MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddivf 15967
Description: The quotient of two finite products. A version of fproddiv 15941 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddivf.kph 𝑘𝜑
fproddivf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fproddivf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2891 . . . 4 𝑗(𝐵 / 𝐶)
2 nfcsb1v 3914 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
3 nfcv 2891 . . . . 5 𝑘 /
4 nfcsb1v 3914 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
52, 3, 4nfov 7449 . . . 4 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
6 csbeq1a 3903 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
7 csbeq1a 3903 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
86, 7oveq12d 7437 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
91, 5, 8cbvprodi 15897 . . 3 𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
11 fproddivf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
12 fproddivf.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
13 nfvd 1910 . . . . . 6 (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗𝐴)
1412, 13nfan1 2188 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
152nfel1 2908 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1614, 15nfim 1891 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
17 eleq1w 2808 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1817anbi2d 628 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
196eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2018, 19imbi12d 343 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
21 fproddivf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2216, 20, 21chvarfv 2228 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
234nfel1 2908 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
2414, 23nfim 1891 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
257eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2618, 25imbi12d 343 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
27 fproddivf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2824, 26, 27chvarfv 2228 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
29 nfcv 2891 . . . . . 6 𝑘0
304, 29nfne 3032 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0
3114, 30nfim 1891 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
327neeq1d 2989 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ≠ 0 ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0))
3318, 32imbi12d 343 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)))
34 fproddivf.ne0 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
3531, 33, 34chvarfv 2228 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
3611, 22, 28, 35fproddiv 15941 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶))
37 nfcv 2891 . . . . . 6 𝑗𝐵
3837, 2, 6cbvprodi 15897 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
3938eqcomi 2734 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
41 nfcv 2891 . . . . 5 𝑗𝐶
427equcoms 2015 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
4342eqcomd 2731 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
444, 41, 43cbvprodi 15897 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶
4544a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4640, 45oveq12d 7437 . 2 (𝜑 → (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
4710, 36, 463eqtrd 2769 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wne 2929  csb 3889  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  cc 11138  0cc0 11140   / cdiv 11903  cprod 15885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-prod 15886
This theorem is referenced by:  fprodle  15976
  Copyright terms: Public domain W3C validator