Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitf 15391
 Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 15369 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitf.kph 𝑘𝜑
fprodsplitf.in (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fprodsplitf.un (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fprodsplitf.fi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitf.c ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitf (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodsplitf.in . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
2 fprodsplitf.un . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
3 fprodsplitf.fi . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
4 fprodsplitf.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
5 nfv 1916 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑈
64, 5nfan 1901 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑈)
7 nfcsb1v 3830 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
87nfel1 2936 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
96, 8nfim 1898 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
10 eleq1w 2835 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑈𝑗𝑈))
1110anbi2d 632 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑈) ↔ (𝜑𝑗𝑈)))
12 csbeq1a 3820 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
1312eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1411, 13imbi12d 349 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
15 fprodsplitf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
169, 14, 15chvarfv 2241 . . 3 ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
171, 2, 3, 16fprodsplit 15369 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶 = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 · ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶))
18 nfcv 2920 . . 3 𝑗𝐶
1918, 7, 12cbvprodi 15320 . 2 𝑘𝑈 𝐶 = ∏𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶
2018, 7, 12cbvprodi 15320 . . 3 𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶
2118, 7, 12cbvprodi 15320 . . 3 𝑘𝐵 𝐶 = ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶
2220, 21oveq12i 7163 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶) = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 · ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶)
2317, 19, 223eqtr4g 2819 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2112  ⦋csb 3806   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858  ∅c0 4226  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℂcc 10574   · cmul 10581  ∏cprod 15308 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9138  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8940  df-oi 9008  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-seq 13420  df-exp 13481  df-hash 13742  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-clim 14894  df-prod 15309 This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  15392  fprodsplit1f  15393
 Copyright terms: Public domain W3C validator