Theorem fltoprmgt3 28001

Description: Fermat's last theorem holds for any exponent greater than 2 if it holds for all odd prime exponents greater than 3. (TODO-AV: after a proof is available for 𝑁 = 3, see flt3, the hypothesis fltoprmgt3.3 can be removed.) (Contributed by AV, 15-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltoprmgt3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltoprmgt3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
fltoprmgt3.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
fltoprmgt3.3	⊢ (𝜑 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))

Assertion

Ref	Expression
fltoprmgt3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) ≠ (𝐶↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑝   𝐵,𝑏,𝑐,𝑝   𝐶,𝑐,𝑝   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑝, 𝑎, 𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem fltoprmgt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltoprmgt3.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		fltoprmgt3.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		fltoprmgt3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4		fltoprmgt3.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		fltoprmgt3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
6		prmz 16855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
7		2z 12731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
9		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℤ)
10	8, 9	zltp1led 12754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (2 < 𝑝 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑝))
11		2p1e3 12487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
12	11	breq1i 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 + 1) ≤ 𝑝 ↔ 3 ≤ 𝑝)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑝 ↔ 3 ≤ 𝑝))
14		3re 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
16		zre 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
17	15, 16	leloed 11456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
18	10, 13, 17	3bitrd 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
19	6, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
20	19	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (2 < 𝑝 ↔ (3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝)))
22		pm2.27 43	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (3 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
24		fltoprmgt3.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))
25	24	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3))
26		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑎↑3) = (𝑎↑𝑝))
27		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑏↑3) = (𝑏↑𝑝))
28	26, 27	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑝 → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) = ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)))
29		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑝 → (𝑐↑3) = (𝑐↑𝑝))
30	28, 29	neeq12d 3016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 = 𝑝 → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3) ↔ ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ≠ (𝑐↑3) ↔ ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
32	25, 31	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))
33	32	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) ∧ 3 = 𝑝) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
34	33	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (3 = 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
35	23, 34	jaod 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((3 < 𝑝 ∨ 3 = 𝑝) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
36	21, 35	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → (2 < 𝑝 → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
37	36	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
38	37	ralimdvva 3209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
39	38	ralimdvva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (3 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝))))
40	5, 39	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ∀𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 → ((𝑎↑𝑝) + (𝑏↑𝑝)) ≠ (𝑐↑𝑝)))
41	1, 2, 3, 4, 40	fltoprm 28000	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) ≠ (𝐶↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  1c1 11204   + caddc 11206   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ↑cexp 14207  ℙcprime 16851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-prm 16852  df-numer 16916  df-denom 16917  df-pc 17020

This theorem is used by: (None)