Theorem zringbas 21363

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12537	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21357	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21268	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17208	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  ℂcc 11066  ℤcz 12529  Basecbs 17179  ℂ_fldccnfld 21264  ℤ_ringczring 21356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-cnfld 21265  df-zring 21357

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21371  zringlpirlem1  21372  zringlpirlem3  21374  zringinvg  21375  zringunit  21376  zringndrg  21378  zringcyg  21379  prmirredlem  21382  prmirred  21384  expghm  21385  mulgghm2  21386  mulgrhm  21387  mulgrhm2  21388  pzriprnglem2  21392  pzriprnglem4  21394  pzriprnglem5  21395  pzriprnglem6  21396  pzriprnglem8  21398  pzriprnglem10  21400  pzriprnglem12  21402  pzriprng1ALT  21406  zlmlmod  21432  fermltlchr  21439  chrrhm  21441  domnchr  21442  znlidl  21443  znbas  21453  znzrh2  21455  znzrhfo  21457  zndvds  21459  znf1o  21461  zzngim  21462  znfld  21470  znidomb  21471  znunit  21473  znrrg  21475  cygznlem3  21479  frgpcyg  21483  zrhpsgnodpm  21501  zlmassa  21812  ply1fermltlchr  22199  dchrzrhmul  27157  lgsqrlem1  27257  lgsqrlem2  27258  lgsqrlem3  27259  lgsdchr  27266  lgseisenlem3  27288  lgseisenlem4  27289  dchrisum0flblem1  27419  gsummulgc2  33000  elrgspnlem1  33193  znfermltl  33337  elrspunidl  33399  zringidom  33522  zringfrac  33525  mdetpmtr1  33813  mdetpmtr12  33815  mdetlap  33822  nmmulg  33956  cnzh  33958  rezh  33959  zrhf1ker  33963  zrhunitpreima  33966  elzrhunit  33967  zrhneg  33968  zrhcntr  33969  qqhval2lem  33971  qqhf  33976  qqhghm  33978  qqhrhm  33979  qqhnm  33980  zndvdchrrhm  41960  aks6d1c1p2  42097  aks6d1c1p3  42098  aks6d1c1  42104  hashscontpowcl  42108  hashscontpow  42110  aks6d1c4  42112  aks6d1c2  42118  aks6d1c5lem0  42123  aks6d1c5lem1  42124  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  aks6d1c5  42127  aks6d1c6lem1  42158  aks6d1c6lem3  42160  aks6d1c6isolem2  42163  aks6d1c6isolem3  42164  aks6d1c6lem5  42165  aks6d1c7lem1  42168  aks5lem3a  42177  aks5lem5a  42179  mzpmfp  42735  2zlidl  48228  zlmodzxzel  48343  zlmodzxzscm  48345  linevalexample  48384  zlmodzxzldeplem3  48491  zlmodzxzldep  48493  ldepsnlinclem1  48494  ldepsnlinclem2  48495