Theorem zringbas 21388

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12473	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21382	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21293	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17146	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  ℂcc 11001  ℤcz 12465  Basecbs 17117  ℂ_fldccnfld 21289  ℤ_ringczring 21381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-cnfld 21290  df-zring 21382

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21396  zringlpirlem1  21397  zringlpirlem3  21399  zringinvg  21400  zringunit  21401  zringndrg  21403  zringcyg  21404  prmirredlem  21407  prmirred  21409  expghm  21410  mulgghm2  21411  mulgrhm  21412  mulgrhm2  21413  pzriprnglem2  21417  pzriprnglem4  21419  pzriprnglem5  21420  pzriprnglem6  21421  pzriprnglem8  21423  pzriprnglem10  21425  pzriprnglem12  21427  pzriprng1ALT  21431  zlmlmod  21457  fermltlchr  21464  chrrhm  21466  domnchr  21467  znlidl  21468  znbas  21478  znzrh2  21480  znzrhfo  21482  zndvds  21484  znf1o  21486  zzngim  21487  znfld  21495  znidomb  21496  znunit  21498  znrrg  21500  cygznlem3  21504  frgpcyg  21508  zrhpsgnodpm  21527  zlmassa  21838  ply1fermltlchr  22225  dchrzrhmul  27182  lgsqrlem1  27282  lgsqrlem2  27283  lgsqrlem3  27284  lgsdchr  27291  lgseisenlem3  27313  lgseisenlem4  27314  dchrisum0flblem1  27444  gsummulgc2  33035  elrgspnlem1  33204  znfermltl  33326  elrspunidl  33388  zringidom  33511  zringfrac  33514  esplympl  33583  mdetpmtr1  33831  mdetpmtr12  33833  mdetlap  33840  nmmulg  33974  cnzh  33976  rezh  33977  zrhf1ker  33981  zrhunitpreima  33984  elzrhunit  33985  zrhneg  33986  zrhcntr  33987  qqhval2lem  33989  qqhf  33994  qqhghm  33996  qqhrhm  33997  qqhnm  33998  zndvdchrrhm  42004  aks6d1c1p2  42141  aks6d1c1p3  42142  aks6d1c1  42148  hashscontpowcl  42152  hashscontpow  42154  aks6d1c4  42156  aks6d1c2  42162  aks6d1c5lem0  42167  aks6d1c5lem1  42168  aks6d1c5lem3  42169  aks6d1c5lem2  42170  aks6d1c5  42171  aks6d1c6lem1  42202  aks6d1c6lem3  42204  aks6d1c6isolem2  42207  aks6d1c6isolem3  42208  aks6d1c6lem5  42209  aks6d1c7lem1  42212  aks5lem3a  42221  aks5lem5a  42223  mzpmfp  42779  2zlidl  48270  zlmodzxzel  48385  zlmodzxzscm  48387  linevalexample  48426  zlmodzxzldeplem3  48533  zlmodzxzldep  48535  ldepsnlinclem1  48536  ldepsnlinclem2  48537