MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodeq2dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodeq2dv 15814
Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
prodeq2dv.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
prodeq2dv (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq2dv
StepHypRef Expression
1 prodeq2dv.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
21ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 𝐶)
32prodeq2d 15813 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cprod 15796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-prod 15797
This theorem is referenced by:  prodeq2sdv  15815  2cprodeq2dv  15816  prodeq12dv  15817  prodeq12rdv  15818  fprodf1o  15837  fprodss  15839  fprodsplit  15857  fprod2dlem  15871  risefallfac  15915  risefacfac  15926  fallfacfwd  15927  fproddvdsd  16225  prmgapprmo  16942  breprexplema  33307  breprexp  33310  breprexpnat  33311  vtsprod  33316  circlemethnat  33318  circlevma  33319  circlemethhgt  33320  hgt750lemg  33331  bcprod  34374  iprodgam  34378  aks4d1p1p1  40570  aks4d1p1p2  40577  aks4d1p1  40583  aks4d1p9  40595  mccllem  43928  fprodcncf  44231  etransclem4  44569  etransclem13  44578  etransclem23  44588  etransclem31  44596  etransclem35  44600  hoicvrrex  44887  hsphoidmvle2  44916  hsphoidmvle  44917  hoidmvlelem2  44927  hoidmvlelem3  44928  hoidmvlelem4  44929  ovnhoilem1  44932  ovnhoilem2  44933  ovnhoi  44934  ovnlecvr2  44941  ovncvr2  44942  hspmbllem1  44957  hspmbl  44960  ovnovollem1  44987  vonioolem1  45011  vonicclem1  45014  vonn0icc  45019  vonn0ioo2  45021  vonsn  45022  vonn0icc2  45023
  Copyright terms: Public domain W3C validator