Theorem zringbas 21672

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12627	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21666	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21595	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17336	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  ℂcc 11126  ℤcz 12619  Basecbs 17307  ℂ_fldccnfld 21591  ℤ_ringczring 21665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-cnfld 21592  df-zring 21666

This theorem is used by:  dvdsrzring  21680  zringlpirlem1  21681  zringlpirlem3  21683  zringinvg  21684  zringunit  21685  zringndrg  21687  zringcyg  21688  prmirredlem  21691  prmirred  21693  expghm  21694  mulgghm2  21695  mulgrhm  21696  mulgrhm2  21697  pzriprnglem2  21701  pzriprnglem4  21703  pzriprnglem5  21704  pzriprnglem6  21705  pzriprnglem8  21707  pzriprnglem10  21709  pzriprnglem12  21711  pzriprng1ALT  21715  zlmlmod  21741  fermltlchr  21748  chrrhm  21750  domnchr  21751  znlidl  21752  znbas  21762  znzrh2  21764  znzrhfo  21766  zndvds  21768  znf1o  21770  zzngim  21771  znfld  21779  znidomb  21780  znunit  21782  znrrg  21784  cygznlem3  21788  frgpcyg  21792  zrhpsgnodpm  21811  zlmassa  22124  ply1fermltlchr  22543  dchrzrhmul  27490  lgsqrlem1  27590  lgsqrlem2  27591  lgsqrlem3  27592  lgsdchr  27599  lgseisenlem3  27621  lgseisenlem4  27622  dchrisum0flblem1  27752  gsummulgc2  33514  elrgspnlem1  33690  znfermltl  33809  elrspunidl  33864  zringidom  33969  zringfrac  33972  esplyfval0  34082  esplyfval2  34083  esplympl  34085  esplyfval3  34090  vieta  34098  mdetpmtr1  34341  mdetpmtr12  34343  mdetlap  34350  nmmulg  34484  cnzh  34486  rezh  34487  zrhf1ker  34491  zrhunitpreima  34494  elzrhunit  34495  zrhneg  34496  zrhcntr  34497  qqhval2lem  34499  qqhf  34504  qqhghm  34506  qqhrhm  34507  qqhnm  34508  zndvdchrrhm  42847  aks6d1c1p2  42983  aks6d1c1p3  42984  aks6d1c1  42990  hashscontpowcl  42994  hashscontpow  42996  aks6d1c4  42998  aks6d1c2  43004  aks6d1c5lem0  43009  aks6d1c5lem1  43010  aks6d1c5lem3  43011  aks6d1c5lem2  43012  aks6d1c5  43013  aks6d1c6lem1  43044  aks6d1c6lem3  43046  aks6d1c6isolem2  43049  aks6d1c6isolem3  43050  aks6d1c6lem5  43051  aks6d1c7lem1  43054  aks5lem3a  43063  aks5lem5a  43065  mzpmfp  43600  2zlidl  49163  zlmodzxzel  49293  zlmodzxzscm  49295  linevalexample  49333  zlmodzxzldeplem3  49440  zlmodzxzldep  49442  ldepsnlinclem1  49443  ldepsnlinclem2  49444