Theorem zringbas 21764

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12704	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21758	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21687	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17421	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  ℂcc 11201  ℤcz 12696  Basecbs 17392  ℂ_fldccnfld 21683  ℤ_ringczring 21757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-cnfld 21684  df-zring 21758

This theorem is used by:  dvdsrzring  21772  zringlpirlem1  21773  zringlpirlem3  21775  zringinvg  21776  zringunit  21777  zringndrg  21779  zringcyg  21780  prmirredlem  21783  prmirred  21785  expghm  21786  mulgghm2  21787  mulgrhm  21788  mulgrhm2  21789  pzriprnglem2  21793  pzriprnglem4  21795  pzriprnglem5  21796  pzriprnglem6  21797  pzriprnglem8  21799  pzriprnglem10  21801  pzriprnglem12  21803  pzriprng1ALT  21807  zlmlmod  21833  fermltlchr  21840  chrrhm  21842  domnchr  21843  znlidl  21844  znbas  21854  znzrh2  21856  znzrhfo  21858  zndvds  21860  znf1o  21862  zzngim  21863  znfld  21871  znidomb  21872  znunit  21874  znrrg  21876  cygznlem3  21880  frgpcyg  21884  zrhpsgnodpm  21903  zlmassa  22216  ply1fermltlchr  22635  dchrzrhmul  27578  lgsqrlem1  27678  lgsqrlem2  27679  lgsqrlem3  27680  lgsdchr  27687  lgseisenlem3  27709  lgseisenlem4  27710  dchrisum0flblem1  27840  gsummulgc2  33673  elrgspnlem1  33849  znfermltl  33968  elrspunidl  34024  zringidom  34129  zringfrac  34132  esplyfval0  34242  esplyfval2  34243  esplympl  34245  esplyfval3  34250  vieta  34258  mdetpmtr1  34501  mdetpmtr12  34503  mdetlap  34510  nmmulg  34644  cnzh  34646  rezh  34647  zrhf1ker  34651  zrhunitpreima  34654  elzrhunit  34655  zrhneg  34656  zrhcntr  34657  qqhval2lem  34659  qqhf  34664  qqhghm  34666  qqhrhm  34667  qqhnm  34668  zndvdchrrhm  43116  aks6d1c1p2  43252  aks6d1c1p3  43253  aks6d1c1  43259  hashscontpowcl  43263  hashscontpow  43265  aks6d1c4  43267  aks6d1c2  43273  aks6d1c5lem0  43278  aks6d1c5lem1  43279  aks6d1c5lem3  43280  aks6d1c5lem2  43281  aks6d1c5  43282  aks6d1c6lem1  43313  aks6d1c6lem3  43315  aks6d1c6isolem2  43318  aks6d1c6isolem3  43319  aks6d1c6lem5  43320  aks6d1c7lem1  43323  aks5lem3a  43332  aks5lem5a  43334  mzpmfp  43851  2zlidl  49430  zlmodzxzel  49560  zlmodzxzscm  49562  linevalexample  49600  zlmodzxzldeplem3  49707  zlmodzxzldep  49709  ldepsnlinclem1  49710  ldepsnlinclem2  49711