Theorem zringbas 21481

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12618	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21475	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21385	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17282	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1536   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  ℂcc 11150  ℤcz 12610  Basecbs 17244  ℂ_fldccnfld 21381  ℤ_ringczring 21474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-cnfld 21382  df-zring 21475

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21489  zringlpirlem1  21490  zringlpirlem3  21492  zringinvg  21493  zringunit  21494  zringndrg  21496  zringcyg  21497  prmirredlem  21500  prmirred  21502  expghm  21503  mulgghm2  21504  mulgrhm  21505  mulgrhm2  21506  pzriprnglem2  21510  pzriprnglem4  21512  pzriprnglem5  21513  pzriprnglem6  21514  pzriprnglem8  21516  pzriprnglem10  21518  pzriprnglem12  21520  pzriprng1ALT  21524  zlmlmod  21554  fermltlchr  21561  chrrhm  21563  domnchr  21564  znlidl  21565  znbas  21579  znzrh2  21581  znzrhfo  21583  zndvds  21585  znf1o  21587  zzngim  21588  znfld  21596  znidomb  21597  znunit  21599  znrrg  21601  cygznlem3  21605  frgpcyg  21609  zrhpsgnodpm  21627  zlmassa  21940  ply1fermltlchr  22331  dchrzrhmul  27304  lgsqrlem1  27404  lgsqrlem2  27405  lgsqrlem3  27406  lgsdchr  27413  lgseisenlem3  27435  lgseisenlem4  27436  dchrisum0flblem1  27566  gsummulgc2  33045  elrgspnlem1  33231  znfermltl  33373  elrspunidl  33435  zringidom  33558  zringfrac  33561  mdetpmtr1  33783  mdetpmtr12  33785  mdetlap  33792  nmmulg  33928  cnzh  33930  rezh  33931  zrhf1ker  33935  zrhunitpreima  33938  elzrhunit  33939  zrhneg  33940  zrhcntr  33941  qqhval2lem  33943  qqhf  33948  qqhghm  33950  qqhrhm  33951  qqhnm  33952  zndvdchrrhm  41952  aks6d1c1p2  42090  aks6d1c1p3  42091  aks6d1c1  42097  hashscontpowcl  42101  hashscontpow  42103  aks6d1c4  42105  aks6d1c2  42111  aks6d1c5lem0  42116  aks6d1c5lem1  42117  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  aks6d1c5  42120  aks6d1c6lem1  42151  aks6d1c6lem3  42153  aks6d1c6isolem2  42156  aks6d1c6isolem3  42157  aks6d1c6lem5  42158  aks6d1c7lem1  42161  aks5lem3a  42170  aks5lem5a  42172  mzpmfp  42734  2zlidl  48083  zlmodzxzel  48199  zlmodzxzscm  48201  linevalexample  48240  zlmodzxzldeplem3  48347  zlmodzxzldep  48349  ldepsnlinclem1  48350  ldepsnlinclem2  48351