MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitf 15931
Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 15909 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitf.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodsplitf.in (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)
fprodsplitf.un (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))
fprodsplitf.fi (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)
fprodsplitf.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitf (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘ˆ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodsplitf
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodsplitf.in . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)
2 fprodsplitf.un . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))
3 fprodsplitf.fi . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)
4 fprodsplitf.kph . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
5 nfv 1917 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ
64, 5nfan 1902 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ)
7 nfcsb1v 3918 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ
87nfel1 2919 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
96, 8nfim 1899 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
10 eleq1w 2816 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ))
1110anbi2d 629 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ)))
12 csbeq1a 3907 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
1312eleq1d 2818 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
1411, 13imbi12d 344 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
15 fprodsplitf.c . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
169, 14, 15chvarfv 2233 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
171, 2, 3, 16fprodsplit 15909 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ = (โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ ยท โˆ๐‘— โˆˆ ๐ต โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
18 nfcv 2903 . . 3 โ„ฒ๐‘—๐ถ
1918, 7, 12cbvprodi 15860 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = โˆ๐‘— โˆˆ ๐‘ˆ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ
2018, 7, 12cbvprodi 15860 . . 3 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ
2118, 7, 12cbvprodi 15860 . . 3 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘— โˆˆ ๐ต โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ
2220, 21oveq12i 7420 . 2 (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = (โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ ยท โˆ๐‘— โˆˆ ๐ต โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
2317, 19, 223eqtr4g 2797 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541  โ„ฒwnf 1785   โˆˆ wcel 2106  โฆ‹csb 3893   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947  โˆ…c0 4322  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  โ„‚cc 11107   ยท cmul 11114  โˆcprod 15848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849
This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  15932  fprodsplit1f  15933
  Copyright terms: Public domain W3C validator