Theorem zringbas 21563

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12590	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21557	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21486	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17288	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1563   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  ℂcc 11086  ℤcz 12582  Basecbs 17259  ℂ_fldccnfld 21482  ℤ_ringczring 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-cnfld 21483  df-zring 21557

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21571  zringlpirlem1  21572  zringlpirlem3  21574  zringinvg  21575  zringunit  21576  zringndrg  21578  zringcyg  21579  prmirredlem  21582  prmirred  21584  expghm  21585  mulgghm2  21586  mulgrhm  21587  mulgrhm2  21588  pzriprnglem2  21592  pzriprnglem4  21594  pzriprnglem5  21595  pzriprnglem6  21596  pzriprnglem8  21598  pzriprnglem10  21600  pzriprnglem12  21602  pzriprng1ALT  21606  zlmlmod  21632  fermltlchr  21639  chrrhm  21641  domnchr  21642  znlidl  21643  znbas  21653  znzrh2  21655  znzrhfo  21657  zndvds  21659  znf1o  21661  zzngim  21662  znfld  21670  znidomb  21671  znunit  21673  znrrg  21675  cygznlem3  21679  frgpcyg  21683  zrhpsgnodpm  21702  zlmassa  22013  ply1fermltlchr  22433  dchrzrhmul  27368  lgsqrlem1  27468  lgsqrlem2  27469  lgsqrlem3  27470  lgsdchr  27477  lgseisenlem3  27499  lgseisenlem4  27500  dchrisum0flblem1  27630  gsummulgc2  33299  elrgspnlem1  33475  znfermltl  33596  elrspunidl  33652  zringidom  33758  zringfrac  33761  esplyfval0  33871  esplyfval2  33872  esplympl  33874  esplyfval3  33879  vieta  33887  mdetpmtr1  34130  mdetpmtr12  34132  mdetlap  34139  nmmulg  34273  cnzh  34275  rezh  34276  zrhf1ker  34280  zrhunitpreima  34283  elzrhunit  34284  zrhneg  34285  zrhcntr  34286  qqhval2lem  34288  qqhf  34293  qqhghm  34295  qqhrhm  34296  qqhnm  34297  zndvdchrrhm  42602  aks6d1c1p2  42738  aks6d1c1p3  42739  aks6d1c1  42745  hashscontpowcl  42749  hashscontpow  42751  aks6d1c4  42753  aks6d1c2  42759  aks6d1c5lem0  42764  aks6d1c5lem1  42765  aks6d1c5lem3  42766  aks6d1c5lem2  42767  aks6d1c5  42768  aks6d1c6lem1  42799  aks6d1c6lem3  42801  aks6d1c6isolem2  42804  aks6d1c6isolem3  42805  aks6d1c6lem5  42806  aks6d1c7lem1  42809  aks5lem3a  42818  aks5lem5a  42820  mzpmfp  43340  2zlidl  48860  zlmodzxzel  48986  zlmodzxzscm  48988  linevalexample  49026  zlmodzxzldeplem3  49133  zlmodzxzldep  49135  ldepsnlinclem1  49136  ldepsnlinclem2  49137