Theorem fltoprmgt3 27978

Description: Fermat's last theorem holds for any exponent greater than 2 if it holds for all odd prime exponents greater than 3. (TODO-AV: after a proof is available for 𝑁 = 3, see flt3, the hypothesis fltoprmgt3.3 can be removed.) (Contributed by AV, 15-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltoprmgt3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
fltoprmgt3.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
fltoprmgt3.3	⊢ (𝜑 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))

Assertion

Ref	Expression
fltoprmgt3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) ≠ (𝐶↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑝   𝐵,𝑏,𝑐,𝑝   𝐶,𝑐,𝑝   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑝, 𝑎, 𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem fltoprmgt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltoprmgt3.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		fltoprmgt3.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		fltoprmgt3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4		fltoprmgt3.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		fltoprmgt3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
6		prmz 16830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
7		2z 12709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
9		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℤ)
10	8, 9	zltp1led 12732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (2 < 𝑝 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑝))
11		2p1e3 12465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
12	11	breq1i 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 + 1) ≤ 𝑝 ↔ 3 ≤ 𝑝)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑝 ↔ 3 ≤ 𝑝))
14		3re 12404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
16		zre 12678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
17	15, 16	leloed 11434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
18	10, 13, 17	3bitrd 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
19	6, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
20	19	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
22		pm2.27 43	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (3 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
24		fltoprmgt3.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))
25	24	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))
26		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑎↑3) = (𝑎↑𝑝))
27		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑏↑3) = (𝑏↑𝑝))
28	26, 27	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑝 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) = ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)))
29		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑐↑3) = (𝑐↑𝑝))
30	28, 29	neeq12d 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 = 𝑝 → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3) ↔ ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3) ↔ ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
32	25, 31	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))
33	32	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
34	33	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (3 = 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
35	23, 34	jaod 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
36	21, 35	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (2 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
37	36	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
38	37	ralimdvva 3210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
39	38	ralimdvva 3210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
40	5, 39	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
41	1, 2, 3, 4, 40	fltoprm 27977	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) ≠ (𝐶↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12316  2c2 12378  3c3 12379  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ↑cexp 14184  ℙcprime 16826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-numer 16891  df-denom 16892  df-pc 16995

This theorem is used by: (None)