Theorem extvfvalf 33588

Description: The "variable extension" function maps polynomials with variables indexed in 𝐽 to polynomials with variables indexed in 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvalf.n	⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
extvfvalf	⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvalf

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		ovex 7385	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5281	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ V)
5	4	mptexd 7164	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 )) ∈ V)
6		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
10		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
11		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
12	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	extvfval 33583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴) = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 ))))
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
15		extvfvvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐼)
17		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ 𝑀)
18		extvfvalf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
19	1, 6, 13, 14, 15, 10, 11, 16, 17, 18	extvfvcl 33587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝑓) ∈ 𝑁)
20	5, 12, 19	fmpt2d 7063	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895  ifcif 4474  {csn 4575   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174   ↾ cres 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756   finSupp cfsupp 9252  0cc0 11013  ℕ₀cn0 12388  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  Ringcrg 20153   mPoly cmpl 21845  extendVarscextv 33580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-tset 17182  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-ring 20155  df-psr 21848  df-mpl 21850  df-extv 33581

This theorem is referenced by:  esplyind  33613