MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringbas 20097
Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringbas ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas
StepHypRef Expression
1 zsscn 11632 . 2 ℤ ⊆ ℂ
2 df-zring 20092 . . 3 ring = (ℂflds ℤ)
3 cnfldbas 20023 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
42, 3ressbas2 16203 . 2 (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
51, 4ax-mp 5 1 ℤ = (Base‘ℤring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wss 3732  cfv 6068  cc 10187  cz 11624  Basecbs 16130  fldccnfld 20019  ringzring 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-cnfld 20020  df-zring 20092
This theorem is referenced by:  dvdsrzring  20104  zringlpirlem1  20105  zringlpirlem3  20107  zringinvg  20108  zringunit  20109  zringndrg  20111  zringcyg  20112  prmirredlem  20114  prmirred  20116  expghm  20117  mulgghm2  20118  mulgrhm  20119  mulgrhm2  20120  zlmlmod  20144  zlmassa  20145  chrrhm  20152  domnchr  20153  znlidl  20154  znbas  20164  znzrh2  20166  znzrhfo  20168  zndvds  20170  znf1o  20172  zzngim  20173  znfld  20181  znidomb  20182  znunit  20184  znrrg  20186  cygznlem3  20190  frgpcyg  20194  zrhpsgnodpm  20210  dchrzrhmul  25262  lgsqrlem1  25362  lgsqrlem2  25363  lgsqrlem3  25364  lgsdchr  25371  lgseisenlem3  25393  lgseisenlem4  25394  dchrisum0flblem1  25488  mdetpmtr1  30336  mdetpmtr12  30338  mdetlap  30345  nmmulg  30459  cnzh  30461  rezh  30462  zrhf1ker  30466  zrhunitpreima  30469  elzrhunit  30470  qqhval2lem  30472  qqhf  30477  qqhghm  30479  qqhrhm  30480  qqhnm  30481  mzpmfp  37988  2zlidl  42603  zlmodzxzel  42802  zlmodzxzscm  42804  linevalexample  42853  zlmodzxzldeplem3  42960  zlmodzxzldep  42962  ldepsnlinclem1  42963  ldepsnlinclem2  42964
  Copyright terms: Public domain W3C validator