Theorem extvfvalf 34055

Description: The "variable extension" function maps polynomials with variables indexed in 𝐽 to polynomials with variables indexed in 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvalf.n	⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
extvfvalf	⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvalf

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		ovex 7450	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5309	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ V)
5	4	mptexd 7227	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 )) ∈ V)
6		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
10		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
11		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
12	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	extvfval 34050	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴) = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑥‘𝐴) = 0, (𝑓‘(𝑥 ↾ 𝐽)), 0 ))))
13	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
15		extvfvvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐼)
17		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ 𝑀)
18		extvfvalf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
19	1, 6, 13, 14, 15, 10, 11, 16, 17, 18	extvfvcl 34054	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝑓) ∈ 𝑁)
20	5, 12, 19	fmpt2d 7122	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴):𝑀⟶𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ifcif 4485  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830   finSupp cfsupp 9335  0cc0 11128  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  Ringcrg 20378   mPoly cmpl 22127  extendVarscextv 34047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-tset 17367  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-ring 20380  df-psr 22130  df-mpl 22132  df-extv 34048

This theorem is used by:  esplyind  34093