![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodsplitf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 15909 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodsplitf.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodsplitf.in | โข (๐ โ (๐ด โฉ ๐ต) = โ ) |
fprodsplitf.un | โข (๐ โ ๐ = (๐ด โช ๐ต)) |
fprodsplitf.fi | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
fprodsplitf.c | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodsplitf | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ ๐ถ = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท โ๐ โ ๐ต ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fprodsplitf.in | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โฉ ๐ต) = โ ) | |
2 | fprodsplitf.un | . . 3 โข (๐ โ ๐ = (๐ด โช ๐ต)) | |
3 | fprodsplitf.fi | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
4 | fprodsplitf.kph | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ | |
5 | nfv 1917 | . . . . . 6 โข โฒ๐ ๐ โ ๐ | |
6 | 4, 5 | nfan 1902 | . . . . 5 โข โฒ๐(๐ โง ๐ โ ๐) |
7 | nfcsb1v 3918 | . . . . . 6 โข โฒ๐โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ | |
8 | 7 | nfel1 2919 | . . . . 5 โข โฒ๐โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ โ โ |
9 | 6, 8 | nfim 1899 | . . . 4 โข โฒ๐((๐ โง ๐ โ ๐) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ โ โ) |
10 | eleq1w 2816 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐)) | |
11 | 10 | anbi2d 629 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โง ๐ โ ๐))) |
12 | csbeq1a 3907 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ ๐ถ = โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ) | |
13 | 12 | eleq1d 2818 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ถ โ โ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ โ โ)) |
14 | 11, 13 | imbi12d 344 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ) โ ((๐ โง ๐ โ ๐) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ โ โ))) |
15 | fprodsplitf.c | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ) | |
16 | 9, 14, 15 | chvarfv 2233 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ โ โ) |
17 | 1, 2, 3, 16 | fprodsplit 15909 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ = (โ๐ โ ๐ด โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ ยท โ๐ โ ๐ต โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ)) |
18 | nfcv 2903 | . . 3 โข โฒ๐๐ถ | |
19 | 18, 7, 12 | cbvprodi 15860 | . 2 โข โ๐ โ ๐ ๐ถ = โ๐ โ ๐ โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ |
20 | 18, 7, 12 | cbvprodi 15860 | . . 3 โข โ๐ โ ๐ด ๐ถ = โ๐ โ ๐ด โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ |
21 | 18, 7, 12 | cbvprodi 15860 | . . 3 โข โ๐ โ ๐ต ๐ถ = โ๐ โ ๐ต โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ |
22 | 20, 21 | oveq12i 7420 | . 2 โข (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท โ๐ โ ๐ต ๐ถ) = (โ๐ โ ๐ด โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ ยท โ๐ โ ๐ต โฆ๐ / ๐โฆ๐ถ) |
23 | 17, 19, 22 | 3eqtr4g 2797 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ ๐ถ = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท โ๐ โ ๐ต ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โฒwnf 1785 โ wcel 2106 โฆcsb 3893 โช cun 3946 โฉ cin 3947 โ c0 4322 (class class class)co 7408 Fincfn 8938 โcc 11107 ยท cmul 11114 โcprod 15848 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-rp 12974 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-seq 13966 df-exp 14027 df-hash 14290 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-clim 15431 df-prod 15849 |
This theorem is referenced by: fprodsplitsn 15932 fprodsplit1f 15933 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |