Theorem zringbas 21584

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12600	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21578	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21507	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17299	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1570   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  ℂcc 11099  ℤcz 12592  Basecbs 17270  ℂ_fldccnfld 21503  ℤ_ringczring 21577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-cnfld 21504  df-zring 21578

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21592  zringlpirlem1  21593  zringlpirlem3  21595  zringinvg  21596  zringunit  21597  zringndrg  21599  zringcyg  21600  prmirredlem  21603  prmirred  21605  expghm  21606  mulgghm2  21607  mulgrhm  21608  mulgrhm2  21609  pzriprnglem2  21613  pzriprnglem4  21615  pzriprnglem5  21616  pzriprnglem6  21617  pzriprnglem8  21619  pzriprnglem10  21621  pzriprnglem12  21623  pzriprng1ALT  21627  zlmlmod  21653  fermltlchr  21660  chrrhm  21662  domnchr  21663  znlidl  21664  znbas  21674  znzrh2  21676  znzrhfo  21678  zndvds  21680  znf1o  21682  zzngim  21683  znfld  21691  znidomb  21692  znunit  21694  znrrg  21696  cygznlem3  21700  frgpcyg  21704  zrhpsgnodpm  21723  zlmassa  22034  ply1fermltlchr  22453  dchrzrhmul  27388  lgsqrlem1  27488  lgsqrlem2  27489  lgsqrlem3  27490  lgsdchr  27497  lgseisenlem3  27519  lgseisenlem4  27520  dchrisum0flblem1  27650  gsummulgc2  33364  elrgspnlem1  33540  znfermltl  33659  elrspunidl  33714  zringidom  33819  zringfrac  33822  esplyfval0  33932  esplyfval2  33933  esplympl  33935  esplyfval3  33940  vieta  33948  mdetpmtr1  34191  mdetpmtr12  34193  mdetlap  34200  nmmulg  34334  cnzh  34336  rezh  34337  zrhf1ker  34341  zrhunitpreima  34344  elzrhunit  34345  zrhneg  34346  zrhcntr  34347  qqhval2lem  34349  qqhf  34354  qqhghm  34356  qqhrhm  34357  qqhnm  34358  zndvdchrrhm  42718  aks6d1c1p2  42854  aks6d1c1p3  42855  aks6d1c1  42861  hashscontpowcl  42865  hashscontpow  42867  aks6d1c4  42869  aks6d1c2  42875  aks6d1c5lem0  42880  aks6d1c5lem1  42881  aks6d1c5lem3  42882  aks6d1c5lem2  42883  aks6d1c5  42884  aks6d1c6lem1  42915  aks6d1c6lem3  42917  aks6d1c6isolem2  42920  aks6d1c6isolem3  42921  aks6d1c6lem5  42922  aks6d1c7lem1  42925  aks5lem3a  42934  aks5lem5a  42936  mzpmfp  43458  2zlidl  48982  zlmodzxzel  49112  zlmodzxzscm  49114  linevalexample  49152  zlmodzxzldeplem3  49259  zlmodzxzldep  49261  ldepsnlinclem1  49262  ldepsnlinclem2  49263