Theorem zringmulr 21229

Description: The multiplication operation of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringmulr	⊢ · = (.r‘ℤring)

Proof of Theorem zringmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12572	. 2 ⊢ ℤ ∈ V
2		df-zring 21219	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldmul 21151	. . 3 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
4	2, 3	ressmulr 17257	. 2 ⊢ (ℤ ∈ V → · = (.r‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ · = (.r‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ‘cfv 6544   · cmul 11118  ℤcz 12563  ._rcmulr 17203  ℂ_fldccnfld 21145  ℤ_ringczring 21218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-cnfld 21146  df-zring 21219

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  21233  zringlpirlem3  21236  prmirredlem  21244  mulgrhm  21249  pzriprnglem5  21255  pzriprnglem6  21256  pzriprnglem8  21258  pzriprnglem12  21262  pzriprng1ALT  21266  zlmlmod  21296  domnchr  21304  znfld  21336  znidomb  21337  znunit  21339  znrrg  21341  dchrzrhmul  26982  lgsdchr  27091  lgseisenlem3  27113  lgseisenlem4  27114  mdetpmtr1  33098  mdetpmtr12  33100  qqhval2lem  33256  qqhghm  33263  qqhrhm  33264  mzpmfp  41788  2zlidl  46922  zlmodzxzscm  47123