Theorem prodeq2dv 16015

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2dv	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	prodeq2d 16014	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∏cprod 15996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-prod 15997

This theorem is used by:  prodeq2sdvOLD  16017  2cprodeq2dv  16018  prodeq12dv  16019  prodeq12rdv  16020  fprodf1o  16039  fprodss  16041  fprodsplit  16059  fprod2dlem  16073  risefallfac  16117  risefacfac  16127  fallfacfwd  16128  fproddvdsd  16431  prmgapprmo  17160  breprexplema  35146  breprexp  35149  breprexpnat  35150  vtsprod  35155  circlemethnat  35157  circlevma  35158  circlemethhgt  35159  hgt750lemg  35170  bcprod  36325  iprodgam  36329  aks4d1p1p1  42937  aks4d1p1p2  42944  aks4d1p1  42950  aks4d1p9  42962  mccllem  46435  fprodcncf  46736  etransclem4  47074  etransclem13  47083  etransclem23  47093  etransclem31  47101  etransclem35  47105  hoicvrrex  47392  hsphoidmvle2  47421  hsphoidmvle  47422  hoidmvlelem2  47432  hoidmvlelem3  47433  hoidmvlelem4  47434  ovnhoilem1  47437  ovnhoilem2  47438  ovnhoi  47439  ovnlecvr2  47446  ovncvr2  47447  hspmbllem1  47462  hspmbl  47465  ovnovollem1  47492  vonioolem1  47516  vonicclem1  47519  vonn0icc  47524  vonn0ioo2  47526  vonsn  47527  vonn0icc2  47528