Theorem zringbas 21393

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12606	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21387	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21297	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17227	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1533   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6553  ℂcc 11146  ℤcz 12598  Basecbs 17189  ℂ_fldccnfld 21293  ℤ_ringczring 21386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-cnfld 21294  df-zring 21387

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21401  zringlpirlem1  21402  zringlpirlem3  21404  zringinvg  21405  zringunit  21406  zringndrg  21408  zringcyg  21409  prmirredlem  21412  prmirred  21414  expghm  21415  mulgghm2  21416  mulgrhm  21417  mulgrhm2  21418  pzriprnglem2  21422  pzriprnglem4  21424  pzriprnglem5  21425  pzriprnglem6  21426  pzriprnglem8  21428  pzriprnglem10  21430  pzriprnglem12  21432  pzriprng1ALT  21436  zlmlmod  21466  fermltlchr  21473  chrrhm  21475  domnchr  21476  znlidl  21477  znbas  21491  znzrh2  21493  znzrhfo  21495  zndvds  21497  znf1o  21499  zzngim  21500  znfld  21508  znidomb  21509  znunit  21511  znrrg  21513  cygznlem3  21517  frgpcyg  21521  zrhpsgnodpm  21538  zlmassa  21850  ply1fermltlchr  22250  dchrzrhmul  27207  lgsqrlem1  27307  lgsqrlem2  27308  lgsqrlem3  27309  lgsdchr  27316  lgseisenlem3  27338  lgseisenlem4  27339  dchrisum0flblem1  27469  znfermltl  33110  elrspunidl  33177  zringidom  33282  zringfrac  33285  mdetpmtr1  33465  mdetpmtr12  33467  mdetlap  33474  nmmulg  33610  cnzh  33612  rezh  33613  zrhf1ker  33617  zrhunitpreima  33620  elzrhunit  33621  qqhval2lem  33623  qqhf  33628  qqhghm  33630  qqhrhm  33631  qqhnm  33632  aks6d1c1p2  41620  aks6d1c1p3  41621  aks6d1c1  41627  hashscontpowcl  41631  hashscontpow  41633  aks6d1c4  41635  aks6d1c2  41641  aks6d1c5lem0  41646  aks6d1c5lem1  41647  aks6d1c5lem3  41648  aks6d1c5lem2  41649  aks6d1c5  41650  aks6d1c6lem1  41682  aks6d1c6lem3  41684  aks6d1c6isolem2  41687  aks6d1c6isolem3  41688  aks6d1c6lem5  41689  aks6d1c7lem1  41692  mzpmfp  42216  2zlidl  47398  zlmodzxzel  47515  zlmodzxzscm  47517  linevalexample  47559  zlmodzxzldeplem3  47666  zlmodzxzldep  47668  ldepsnlinclem1  47669  ldepsnlinclem2  47670