Theorem zringbas 21739

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12682	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21733	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21662	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17396	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  ℂcc 11179  ℤcz 12674  Basecbs 17367  ℂ_fldccnfld 21658  ℤ_ringczring 21732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-cnfld 21659  df-zring 21733

This theorem is used by:  dvdsrzring  21747  zringlpirlem1  21748  zringlpirlem3  21750  zringinvg  21751  zringunit  21752  zringndrg  21754  zringcyg  21755  prmirredlem  21758  prmirred  21760  expghm  21761  mulgghm2  21762  mulgrhm  21763  mulgrhm2  21764  pzriprnglem2  21768  pzriprnglem4  21770  pzriprnglem5  21771  pzriprnglem6  21772  pzriprnglem8  21774  pzriprnglem10  21776  pzriprnglem12  21778  pzriprng1ALT  21782  zlmlmod  21808  fermltlchr  21815  chrrhm  21817  domnchr  21818  znlidl  21819  znbas  21829  znzrh2  21831  znzrhfo  21833  zndvds  21835  znf1o  21837  zzngim  21838  znfld  21846  znidomb  21847  znunit  21849  znrrg  21851  cygznlem3  21855  frgpcyg  21859  zrhpsgnodpm  21878  zlmassa  22191  ply1fermltlchr  22610  dchrzrhmul  27555  lgsqrlem1  27655  lgsqrlem2  27656  lgsqrlem3  27657  lgsdchr  27664  lgseisenlem3  27686  lgseisenlem4  27687  dchrisum0flblem1  27817  gsummulgc2  33609  elrgspnlem1  33785  znfermltl  33904  elrspunidl  33960  zringidom  34065  zringfrac  34068  esplyfval0  34178  esplyfval2  34179  esplympl  34181  esplyfval3  34186  vieta  34194  mdetpmtr1  34437  mdetpmtr12  34439  mdetlap  34446  nmmulg  34580  cnzh  34582  rezh  34583  zrhf1ker  34587  zrhunitpreima  34590  elzrhunit  34591  zrhneg  34592  zrhcntr  34593  qqhval2lem  34595  qqhf  34600  qqhghm  34602  qqhrhm  34603  qqhnm  34604  zndvdchrrhm  42991  aks6d1c1p2  43127  aks6d1c1p3  43128  aks6d1c1  43134  hashscontpowcl  43138  hashscontpow  43140  aks6d1c4  43142  aks6d1c2  43148  aks6d1c5lem0  43153  aks6d1c5lem1  43154  aks6d1c5lem3  43155  aks6d1c5lem2  43156  aks6d1c5  43157  aks6d1c6lem1  43188  aks6d1c6lem3  43190  aks6d1c6isolem2  43193  aks6d1c6isolem3  43194  aks6d1c6lem5  43195  aks6d1c7lem1  43198  aks5lem3a  43207  aks5lem5a  43209  mzpmfp  43711  2zlidl  49281  zlmodzxzel  49411  zlmodzxzscm  49413  linevalexample  49451  zlmodzxzldeplem3  49558  zlmodzxzldep  49560  ldepsnlinclem1  49561  ldepsnlinclem2  49562