Theorem aks6d1c6isolem3 42943

Description: The preimage of a map sending a primitive root to its powers of zero is equal to the set of integers that divide 𝑅. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c6isolem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
aks6d1c6isolem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
aks6d1c6isolem1.3	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
aks6d1c6isolem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
aks6d1c6isolem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
aks6d1c6isolem3.1	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c6isolem3	⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑅,𝑎,𝑖   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑀(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem aks6d1c6isolem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21599	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
3		aks6d1c6isolem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12612	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zringbas 21603	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
6		aks6d1c6isolem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
7		dvdsrzring 21611	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
8	5, 6, 7	rspsn 21501	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
9	2, 4, 8	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
10		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
11		aks6d1c6isolem1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
12	10, 11	fmptd 7109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℤ⟶V)
13	12	ffnd 6706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℤ)
14		fniniseg2 7057	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℤ → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
16	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
17		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
18	17	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
19		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		ovexd 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
21	16, 18, 19, 20	fvmptd 6997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
22	21	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
23		aks6d1c6isolem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
24	23	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ CMnd)
25	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
26		aks6d1c6isolem1.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
27	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
28		aks6d1c6isolem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
29	24, 25, 27, 28, 19	primrootspoweq0 42873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
30	22, 29	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
31	30	rabbidva 3422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
32		df-rab 3417	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)})
34		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) → 𝐾 ∥ 𝑧)
35		dvdszrcl 16310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
36	35	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ancri 558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧))
38	34, 37	impbii 212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
40	39	abbidv 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
41	33, 40	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
42	31, 41	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
43	15, 42	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))
44	9, 43	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℕcn 12228  ℤcz 12586   ∥ cdvds 16305  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  ._gcmg 19128  CMndccmn 19845  Ringcrg 20310  RSpancrsp 21331  ℤ_ringczring 21596   PrimRoots cprimroots 42858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-dvds 16306  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-dvdsr 20435  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-rsp 21333  df-cnfld 21523  df-zring 21597  df-primroots 42859

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem5  42944