Theorem fproddivf 16161

Description: The quotient of two finite products. A version of fproddiv 16135 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fproddivf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fproddivf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
fproddivf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 / 𝐶)
2		nfcsb1v 3871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 /
4		nfcsb1v 3871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 7452	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
6		csbeq1a 3861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
7		csbeq1a 3861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 7440	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvprodi 16091	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
11		fproddivf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12		fproddivf.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfvd 1947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴)
14	12, 13	nfan1 2236	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
15	2	nfel1 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
16	14, 15	nfim 1928	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
19	6	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
20	18, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
21		fproddivf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	16, 20, 21	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
23	4	nfel1 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
24	14, 23	nfim 1928	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
25	7	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
26	18, 25	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
27		fproddivf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
29		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘0
30	4, 29	nfne 3058	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0
31	14, 30	nfim 1928	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0)
32	7	neeq1d 3014	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ≠ 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0))
33	18, 32	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0)))
34		fproddivf.ne0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
35	31, 33, 34	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0)
36	11, 22, 28, 35	fproddiv 16135	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
37		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
38	37, 2, 6	cbvprodi 16091	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
39	38	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
41		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
42	7	equcoms 2052	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
43	42	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶)
44	4, 41, 43	cbvprodi 16091	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
45	44	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
46	40, 45	oveq12d 7440	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
47	10, 36, 46	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ⦋csb 3847  (class class class)co 7422  Fincfn 8978  ℂcc 11203  0cc0 11205   / cdiv 11978  ∏cprod 16079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-clim 15662  df-prod 16080

This theorem is used by:  fprodle  16170