Theorem zringbas 21420

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12508	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21414	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21325	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17177	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  ℤcz 12500  Basecbs 17148  ℂ_fldccnfld 21321  ℤ_ringczring 21413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-cnfld 21322  df-zring 21414

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21428  zringlpirlem1  21429  zringlpirlem3  21431  zringinvg  21432  zringunit  21433  zringndrg  21435  zringcyg  21436  prmirredlem  21439  prmirred  21441  expghm  21442  mulgghm2  21443  mulgrhm  21444  mulgrhm2  21445  pzriprnglem2  21449  pzriprnglem4  21451  pzriprnglem5  21452  pzriprnglem6  21453  pzriprnglem8  21455  pzriprnglem10  21457  pzriprnglem12  21459  pzriprng1ALT  21463  zlmlmod  21489  fermltlchr  21496  chrrhm  21498  domnchr  21499  znlidl  21500  znbas  21510  znzrh2  21512  znzrhfo  21514  zndvds  21516  znf1o  21518  zzngim  21519  znfld  21527  znidomb  21528  znunit  21530  znrrg  21532  cygznlem3  21536  frgpcyg  21540  zrhpsgnodpm  21559  zlmassa  21871  ply1fermltlchr  22268  dchrzrhmul  27225  lgsqrlem1  27325  lgsqrlem2  27326  lgsqrlem3  27327  lgsdchr  27334  lgseisenlem3  27356  lgseisenlem4  27357  dchrisum0flblem1  27487  gsummulgc2  33159  elrgspnlem1  33335  znfermltl  33458  elrspunidl  33520  zringidom  33643  zringfrac  33646  esplyfval0  33740  esplyfval2  33741  esplympl  33743  esplyfval3  33748  vieta  33756  mdetpmtr1  34000  mdetpmtr12  34002  mdetlap  34009  nmmulg  34143  cnzh  34145  rezh  34146  zrhf1ker  34150  zrhunitpreima  34153  elzrhunit  34154  zrhneg  34155  zrhcntr  34156  qqhval2lem  34158  qqhf  34163  qqhghm  34165  qqhrhm  34166  qqhnm  34167  zndvdchrrhm  42336  aks6d1c1p2  42473  aks6d1c1p3  42474  aks6d1c1  42480  hashscontpowcl  42484  hashscontpow  42486  aks6d1c4  42488  aks6d1c2  42494  aks6d1c5lem0  42499  aks6d1c5lem1  42500  aks6d1c5lem3  42501  aks6d1c5lem2  42502  aks6d1c5  42503  aks6d1c6lem1  42534  aks6d1c6lem3  42536  aks6d1c6isolem2  42539  aks6d1c6isolem3  42540  aks6d1c6lem5  42541  aks6d1c7lem1  42544  aks5lem3a  42553  aks5lem5a  42555  mzpmfp  43098  2zlidl  48594  zlmodzxzel  48709  zlmodzxzscm  48711  linevalexample  48749  zlmodzxzldeplem3  48856  zlmodzxzldep  48858  ldepsnlinclem1  48859  ldepsnlinclem2  48860