MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitf 15916
Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 15894 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitf.kph 𝑘𝜑
fprodsplitf.in (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fprodsplitf.un (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fprodsplitf.fi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitf.c ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitf (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodsplitf.in . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
2 fprodsplitf.un . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
3 fprodsplitf.fi . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
4 fprodsplitf.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
5 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑈
64, 5nfan 1902 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑈)
7 nfcsb1v 3915 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
87nfel1 2919 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
96, 8nfim 1899 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
10 eleq1w 2816 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑈𝑗𝑈))
1110anbi2d 629 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑈) ↔ (𝜑𝑗𝑈)))
12 csbeq1a 3904 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
1312eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1411, 13imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
15 fprodsplitf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
169, 14, 15chvarfv 2233 . . 3 ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
171, 2, 3, 16fprodsplit 15894 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶 = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 · ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶))
18 nfcv 2903 . . 3 𝑗𝐶
1918, 7, 12cbvprodi 15845 . 2 𝑘𝑈 𝐶 = ∏𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶
2018, 7, 12cbvprodi 15845 . . 3 𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶
2118, 7, 12cbvprodi 15845 . . 3 𝑘𝐵 𝐶 = ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶
2220, 21oveq12i 7406 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶) = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 · ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶)
2317, 19, 223eqtr4g 2797 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  csb 3890  cun 3943  cin 3944  c0 4319  (class class class)co 7394  Fincfn 8924  cc 11092   · cmul 11099  cprod 15833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-rp 12959  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-exp 14012  df-hash 14275  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-clim 15416  df-prod 15834
This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  15917  fprodsplit1f  15918
  Copyright terms: Public domain W3C validator