Theorem zringbas 21443

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12523	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21437	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21348	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17199	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  ℂcc 11027  ℤcz 12515  Basecbs 17170  ℂ_fldccnfld 21344  ℤ_ringczring 21436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-cnfld 21345  df-zring 21437

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21451  zringlpirlem1  21452  zringlpirlem3  21454  zringinvg  21455  zringunit  21456  zringndrg  21458  zringcyg  21459  prmirredlem  21462  prmirred  21464  expghm  21465  mulgghm2  21466  mulgrhm  21467  mulgrhm2  21468  pzriprnglem2  21472  pzriprnglem4  21474  pzriprnglem5  21475  pzriprnglem6  21476  pzriprnglem8  21478  pzriprnglem10  21480  pzriprnglem12  21482  pzriprng1ALT  21486  zlmlmod  21512  fermltlchr  21519  chrrhm  21521  domnchr  21522  znlidl  21523  znbas  21533  znzrh2  21535  znzrhfo  21537  zndvds  21539  znf1o  21541  zzngim  21542  znfld  21550  znidomb  21551  znunit  21553  znrrg  21555  cygznlem3  21559  frgpcyg  21563  zrhpsgnodpm  21582  zlmassa  21893  ply1fermltlchr  22287  dchrzrhmul  27223  lgsqrlem1  27323  lgsqrlem2  27324  lgsqrlem3  27325  lgsdchr  27332  lgseisenlem3  27354  lgseisenlem4  27355  dchrisum0flblem1  27485  gsummulgc2  33142  elrgspnlem1  33318  znfermltl  33441  elrspunidl  33503  zringidom  33626  zringfrac  33629  esplyfval0  33723  esplyfval2  33724  esplympl  33726  esplyfval3  33731  vieta  33739  mdetpmtr1  33983  mdetpmtr12  33985  mdetlap  33992  nmmulg  34126  cnzh  34128  rezh  34129  zrhf1ker  34133  zrhunitpreima  34136  elzrhunit  34137  zrhneg  34138  zrhcntr  34139  qqhval2lem  34141  qqhf  34146  qqhghm  34148  qqhrhm  34149  qqhnm  34150  zndvdchrrhm  42426  aks6d1c1p2  42562  aks6d1c1p3  42563  aks6d1c1  42569  hashscontpowcl  42573  hashscontpow  42575  aks6d1c4  42577  aks6d1c2  42583  aks6d1c5lem0  42588  aks6d1c5lem1  42589  aks6d1c5lem3  42590  aks6d1c5lem2  42591  aks6d1c5  42592  aks6d1c6lem1  42623  aks6d1c6lem3  42625  aks6d1c6isolem2  42628  aks6d1c6isolem3  42629  aks6d1c6lem5  42630  aks6d1c7lem1  42633  aks5lem3a  42642  aks5lem5a  42644  mzpmfp  43193  2zlidl  48728  zlmodzxzel  48843  zlmodzxzscm  48845  linevalexample  48883  zlmodzxzldeplem3  48990  zlmodzxzldep  48992  ldepsnlinclem1  48993  ldepsnlinclem2  48994