Theorem zringbas 21412

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12594	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21406	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21317	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17257	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6530  ℂcc 11125  ℤcz 12586  Basecbs 17226  ℂ_fldccnfld 21313  ℤ_ringczring 21405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-cnfld 21314  df-zring 21406

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21420  zringlpirlem1  21421  zringlpirlem3  21423  zringinvg  21424  zringunit  21425  zringndrg  21427  zringcyg  21428  prmirredlem  21431  prmirred  21433  expghm  21434  mulgghm2  21435  mulgrhm  21436  mulgrhm2  21437  pzriprnglem2  21441  pzriprnglem4  21443  pzriprnglem5  21444  pzriprnglem6  21445  pzriprnglem8  21447  pzriprnglem10  21449  pzriprnglem12  21451  pzriprng1ALT  21455  zlmlmod  21481  fermltlchr  21488  chrrhm  21490  domnchr  21491  znlidl  21492  znbas  21502  znzrh2  21504  znzrhfo  21506  zndvds  21508  znf1o  21510  zzngim  21511  znfld  21519  znidomb  21520  znunit  21522  znrrg  21524  cygznlem3  21528  frgpcyg  21532  zrhpsgnodpm  21550  zlmassa  21861  ply1fermltlchr  22248  dchrzrhmul  27207  lgsqrlem1  27307  lgsqrlem2  27308  lgsqrlem3  27309  lgsdchr  27316  lgseisenlem3  27338  lgseisenlem4  27339  dchrisum0flblem1  27469  gsummulgc2  33000  elrgspnlem1  33183  znfermltl  33327  elrspunidl  33389  zringidom  33512  zringfrac  33515  mdetpmtr1  33800  mdetpmtr12  33802  mdetlap  33809  nmmulg  33943  cnzh  33945  rezh  33946  zrhf1ker  33950  zrhunitpreima  33953  elzrhunit  33954  zrhneg  33955  zrhcntr  33956  qqhval2lem  33958  qqhf  33963  qqhghm  33965  qqhrhm  33966  qqhnm  33967  zndvdchrrhm  41931  aks6d1c1p2  42068  aks6d1c1p3  42069  aks6d1c1  42075  hashscontpowcl  42079  hashscontpow  42081  aks6d1c4  42083  aks6d1c2  42089  aks6d1c5lem0  42094  aks6d1c5lem1  42095  aks6d1c5lem3  42096  aks6d1c5lem2  42097  aks6d1c5  42098  aks6d1c6lem1  42129  aks6d1c6lem3  42131  aks6d1c6isolem2  42134  aks6d1c6isolem3  42135  aks6d1c6lem5  42136  aks6d1c7lem1  42139  aks5lem3a  42148  aks5lem5a  42150  mzpmfp  42717  2zlidl  48163  zlmodzxzel  48278  zlmodzxzscm  48280  linevalexample  48319  zlmodzxzldeplem3  48426  zlmodzxzldep  48428  ldepsnlinclem1  48429  ldepsnlinclem2  48430