Theorem zringbas 20676

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12327	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 20671	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 20601	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 16949	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  ℤcz 12319  Basecbs 16912  ℂ_fldccnfld 20597  ℤ_ringczring 20670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-cnfld 20598  df-zring 20671

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  20683  zringlpirlem1  20684  zringlpirlem3  20686  zringinvg  20687  zringunit  20688  zringndrg  20690  zringcyg  20691  prmirredlem  20694  prmirred  20696  expghm  20697  mulgghm2  20698  mulgrhm  20699  mulgrhm2  20700  zlmlmod  20728  chrrhm  20735  domnchr  20736  znlidl  20737  znbas  20751  znzrh2  20753  znzrhfo  20755  zndvds  20757  znf1o  20759  zzngim  20760  znfld  20768  znidomb  20769  znunit  20771  znrrg  20773  cygznlem3  20777  frgpcyg  20781  zrhpsgnodpm  20797  zlmassa  21106  dchrzrhmul  26394  lgsqrlem1  26494  lgsqrlem2  26495  lgsqrlem3  26496  lgsdchr  26503  lgseisenlem3  26525  lgseisenlem4  26526  dchrisum0flblem1  26656  znfermltl  31562  elrspunidl  31606  ply1fermltl  31670  mdetpmtr1  31773  mdetpmtr12  31775  mdetlap  31782  nmmulg  31918  cnzh  31920  rezh  31921  zrhf1ker  31925  zrhunitpreima  31928  elzrhunit  31929  qqhval2lem  31931  qqhf  31936  qqhghm  31938  qqhrhm  31939  qqhnm  31940  mzpmfp  40569  2zlidl  45492  zlmodzxzel  45691  zlmodzxzscm  45693  linevalexample  45736  zlmodzxzldeplem3  45843  zlmodzxzldep  45845  ldepsnlinclem1  45846  ldepsnlinclem2  45847