Theorem zringbas 21370

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12544	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21364	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21275	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17215	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  ℤcz 12536  Basecbs 17186  ℂ_fldccnfld 21271  ℤ_ringczring 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-cnfld 21272  df-zring 21364

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21378  zringlpirlem1  21379  zringlpirlem3  21381  zringinvg  21382  zringunit  21383  zringndrg  21385  zringcyg  21386  prmirredlem  21389  prmirred  21391  expghm  21392  mulgghm2  21393  mulgrhm  21394  mulgrhm2  21395  pzriprnglem2  21399  pzriprnglem4  21401  pzriprnglem5  21402  pzriprnglem6  21403  pzriprnglem8  21405  pzriprnglem10  21407  pzriprnglem12  21409  pzriprng1ALT  21413  zlmlmod  21439  fermltlchr  21446  chrrhm  21448  domnchr  21449  znlidl  21450  znbas  21460  znzrh2  21462  znzrhfo  21464  zndvds  21466  znf1o  21468  zzngim  21469  znfld  21477  znidomb  21478  znunit  21480  znrrg  21482  cygznlem3  21486  frgpcyg  21490  zrhpsgnodpm  21508  zlmassa  21819  ply1fermltlchr  22206  dchrzrhmul  27164  lgsqrlem1  27264  lgsqrlem2  27265  lgsqrlem3  27266  lgsdchr  27273  lgseisenlem3  27295  lgseisenlem4  27296  dchrisum0flblem1  27426  gsummulgc2  33007  elrgspnlem1  33200  znfermltl  33344  elrspunidl  33406  zringidom  33529  zringfrac  33532  mdetpmtr1  33820  mdetpmtr12  33822  mdetlap  33829  nmmulg  33963  cnzh  33965  rezh  33966  zrhf1ker  33970  zrhunitpreima  33973  elzrhunit  33974  zrhneg  33975  zrhcntr  33976  qqhval2lem  33978  qqhf  33983  qqhghm  33985  qqhrhm  33986  qqhnm  33987  zndvdchrrhm  41967  aks6d1c1p2  42104  aks6d1c1p3  42105  aks6d1c1  42111  hashscontpowcl  42115  hashscontpow  42117  aks6d1c4  42119  aks6d1c2  42125  aks6d1c5lem0  42130  aks6d1c5lem1  42131  aks6d1c5lem3  42132  aks6d1c5lem2  42133  aks6d1c5  42134  aks6d1c6lem1  42165  aks6d1c6lem3  42167  aks6d1c6isolem2  42170  aks6d1c6isolem3  42171  aks6d1c6lem5  42172  aks6d1c7lem1  42175  aks5lem3a  42184  aks5lem5a  42186  mzpmfp  42742  2zlidl  48232  zlmodzxzel  48347  zlmodzxzscm  48349  linevalexample  48388  zlmodzxzldeplem3  48495  zlmodzxzldep  48497  ldepsnlinclem1  48498  ldepsnlinclem2  48499