Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddivf 15333
 Description: The quotient of two finite products. A version of fproddiv 15307 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddivf.kph 𝑘𝜑
fproddivf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fproddivf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2975 . . . 4 𝑗(𝐵 / 𝐶)
2 nfcsb1v 3905 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
3 nfcv 2975 . . . . 5 𝑘 /
4 nfcsb1v 3905 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
52, 3, 4nfov 7178 . . . 4 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
6 csbeq1a 3895 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
7 csbeq1a 3895 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
86, 7oveq12d 7166 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
91, 5, 8cbvprodi 15263 . . 3 𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
11 fproddivf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
12 fproddivf.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
13 nfvd 1910 . . . . . 6 (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗𝐴)
1412, 13nfan1 2193 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
152nfel1 2992 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1614, 15nfim 1891 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
17 eleq1w 2893 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1817anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
196eleq1d 2895 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2018, 19imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
21 fproddivf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2216, 20, 21chvarfv 2235 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
234nfel1 2992 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
2414, 23nfim 1891 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
257eleq1d 2895 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2618, 25imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
27 fproddivf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2824, 26, 27chvarfv 2235 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
29 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑘0
304, 29nfne 3117 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0
3114, 30nfim 1891 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
327neeq1d 3073 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ≠ 0 ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0))
3318, 32imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)))
34 fproddivf.ne0 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
3531, 33, 34chvarfv 2235 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
3611, 22, 28, 35fproddiv 15307 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶))
37 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑗𝐵
3837, 2, 6cbvprodi 15263 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
3938eqcomi 2828 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
41 nfcv 2975 . . . . 5 𝑗𝐶
427equcoms 2021 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
4342eqcomd 2825 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
444, 41, 43cbvprodi 15263 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶
4544a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4640, 45oveq12d 7166 . 2 (𝜑 → (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
4710, 36, 463eqtrd 2858 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ⦋csb 3881  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  ℂcc 10527  0cc0 10529   / cdiv 11289  ∏cprod 15251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252 This theorem is referenced by:  fprodle  15342
 Copyright terms: Public domain W3C validator