Theorem prodeq2dv 16096

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2dv	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	prodeq2d 16095	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∏cprod 16078

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-seq 14149  df-prod 16079

This theorem is used by:  2cprodeq2dv  16098  prodeq12dv  16099  prodeq12rdv  16100  fprodf1o  16119  fprodss  16121  fprodsplit  16139  fprod2dlem  16153  risefallfac  16197  risefacfac  16207  fallfacfwd  16208  fproddvdsd  16511  prmgapprmo  17246  breprexplema  35306  breprexp  35309  breprexpnat  35310  vtsprod  35315  circlemethnat  35317  circlevma  35318  circlemethhgt  35319  hgt750lemg  35330  bcprod  36596  iprodgam  36600  aks4d1p1p1  43207  aks4d1p1p2  43214  aks4d1p1  43220  aks4d1p9  43232  mccllem  46703  fprodcncf  47004  etransclem4  47342  etransclem13  47351  etransclem23  47361  etransclem31  47369  etransclem35  47373  hoicvrrex  47660  hsphoidmvle2  47689  hsphoidmvle  47690  hoidmvlelem2  47700  hoidmvlelem3  47701  hoidmvlelem4  47702  ovnhoilem1  47705  ovnhoilem2  47706  ovnhoi  47707  ovnlecvr2  47714  ovncvr2  47715  hspmbllem1  47730  hspmbl  47733  ovnovollem1  47760  vonioolem1  47784  vonicclem1  47787  vonn0icc  47792  vonn0ioo2  47794  vonsn  47795  vonn0icc2  47796