Theorem zringbas 21029

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12568	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21024	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 20954	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17184	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  ℂcc 11110  ℤcz 12560  Basecbs 17146  ℂ_fldccnfld 20950  ℤ_ringczring 21023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-cnfld 20951  df-zring 21024

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21037  zringlpirlem1  21038  zringlpirlem3  21040  zringinvg  21041  zringunit  21042  zringndrg  21044  zringcyg  21045  prmirredlem  21048  prmirred  21050  expghm  21051  mulgghm2  21052  mulgrhm  21053  mulgrhm2  21054  zlmlmod  21082  chrrhm  21089  domnchr  21090  znlidl  21091  znbas  21105  znzrh2  21107  znzrhfo  21109  zndvds  21111  znf1o  21113  zzngim  21114  znfld  21122  znidomb  21123  znunit  21125  znrrg  21127  cygznlem3  21131  frgpcyg  21135  zrhpsgnodpm  21151  zlmassa  21462  dchrzrhmul  26756  lgsqrlem1  26856  lgsqrlem2  26857  lgsqrlem3  26858  lgsdchr  26865  lgseisenlem3  26887  lgseisenlem4  26888  dchrisum0flblem1  27018  fermltlchr  32523  znfermltl  32524  elrspunidl  32591  ply1fermltlchr  32707  mdetpmtr1  32872  mdetpmtr12  32874  mdetlap  32881  nmmulg  33017  cnzh  33019  rezh  33020  zrhf1ker  33024  zrhunitpreima  33027  elzrhunit  33028  qqhval2lem  33030  qqhf  33035  qqhghm  33037  qqhrhm  33038  qqhnm  33039  mzpmfp  41567  pzriprnglem2  46885  pzriprnglem4  46887  pzriprnglem5  46888  pzriprnglem6  46889  pzriprnglem8  46891  pzriprnglem10  46893  pzriprnglem12  46895  pzriprng1ALT  46899  2zlidl  46911  zlmodzxzel  47110  zlmodzxzscm  47112  linevalexample  47154  zlmodzxzldeplem3  47261  zlmodzxzldep  47263  ldepsnlinclem1  47264  ldepsnlinclem2  47265