Theorem aks6d1c6isolem3 42189

Description: The preimage of a map sending a primitive root to its powers of zero is equal to the set of integers that divide 𝑅. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c6isolem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
aks6d1c6isolem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
aks6d1c6isolem1.3	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
aks6d1c6isolem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
aks6d1c6isolem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
aks6d1c6isolem3.1	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c6isolem3	⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑅,𝑎,𝑖   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑀(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem aks6d1c6isolem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21410	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
3		aks6d1c6isolem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12615	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zringbas 21414	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
6		aks6d1c6isolem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
7		dvdsrzring 21422	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
8	5, 6, 7	rspsn 21294	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
9	2, 4, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
10		ovexd 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
11		aks6d1c6isolem1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
12	10, 11	fmptd 7104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℤ⟶V)
13	12	ffnd 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℤ)
14		fniniseg2 7052	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℤ → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))})
16	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
18	17	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		ovexd 7440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ V)
21	16, 18, 19, 20	fvmptd 6993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
22	21	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ (𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
23		aks6d1c6isolem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ CMnd)
25	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
26		aks6d1c6isolem1.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
28		aks6d1c6isolem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
29	24, 25, 27, 28, 19	primrootspoweq0 42119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
30	22, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
31	30	rabbidva 3422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
32		df-rab 3416	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)})
34		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) → 𝐾 ∥ 𝑧)
35		dvdszrcl 16277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
36	35	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ancri 549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∥ 𝑧 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧))
38	34, 37	impbii 209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧) ↔ 𝐾 ∥ 𝑧))
40	39	abbidv 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑧)} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
41	33, 40	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
42	31, 41	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝐹‘𝑧) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))} = {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧})
43	15, 42	eqtr2d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ 𝐾 ∥ 𝑧} = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))
44	9, 43	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘{𝐾}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459  {csn 4601   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℕcn 12240  ℤcz 12588   ∥ cdvds 16272  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  ._gcmg 19050  CMndccmn 19761  Ringcrg 20193  RSpancrsp 21168  ℤ_ringczring 21407   PrimRoots cprimroots 42104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-dvds 16273  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-dvdsr 20317  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-rsp 21170  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-primroots 42105

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem5  42190