Theorem zringbas 21487

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12647	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21481	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21391	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17296	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1537   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  ℤcz 12639  Basecbs 17258  ℂ_fldccnfld 21387  ℤ_ringczring 21480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-cnfld 21388  df-zring 21481

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21495  zringlpirlem1  21496  zringlpirlem3  21498  zringinvg  21499  zringunit  21500  zringndrg  21502  zringcyg  21503  prmirredlem  21506  prmirred  21508  expghm  21509  mulgghm2  21510  mulgrhm  21511  mulgrhm2  21512  pzriprnglem2  21516  pzriprnglem4  21518  pzriprnglem5  21519  pzriprnglem6  21520  pzriprnglem8  21522  pzriprnglem10  21524  pzriprnglem12  21526  pzriprng1ALT  21530  zlmlmod  21560  fermltlchr  21567  chrrhm  21569  domnchr  21570  znlidl  21571  znbas  21585  znzrh2  21587  znzrhfo  21589  zndvds  21591  znf1o  21593  zzngim  21594  znfld  21602  znidomb  21603  znunit  21605  znrrg  21607  cygznlem3  21611  frgpcyg  21615  zrhpsgnodpm  21633  zlmassa  21946  ply1fermltlchr  22337  dchrzrhmul  27308  lgsqrlem1  27408  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  lgsdchr  27417  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  dchrisum0flblem1  27570  znfermltl  33359  elrspunidl  33421  zringidom  33544  zringfrac  33547  mdetpmtr1  33769  mdetpmtr12  33771  mdetlap  33778  nmmulg  33914  cnzh  33916  rezh  33917  zrhf1ker  33921  zrhunitpreima  33924  elzrhunit  33925  qqhval2lem  33927  qqhf  33932  qqhghm  33934  qqhrhm  33935  qqhnm  33936  zndvdchrrhm  41927  aks6d1c1p2  42066  aks6d1c1p3  42067  aks6d1c1  42073  hashscontpowcl  42077  hashscontpow  42079  aks6d1c4  42081  aks6d1c2  42087  aks6d1c5lem0  42092  aks6d1c5lem1  42093  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  aks6d1c5  42096  aks6d1c6lem1  42127  aks6d1c6lem3  42129  aks6d1c6isolem2  42132  aks6d1c6isolem3  42133  aks6d1c6lem5  42134  aks6d1c7lem1  42137  aks5lem3a  42146  aks5lem5a  42148  mzpmfp  42703  2zlidl  47963  zlmodzxzel  48080  zlmodzxzscm  48082  linevalexample  48124  zlmodzxzldeplem3  48231  zlmodzxzldep  48233  ldepsnlinclem1  48234  ldepsnlinclem2  48235