Theorem zringbas 20588

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12257	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 20583	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 20514	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 16875	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  ℤcz 12249  Basecbs 16840  ℂ_fldccnfld 20510  ℤ_ringzring 20582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-cnfld 20511  df-zring 20583

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  20595  zringlpirlem1  20596  zringlpirlem3  20598  zringinvg  20599  zringunit  20600  zringndrg  20602  zringcyg  20603  prmirredlem  20606  prmirred  20608  expghm  20609  mulgghm2  20610  mulgrhm  20611  mulgrhm2  20612  zlmlmod  20640  chrrhm  20647  domnchr  20648  znlidl  20649  znbas  20663  znzrh2  20665  znzrhfo  20667  zndvds  20669  znf1o  20671  zzngim  20672  znfld  20680  znidomb  20681  znunit  20683  znrrg  20685  cygznlem3  20689  frgpcyg  20693  zrhpsgnodpm  20709  zlmassa  21016  dchrzrhmul  26299  lgsqrlem1  26399  lgsqrlem2  26400  lgsqrlem3  26401  lgsdchr  26408  lgseisenlem3  26430  lgseisenlem4  26431  dchrisum0flblem1  26561  znfermltl  31464  elrspunidl  31508  ply1fermltl  31572  mdetpmtr1  31675  mdetpmtr12  31677  mdetlap  31684  nmmulg  31818  cnzh  31820  rezh  31821  zrhf1ker  31825  zrhunitpreima  31828  elzrhunit  31829  qqhval2lem  31831  qqhf  31836  qqhghm  31838  qqhrhm  31839  qqhnm  31840  mzpmfp  40485  2zlidl  45380  zlmodzxzel  45579  zlmodzxzscm  45581  linevalexample  45624  zlmodzxzldeplem3  45731  zlmodzxzldep  45733  ldepsnlinclem1  45734  ldepsnlinclem2  45735