Theorem zringbas 21340

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12570	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21334	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21244	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17191	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1533   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6537  ℂcc 11110  ℤcz 12562  Basecbs 17153  ℂ_fldccnfld 21240  ℤ_ringczring 21333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-cnfld 21241  df-zring 21334

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21348  zringlpirlem1  21349  zringlpirlem3  21351  zringinvg  21352  zringunit  21353  zringndrg  21355  zringcyg  21356  prmirredlem  21359  prmirred  21361  expghm  21362  mulgghm2  21363  mulgrhm  21364  mulgrhm2  21365  pzriprnglem2  21369  pzriprnglem4  21371  pzriprnglem5  21372  pzriprnglem6  21373  pzriprnglem8  21375  pzriprnglem10  21377  pzriprnglem12  21379  pzriprng1ALT  21383  zlmlmod  21413  fermltlchr  21420  chrrhm  21422  domnchr  21423  znlidl  21424  znbas  21438  znzrh2  21440  znzrhfo  21442  zndvds  21444  znf1o  21446  zzngim  21447  znfld  21455  znidomb  21456  znunit  21458  znrrg  21460  cygznlem3  21464  frgpcyg  21468  zrhpsgnodpm  21485  zlmassa  21797  ply1fermltlchr  22186  dchrzrhmul  27134  lgsqrlem1  27234  lgsqrlem2  27235  lgsqrlem3  27236  lgsdchr  27243  lgseisenlem3  27265  lgseisenlem4  27266  dchrisum0flblem1  27396  znfermltl  32985  elrspunidl  33052  mdetpmtr1  33333  mdetpmtr12  33335  mdetlap  33342  nmmulg  33478  cnzh  33480  rezh  33481  zrhf1ker  33485  zrhunitpreima  33488  elzrhunit  33489  qqhval2lem  33491  qqhf  33496  qqhghm  33498  qqhrhm  33499  qqhnm  33500  aks6d1c1p2  41486  aks6d1c1p3  41487  aks6d1c1  41493  hashscontpowcl  41497  hashscontpow  41499  aks6d1c2  41506  aks6d1c5lem0  41511  aks6d1c5lem1  41512  aks6d1c5lem3  41513  aks6d1c5lem2  41514  aks6d1c5  41515  mzpmfp  42063  2zlidl  47190  zlmodzxzel  47307  zlmodzxzscm  47309  linevalexample  47351  zlmodzxzldeplem3  47458  zlmodzxzldep  47460  ldepsnlinclem1  47461  ldepsnlinclem2  47462