Theorem fprodsplitf 15953

Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 15931 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplitf.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplitf.un	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplitf.fi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitf.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
2		fprodsplitf.un	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		fprodsplitf.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		fprodsplitf.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑈
6	4, 5	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)
7		nfcsb1v 3861	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
8	7	nfel1 2915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
9	6, 8	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
10		eleq1w 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ 𝑈))
11	10	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)))
12		csbeq1a 3851	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
13	12	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
14	11, 13	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
15		fprodsplitf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	chvarfv 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
17	1, 2, 3, 16	fprodsplit 15931	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 · ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
18		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
19	18, 7, 12	cbvprodi 15880	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
20	18, 7, 12	cbvprodi 15880	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
21	18, 7, 12	cbvprodi 15880	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
22	20, 21	oveq12i 7379	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 · ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
23	17, 19, 22	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3837   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036   · cmul 11043  ∏cprod 15868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869

This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  15954  fprodsplit1f  15955