MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringbas 20541
Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringbas ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas
StepHypRef Expression
1 zsscn 11981 . 2 ℤ ⊆ ℂ
2 df-zring 20536 . . 3 ring = (ℂflds ℤ)
3 cnfldbas 20467 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
42, 3ressbas2 16547 . 2 (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
51, 4ax-mp 5 1 ℤ = (Base‘ℤring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wss 3939  cfv 6351  cc 10527  cz 11973  Basecbs 16475  fldccnfld 20463  ringzring 20535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-cnfld 20464  df-zring 20536
This theorem is referenced by:  dvdsrzring  20548  zringlpirlem1  20549  zringlpirlem3  20551  zringinvg  20552  zringunit  20553  zringndrg  20555  zringcyg  20556  prmirredlem  20558  prmirred  20560  expghm  20561  mulgghm2  20562  mulgrhm  20563  mulgrhm2  20564  zlmlmod  20588  zlmassa  20589  chrrhm  20596  domnchr  20597  znlidl  20598  znbas  20608  znzrh2  20610  znzrhfo  20612  zndvds  20614  znf1o  20616  zzngim  20617  znfld  20625  znidomb  20626  znunit  20628  znrrg  20630  cygznlem3  20634  frgpcyg  20638  zrhpsgnodpm  20654  dchrzrhmul  25738  lgsqrlem1  25838  lgsqrlem2  25839  lgsqrlem3  25840  lgsdchr  25847  lgseisenlem3  25869  lgseisenlem4  25870  dchrisum0flblem1  26000  mdetpmtr1  30976  mdetpmtr12  30978  mdetlap  30985  nmmulg  31097  cnzh  31099  rezh  31100  zrhf1ker  31104  zrhunitpreima  31107  elzrhunit  31108  qqhval2lem  31110  qqhf  31115  qqhghm  31117  qqhrhm  31118  qqhnm  31119  mzpmfp  39211  2zlidl  44039  zlmodzxzel  44237  zlmodzxzscm  44239  linevalexample  44284  zlmodzxzldeplem3  44391  zlmodzxzldep  44393  ldepsnlinclem1  44394  ldepsnlinclem2  44395
  Copyright terms: Public domain W3C validator