Theorem zringbas 21464

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12621	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21458	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21368	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17283	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  ℤcz 12613  Basecbs 17247  ℂ_fldccnfld 21364  ℤ_ringczring 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-cnfld 21365  df-zring 21458

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21472  zringlpirlem1  21473  zringlpirlem3  21475  zringinvg  21476  zringunit  21477  zringndrg  21479  zringcyg  21480  prmirredlem  21483  prmirred  21485  expghm  21486  mulgghm2  21487  mulgrhm  21488  mulgrhm2  21489  pzriprnglem2  21493  pzriprnglem4  21495  pzriprnglem5  21496  pzriprnglem6  21497  pzriprnglem8  21499  pzriprnglem10  21501  pzriprnglem12  21503  pzriprng1ALT  21507  zlmlmod  21537  fermltlchr  21544  chrrhm  21546  domnchr  21547  znlidl  21548  znbas  21562  znzrh2  21564  znzrhfo  21566  zndvds  21568  znf1o  21570  zzngim  21571  znfld  21579  znidomb  21580  znunit  21582  znrrg  21584  cygznlem3  21588  frgpcyg  21592  zrhpsgnodpm  21610  zlmassa  21923  ply1fermltlchr  22316  dchrzrhmul  27290  lgsqrlem1  27390  lgsqrlem2  27391  lgsqrlem3  27392  lgsdchr  27399  lgseisenlem3  27421  lgseisenlem4  27422  dchrisum0flblem1  27552  gsummulgc2  33063  elrgspnlem1  33246  znfermltl  33394  elrspunidl  33456  zringidom  33579  zringfrac  33582  mdetpmtr1  33822  mdetpmtr12  33824  mdetlap  33831  nmmulg  33967  cnzh  33969  rezh  33970  zrhf1ker  33974  zrhunitpreima  33977  elzrhunit  33978  zrhneg  33979  zrhcntr  33980  qqhval2lem  33982  qqhf  33987  qqhghm  33989  qqhrhm  33990  qqhnm  33991  zndvdchrrhm  41972  aks6d1c1p2  42110  aks6d1c1p3  42111  aks6d1c1  42117  hashscontpowcl  42121  hashscontpow  42123  aks6d1c4  42125  aks6d1c2  42131  aks6d1c5lem0  42136  aks6d1c5lem1  42137  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5lem2  42139  aks6d1c5  42140  aks6d1c6lem1  42171  aks6d1c6lem3  42173  aks6d1c6isolem2  42176  aks6d1c6isolem3  42177  aks6d1c6lem5  42178  aks6d1c7lem1  42181  aks5lem3a  42190  aks5lem5a  42192  mzpmfp  42758  2zlidl  48156  zlmodzxzel  48271  zlmodzxzscm  48273  linevalexample  48312  zlmodzxzldeplem3  48419  zlmodzxzldep  48421  ldepsnlinclem1  48422  ldepsnlinclem2  48423