Theorem zringbas 21789

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12728	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21783	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21712	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17445	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  ℂcc 11225  ℤcz 12720  Basecbs 17416  ℂ_fldccnfld 21708  ℤ_ringczring 21782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-cnfld 21709  df-zring 21783

This theorem is used by:  dvdsrzring  21797  zringlpirlem1  21798  zringlpirlem3  21800  zringinvg  21801  zringunit  21802  zringndrg  21804  zringcyg  21805  prmirredlem  21808  prmirred  21810  expghm  21811  mulgghm2  21812  mulgrhm  21813  mulgrhm2  21814  pzriprnglem2  21818  pzriprnglem4  21820  pzriprnglem5  21821  pzriprnglem6  21822  pzriprnglem8  21824  pzriprnglem10  21826  pzriprnglem12  21828  pzriprng1ALT  21832  zlmlmod  21858  fermltlchr  21865  chrrhm  21867  domnchr  21868  znlidl  21869  znbas  21879  znzrh2  21881  znzrhfo  21883  zndvds  21885  znf1o  21887  zzngim  21888  znfld  21896  znidomb  21897  znunit  21899  znrrg  21901  cygznlem3  21905  frgpcyg  21909  zrhpsgnodpm  21928  zlmassa  22241  ply1fermltlchr  22660  dchrzrhmul  27603  lgsqrlem1  27703  lgsqrlem2  27704  lgsqrlem3  27705  lgsdchr  27712  lgseisenlem3  27734  lgseisenlem4  27735  dchrisum0flblem1  27865  gsummulgc2  33697  elrgspnlem1  33873  znfermltl  33992  elrspunidl  34048  zringidom  34153  zringfrac  34156  esplyfval0  34266  esplyfval2  34267  esplympl  34269  esplyfval3  34274  vieta  34282  mdetpmtr1  34525  mdetpmtr12  34527  mdetlap  34534  nmmulg  34668  cnzh  34670  rezh  34671  zrhf1ker  34675  zrhunitpreima  34678  elzrhunit  34679  zrhneg  34680  zrhcntr  34681  qqhval2lem  34683  qqhf  34688  qqhghm  34690  qqhrhm  34691  qqhnm  34692  zndvdchrrhm  43215  aks6d1c1p2  43351  aks6d1c1p3  43352  aks6d1c1  43358  hashscontpowcl  43362  hashscontpow  43364  aks6d1c4  43366  aks6d1c2  43372  aks6d1c5lem0  43377  aks6d1c5lem1  43378  aks6d1c5lem3  43379  aks6d1c5lem2  43380  aks6d1c5  43381  aks6d1c6lem1  43412  aks6d1c6lem3  43414  aks6d1c6isolem2  43417  aks6d1c6isolem3  43418  aks6d1c6lem5  43419  aks6d1c7lem1  43422  aks5lem3a  43431  aks5lem5a  43433  mzpmfp  43951  2zlidl  49542  zlmodzxzel  49672  zlmodzxzscm  49674  linevalexample  49712  zlmodzxzldeplem3  49819  zlmodzxzldep  49821  ldepsnlinclem1  49822  ldepsnlinclem2  49823