26076  mdetpmtr1  31081  mdetpmtr12  31083  mdetlap  31090  nmmulg  31202  cnzh  31204  rezh  31205  zrhf1ker  31209  zrhunitpreima  31212  elzrhunit  31213  qqhval2lem  31215  qqhf  31220  qqhghm  31222  qqhrhm  31223  qqhnm  31224  mzpmfp  39334  2zlidl  44195  zlmodzxzel  44393  zlmodzxzscm  44395  linevalexample  44440  zlmodzxzldeplem3  44547  zlmodzxzldep  44549  ldepsnlinclem1  44550  ldepsnlinclem2  44551