Theorem aks6d1c6isolem3 42158

Description: The preimage of a map sending a primitive root to its powers of zero is equal to the set of integers that divide 𝑅. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c6isolem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
aks6d1c6isolem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
aks6d1c6isolem1.3	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
aks6d1c6isolem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
aks6d1c6isolem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
aks6d1c6isolem3.1	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c6isolem3	⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑅,𝑎,𝑖   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑀(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem aks6d1c6isolem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21478	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
3		aks6d1c6isolem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12638	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zringbas 21482	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
6		aks6d1c6isolem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
7		dvdsrzring 21490	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
8	5, 6, 7	rspsn 21361	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
9	2, 4, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
10		ovexd 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
11		aks6d1c6isolem1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
12	10, 11	fmptd 7134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℤ⟶V)
13	12	ffnd 6738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℤ)
14		fniniseg2 7082	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℤ → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
16	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
18	17	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
21	16, 18, 19, 20	fvmptd 7023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
22	21	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
23		aks6d1c6isolem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ CMnd)
25	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
26		aks6d1c6isolem1.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
28		aks6d1c6isolem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
29	24, 25, 27, 28, 19	primrootspoweq0 42088	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
30	22, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
31	30	rabbidva 3440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
32		df-rab 3434	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)})
34		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) → 𝐾 ∥ 𝑧)
35		dvdszrcl 16292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
36	35	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ancri 549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧))
38	34, 37	impbii 209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
40	39	abbidv 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
41	33, 40	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
42	31, 41	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
43	15, 42	eqtr2d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))
44	9, 43	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕcn 12264  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  ._gcmg 19098  CMndccmn 19813  Ringcrg 20251  RSpancrsp 21235  ℤ_ringczring 21475   PrimRoots cprimroots 42073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-dvds 16288  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-dvdsr 20374  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-rsp 21237  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-primroots 42074

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem5  42159