Theorem zringbas 21408

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12496	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21402	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21313	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17165	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  ℂcc 11024  ℤcz 12488  Basecbs 17136  ℂ_fldccnfld 21309  ℤ_ringczring 21401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-cnfld 21310  df-zring 21402

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21416  zringlpirlem1  21417  zringlpirlem3  21419  zringinvg  21420  zringunit  21421  zringndrg  21423  zringcyg  21424  prmirredlem  21427  prmirred  21429  expghm  21430  mulgghm2  21431  mulgrhm  21432  mulgrhm2  21433  pzriprnglem2  21437  pzriprnglem4  21439  pzriprnglem5  21440  pzriprnglem6  21441  pzriprnglem8  21443  pzriprnglem10  21445  pzriprnglem12  21447  pzriprng1ALT  21451  zlmlmod  21477  fermltlchr  21484  chrrhm  21486  domnchr  21487  znlidl  21488  znbas  21498  znzrh2  21500  znzrhfo  21502  zndvds  21504  znf1o  21506  zzngim  21507  znfld  21515  znidomb  21516  znunit  21518  znrrg  21520  cygznlem3  21524  frgpcyg  21528  zrhpsgnodpm  21547  zlmassa  21859  ply1fermltlchr  22256  dchrzrhmul  27213  lgsqrlem1  27313  lgsqrlem2  27314  lgsqrlem3  27315  lgsdchr  27322  lgseisenlem3  27344  lgseisenlem4  27345  dchrisum0flblem1  27475  gsummulgc2  33149  elrgspnlem1  33324  znfermltl  33447  elrspunidl  33509  zringidom  33632  zringfrac  33635  esplyfval0  33722  esplyfval2  33723  esplympl  33725  esplyfval3  33730  vieta  33736  mdetpmtr1  33980  mdetpmtr12  33982  mdetlap  33989  nmmulg  34123  cnzh  34125  rezh  34126  zrhf1ker  34130  zrhunitpreima  34133  elzrhunit  34134  zrhneg  34135  zrhcntr  34136  qqhval2lem  34138  qqhf  34143  qqhghm  34145  qqhrhm  34146  qqhnm  34147  zndvdchrrhm  42222  aks6d1c1p2  42359  aks6d1c1p3  42360  aks6d1c1  42366  hashscontpowcl  42370  hashscontpow  42372  aks6d1c4  42374  aks6d1c2  42380  aks6d1c5lem0  42385  aks6d1c5lem1  42386  aks6d1c5lem3  42387  aks6d1c5lem2  42388  aks6d1c5  42389  aks6d1c6lem1  42420  aks6d1c6lem3  42422  aks6d1c6isolem2  42425  aks6d1c6isolem3  42426  aks6d1c6lem5  42427  aks6d1c7lem1  42430  aks5lem3a  42439  aks5lem5a  42441  mzpmfp  42985  2zlidl  48482  zlmodzxzel  48597  zlmodzxzscm  48599  linevalexample  48637  zlmodzxzldeplem3  48744  zlmodzxzldep  48746  ldepsnlinclem1  48747  ldepsnlinclem2  48748