Theorem zringbas 21360

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12479	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 21354	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 21265	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 17149	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  ℂcc 11007  ℤcz 12471  Basecbs 17120  ℂ_fldccnfld 21261  ℤ_ringczring 21353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-cnfld 21262  df-zring 21354

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21368  zringlpirlem1  21369  zringlpirlem3  21371  zringinvg  21372  zringunit  21373  zringndrg  21375  zringcyg  21376  prmirredlem  21379  prmirred  21381  expghm  21382  mulgghm2  21383  mulgrhm  21384  mulgrhm2  21385  pzriprnglem2  21389  pzriprnglem4  21391  pzriprnglem5  21392  pzriprnglem6  21393  pzriprnglem8  21395  pzriprnglem10  21397  pzriprnglem12  21399  pzriprng1ALT  21403  zlmlmod  21429  fermltlchr  21436  chrrhm  21438  domnchr  21439  znlidl  21440  znbas  21450  znzrh2  21452  znzrhfo  21454  zndvds  21456  znf1o  21458  zzngim  21459  znfld  21467  znidomb  21468  znunit  21470  znrrg  21472  cygznlem3  21476  frgpcyg  21480  zrhpsgnodpm  21499  zlmassa  21810  ply1fermltlchr  22197  dchrzrhmul  27155  lgsqrlem1  27255  lgsqrlem2  27256  lgsqrlem3  27257  lgsdchr  27264  lgseisenlem3  27286  lgseisenlem4  27287  dchrisum0flblem1  27417  gsummulgc2  33014  elrgspnlem1  33183  znfermltl  33304  elrspunidl  33366  zringidom  33489  zringfrac  33492  mdetpmtr1  33796  mdetpmtr12  33798  mdetlap  33805  nmmulg  33939  cnzh  33941  rezh  33942  zrhf1ker  33946  zrhunitpreima  33949  elzrhunit  33950  zrhneg  33951  zrhcntr  33952  qqhval2lem  33954  qqhf  33959  qqhghm  33961  qqhrhm  33962  qqhnm  33963  zndvdchrrhm  41955  aks6d1c1p2  42092  aks6d1c1p3  42093  aks6d1c1  42099  hashscontpowcl  42103  hashscontpow  42105  aks6d1c4  42107  aks6d1c2  42113  aks6d1c5lem0  42118  aks6d1c5lem1  42119  aks6d1c5lem3  42120  aks6d1c5lem2  42121  aks6d1c5  42122  aks6d1c6lem1  42153  aks6d1c6lem3  42155  aks6d1c6isolem2  42158  aks6d1c6isolem3  42159  aks6d1c6lem5  42160  aks6d1c7lem1  42163  aks5lem3a  42172  aks5lem5a  42174  mzpmfp  42730  2zlidl  48234  zlmodzxzel  48349  zlmodzxzscm  48351  linevalexample  48390  zlmodzxzldeplem3  48497  zlmodzxzldep  48499  ldepsnlinclem1  48500  ldepsnlinclem2  48501