Theorem zringbas 20237

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12021	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 20232	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 20163	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 16606	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3859  ‘cfv 6336  ℂcc 10566  ℤcz 12013  Basecbs 16534  ℂ_fldccnfld 20159  ℤ_ringzring 20231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-fz 12933  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-cnfld 20160  df-zring 20232

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  20244  zringlpirlem1  20245  zringlpirlem3  20247  zringinvg  20248  zringunit  20249  zringndrg  20251  zringcyg  20252  prmirredlem  20255  prmirred  20257  expghm  20258  mulgghm2  20259  mulgrhm  20260  mulgrhm2  20261  zlmlmod  20285  chrrhm  20292  domnchr  20293  znlidl  20294  znbas  20304  znzrh2  20306  znzrhfo  20308  zndvds  20310  znf1o  20312  zzngim  20313  znfld  20321  znidomb  20322  znunit  20324  znrrg  20326  cygznlem3  20330  frgpcyg  20334  zrhpsgnodpm  20350  zlmassa  20658  dchrzrhmul  25922  lgsqrlem1  26022  lgsqrlem2  26023  lgsqrlem3  26024  lgsdchr  26031  lgseisenlem3  26053  lgseisenlem4  26054  dchrisum0flblem1  26184  znfermltl  31076  elrspunidl  31120  ply1fermltl  31184  mdetpmtr1  31287  mdetpmtr12  31289  mdetlap  31296  nmmulg  31430  cnzh  31432  rezh  31433  zrhf1ker  31437  zrhunitpreima  31440  elzrhunit  31441  qqhval2lem  31443  qqhf  31448  qqhghm  31450  qqhrhm  31451  qqhnm  31452  mzpmfp  40054  2zlidl  44918  zlmodzxzel  45117  zlmodzxzscm  45119  linevalexample  45162  zlmodzxzldeplem3  45269  zlmodzxzldep  45271  ldepsnlinclem1  45272  ldepsnlinclem2  45273