MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddivf 16023
Description: The quotient of two finite products. A version of fproddiv 15997 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddivf.kph 𝑘𝜑
fproddivf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fproddivf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2905 . . . 4 𝑗(𝐵 / 𝐶)
2 nfcsb1v 3923 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
3 nfcv 2905 . . . . 5 𝑘 /
4 nfcsb1v 3923 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
52, 3, 4nfov 7461 . . . 4 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
6 csbeq1a 3913 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
7 csbeq1a 3913 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
86, 7oveq12d 7449 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
91, 5, 8cbvprodi 15951 . . 3 𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
11 fproddivf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
12 fproddivf.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
13 nfvd 1915 . . . . . 6 (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗𝐴)
1412, 13nfan1 2200 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
152nfel1 2922 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1614, 15nfim 1896 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
17 eleq1w 2824 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1817anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
196eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2018, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
21 fproddivf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2216, 20, 21chvarfv 2240 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
234nfel1 2922 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
2414, 23nfim 1896 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
257eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2618, 25imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
27 fproddivf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2824, 26, 27chvarfv 2240 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
29 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑘0
304, 29nfne 3043 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0
3114, 30nfim 1896 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
327neeq1d 3000 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ≠ 0 ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0))
3318, 32imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)))
34 fproddivf.ne0 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
3531, 33, 34chvarfv 2240 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
3611, 22, 28, 35fproddiv 15997 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶))
37 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑗𝐵
3837, 2, 6cbvprodi 15951 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
3938eqcomi 2746 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
41 nfcv 2905 . . . . 5 𝑗𝐶
427equcoms 2019 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
4342eqcomd 2743 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
444, 41, 43cbvprodi 15951 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶
4544a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4640, 45oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
4710, 36, 463eqtrd 2781 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  csb 3899  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155   / cdiv 11920  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  fprodle  16032
  Copyright terms: Public domain W3C validator