Theorem aks6d1c6isolem3 43226

Description: The preimage of a map sending a primitive root to its powers of zero is equal to the set of integers that divide 𝑅. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c6isolem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
aks6d1c6isolem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
aks6d1c6isolem1.3	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
aks6d1c6isolem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
aks6d1c6isolem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
aks6d1c6isolem3.1	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c6isolem3	⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑅,𝑎,𝑖   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑎)   𝑆(𝑥, 𝑖, 𝑎)   𝑈(𝑖, 𝑎)   𝐹(𝑥, 𝑖, 𝑎)   𝐾(𝑥, 𝑖, 𝑎)   𝑀(𝑖, 𝑎)

Proof of Theorem aks6d1c6isolem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21755	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
3		aks6d1c6isolem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12719	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zringbas 21759	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
6		aks6d1c6isolem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
7		dvdsrzring 21767	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
8	5, 6, 7	rspsn 21657	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
9	2, 4, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
10		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
11		aks6d1c6isolem1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
12	10, 11	fmptd 7114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℤ⟶V)
13	12	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℤ)
14		fniniseg2 7061	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℤ → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
16	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
17		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
18	17	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
19		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		ovexd 7455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
21	16, 18, 19, 20	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
22	21	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
23		aks6d1c6isolem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
24	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ CMnd)
25	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
26		aks6d1c6isolem1.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
28		aks6d1c6isolem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
29	24, 25, 27, 28, 19	primrootspoweq0 43156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
30	22, 29	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
31	30	rabbidva 3419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
32		df-rab 3414	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)})
34		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) → 𝐾 ∥ 𝑧)
35		dvdszrcl 16427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
36	35	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ancri 559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧))
38	34, 37	impbii 212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
40	39	abbidv 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
41	33, 40	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
42	31, 41	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
43	15, 42	eqtr2d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))
44	9, 43	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕcn 12335  ℤcz 12693   ∥ cdvds 16422  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  ._gcmg 19277  CMndccmn 19994  Ringcrg 20459  RSpancrsp 21485  ℤ_ringczring 21752   PrimRoots cprimroots 43141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-dvds 16423  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-dvdsr 20587  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-rsp 21487  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-primroots 43142

This theorem is used by:  aks6d1c6lem5  43227