Theorem prodeq2dv 15847

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2dv	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	prodeq2d 15846	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∏cprod 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927  df-prod 15829

This theorem is referenced by:  prodeq2sdvOLD  15849  2cprodeq2dv  15850  prodeq12dv  15851  prodeq12rdv  15852  fprodf1o  15871  fprodss  15873  fprodsplit  15891  fprod2dlem  15905  risefallfac  15949  risefacfac  15960  fallfacfwd  15961  fproddvdsd  16264  prmgapprmo  16992  breprexplema  34600  breprexp  34603  breprexpnat  34604  vtsprod  34609  circlemethnat  34611  circlevma  34612  circlemethhgt  34613  hgt750lemg  34624  bcprod  35713  iprodgam  35717  aks4d1p1p1  42039  aks4d1p1p2  42046  aks4d1p1  42052  aks4d1p9  42064  mccllem  45582  fprodcncf  45885  etransclem4  46223  etransclem13  46232  etransclem23  46242  etransclem31  46250  etransclem35  46254  hoicvrrex  46541  hsphoidmvle2  46570  hsphoidmvle  46571  hoidmvlelem2  46581  hoidmvlelem3  46582  hoidmvlelem4  46583  ovnhoilem1  46586  ovnhoilem2  46587  ovnhoi  46588  ovnlecvr2  46595  ovncvr2  46596  hspmbllem1  46611  hspmbl  46614  ovnovollem1  46641  vonioolem1  46665  vonicclem1  46668  vonn0icc  46673  vonn0ioo2  46675  vonsn  46676  vonn0icc2  46677