Theorem zringbas 21435

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12530	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21429	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21358	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17206	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1547   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  ℂcc 11034  ℤcz 12522  Basecbs 17177  ℂ_fldccnfld 21354  ℤ_ringczring 21428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-cnfld 21355  df-zring 21429

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21443  zringlpirlem1  21444  zringlpirlem3  21446  zringinvg  21447  zringunit  21448  zringndrg  21450  zringcyg  21451  prmirredlem  21454  prmirred  21456  expghm  21457  mulgghm2  21458  mulgrhm  21459  mulgrhm2  21460  pzriprnglem2  21464  pzriprnglem4  21466  pzriprnglem5  21467  pzriprnglem6  21468  pzriprnglem8  21470  pzriprnglem10  21472  pzriprnglem12  21474  pzriprng1ALT  21478  zlmlmod  21504  fermltlchr  21511  chrrhm  21513  domnchr  21514  znlidl  21515  znbas  21525  znzrh2  21527  znzrhfo  21529  zndvds  21531  znf1o  21533  zzngim  21534  znfld  21542  znidomb  21543  znunit  21545  znrrg  21547  cygznlem3  21551  frgpcyg  21555  zrhpsgnodpm  21574  zlmassa  21885  ply1fermltlchr  22305  dchrzrhmul  27234  lgsqrlem1  27334  lgsqrlem2  27335  lgsqrlem3  27336  lgsdchr  27343  lgseisenlem3  27365  lgseisenlem4  27366  dchrisum0flblem1  27496  gsummulgc2  33154  elrgspnlem1  33330  znfermltl  33456  elrspunidl  33518  zringidom  33641  zringfrac  33644  esplyfval0  33755  esplyfval2  33756  esplympl  33758  esplyfval3  33763  vieta  33771  mdetpmtr1  34014  mdetpmtr12  34016  mdetlap  34023  nmmulg  34157  cnzh  34159  rezh  34160  zrhf1ker  34164  zrhunitpreima  34167  elzrhunit  34168  zrhneg  34169  zrhcntr  34170  qqhval2lem  34172  qqhf  34177  qqhghm  34179  qqhrhm  34180  qqhnm  34181  zndvdchrrhm  42465  aks6d1c1p2  42601  aks6d1c1p3  42602  aks6d1c1  42608  hashscontpowcl  42612  hashscontpow  42614  aks6d1c4  42616  aks6d1c2  42622  aks6d1c5lem0  42627  aks6d1c5lem1  42628  aks6d1c5lem3  42629  aks6d1c5lem2  42630  aks6d1c5  42631  aks6d1c6lem1  42662  aks6d1c6lem3  42664  aks6d1c6isolem2  42667  aks6d1c6isolem3  42668  aks6d1c6lem5  42669  aks6d1c7lem1  42672  aks5lem3a  42681  aks5lem5a  42683  mzpmfp  43203  2zlidl  48738  zlmodzxzel  48853  zlmodzxzscm  48855  linevalexample  48893  zlmodzxzldeplem3  49000  zlmodzxzldep  49002  ldepsnlinclem1  49003  ldepsnlinclem2  49004