Theorem extvfvalf 33702

Description: The "variable extension" function maps polynomials with variables indexed in 𝐽 to polynomials with variables indexed in 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvalf.n	⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
extvfvalf	⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvalf

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5286	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ V)
5	4	mptexd 7170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 )) ∈ V)
6		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
10		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
11		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
12	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	extvfval 33697	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴) = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 ))))
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
15		extvfvvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐼)
17		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ 𝑀)
18		extvfvalf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
19	1, 6, 13, 14, 15, 10, 11, 16, 17, 18	extvfvcl 33701	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝑓) ∈ 𝑁)
20	5, 12, 19	fmpt2d 7069	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ifcif 4479  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168   mPoly cmpl 21862  extendVarscextv 33694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-tset 17196  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-ring 20170  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-extv 33695

This theorem is referenced by:  esplyind  33731