Theorem extvfvalf 33713

Description: The "variable extension" function maps polynomials with variables indexed in 𝐽 to polynomials with variables indexed in 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvalf.n	⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
extvfvalf	⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvalf

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		ovex 7401	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5288	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ V)
5	4	mptexd 7180	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 )) ∈ V)
6		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
10		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
11		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
12	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	extvfval 33708	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴) = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 ))))
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
15		extvfvvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐼)
17		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ 𝑀)
18		extvfvalf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
19	1, 6, 13, 14, 15, 10, 11, 16, 17, 18	extvfvcl 33712	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝑓) ∈ 𝑁)
20	5, 12, 19	fmpt2d 7079	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775   finSupp cfsupp 9276  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  Ringcrg 20180   mPoly cmpl 21874  extendVarscextv 33705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-tset 17208  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-ring 20182  df-psr 21877  df-mpl 21879  df-extv 33706

This theorem is referenced by:  esplyind  33751