Theorem extvfvalf 33728

Description: The "variable extension" function maps polynomials with variables indexed in 𝐽 to polynomials with variables indexed in 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvalf.n	⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
extvfvalf	⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvalf

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		ovex 7396	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5276	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ V)
5	4	mptexd 7175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 )) ∈ V)
6		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
10		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
11		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
12	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	extvfval 33723	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴) = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 ))))
13	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
15		extvfvvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐼)
17		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ 𝑀)
18		extvfvalf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
19	1, 6, 13, 14, 15, 10, 11, 16, 17, 18	extvfvcl 33727	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝑓) ∈ 𝑁)
20	5, 12, 19	fmpt2d 7073	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887  ifcif 4461  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   ↾ cres 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770   finSupp cfsupp 9271  0cc0 11036  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  Ringcrg 20212   mPoly cmpl 21888  extendVarscextv 33720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-ring 20214  df-psr 21891  df-mpl 21893  df-extv 33721

This theorem is referenced by:  esplyind  33766