Theorem fltoprmgt3 28026

Description: Fermat's last theorem holds for any exponent greater than 2 if it holds for all odd prime exponents greater than 3. (TODO-AV: after a proof is available for 𝑁 = 3, see flt3, the hypothesis fltoprmgt3.3 can be removed.) (Contributed by AV, 15-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltoprmgt3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
fltoprmgt3.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
fltoprmgt3.3	⊢ (𝜑 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))

Assertion

Ref	Expression
fltoprmgt3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) ≠ (𝐶↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑝   𝐵,𝑏,𝑐,𝑝   𝐶,𝑐,𝑝   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑝, 𝑎, 𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem fltoprmgt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltoprmgt3.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		fltoprmgt3.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		fltoprmgt3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4		fltoprmgt3.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		fltoprmgt3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
6		prmz 16879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
7		2z 12755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
9		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℤ)
10	8, 9	zltp1led 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (2 < 𝑝 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑝))
11		2p1e3 12511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
12	11	breq1i 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 + 1) ≤ 𝑝 ↔ 3 ≤ 𝑝)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑝 ↔ 3 ≤ 𝑝))
14		3re 12450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
16		zre 12724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
17	15, 16	leloed 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
18	10, 13, 17	3bitrd 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
19	6, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
20	19	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
22		pm2.27 43	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (3 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
24		fltoprmgt3.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))
25	24	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))
26		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑎↑3) = (𝑎↑𝑝))
27		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑏↑3) = (𝑏↑𝑝))
28	26, 27	oveq12d 7461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑝 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) = ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)))
29		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑐↑3) = (𝑐↑𝑝))
30	28, 29	neeq12d 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 = 𝑝 → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3) ↔ ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3) ↔ ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
32	25, 31	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))
33	32	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
34	33	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (3 = 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
35	23, 34	jaod 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
36	21, 35	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (2 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
37	36	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
38	37	ralimdvva 3213	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
39	38	ralimdvva 3213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
40	5, 39	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
41	1, 2, 3, 4, 40	fltoprm 28025	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) ≠ (𝐶↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ↑cexp 14231  ℙcprime 16875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-numer 16940  df-denom 16941  df-pc 17044

This theorem is used by: (None)