Theorem aks6d1c6isolem3 42275

Description: The preimage of a map sending a primitive root to its powers of zero is equal to the set of integers that divide 𝑅. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c6isolem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
aks6d1c6isolem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
aks6d1c6isolem1.3	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
aks6d1c6isolem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
aks6d1c6isolem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
aks6d1c6isolem3.1	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c6isolem3	⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑅,𝑎,𝑖   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑀(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem aks6d1c6isolem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21392	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
3		aks6d1c6isolem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zringbas 21396	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
6		aks6d1c6isolem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
7		dvdsrzring 21404	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
8	5, 6, 7	rspsn 21276	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
9	2, 4, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
10		ovexd 7387	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
11		aks6d1c6isolem1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
12	10, 11	fmptd 7053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℤ⟶V)
13	12	ffnd 6658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℤ)
14		fniniseg2 7001	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℤ → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
16	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
18	17	oveq1d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		ovexd 7387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
21	16, 18, 19, 20	fvmptd 6942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
22	21	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
23		aks6d1c6isolem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ CMnd)
25	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
26		aks6d1c6isolem1.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
28		aks6d1c6isolem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
29	24, 25, 27, 28, 19	primrootspoweq0 42205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
30	22, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
31	30	rabbidva 3401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
32		df-rab 3396	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)})
34		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) → 𝐾 ∥ 𝑧)
35		dvdszrcl 16174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
36	35	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ancri 549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧))
38	34, 37	impbii 209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
40	39	abbidv 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
41	33, 40	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
42	31, 41	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
43	15, 42	eqtr2d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))
44	9, 43	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436  {csn 4575   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6482  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℕcn 12131  ℤcz 12474   ∥ cdvds 16169  Basecbs 17126   ↾_s cress 17147  +_gcplusg 17167  0_gc0g 17349  ._gcmg 18986  CMndccmn 19698  Ringcrg 20157  RSpancrsp 21150  ℤ_ringczring 21389   PrimRoots cprimroots 42190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12897  df-ico 13257  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-dvds 16170  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-dvdsr 20281  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-rsp 21152  df-cnfld 21298  df-zring 21390  df-primroots 42191

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem5  42276