MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitsn 15877
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitsn.ph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodsplitsn.kd โ„ฒ๐‘˜๐ท
fprodsplitsn.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodsplitsn.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
fprodsplitsn.ba (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
fprodsplitsn.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fprodsplitsn.d (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)
fprodsplitsn.dcn (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitsn (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodsplitsn
StepHypRef Expression
1 fprodsplitsn.ph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 fprodsplitsn.ba . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
3 disjsn 4673 . . . 4 ((๐ด โˆฉ {๐ต}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
42, 3sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ {๐ต}) = โˆ…)
5 eqidd 2734 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) = (๐ด โˆช {๐ต}))
6 fprodsplitsn.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
7 snfi 8991 . . . 4 {๐ต} โˆˆ Fin
8 unfi 9119 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐ต} โˆˆ Fin) โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆˆ Fin)
96, 7, 8sylancl 587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆˆ Fin)
10 fprodsplitsn.c . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1110adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 elunnel1 4110 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐ต})
13 elsni 4604 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {๐ต} โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
1514adantll 713 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
16 fprodsplitsn.d . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
18 fprodsplitsn.dcn . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1918ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2017, 19eqeltrd 2834 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2111, 20pm2.61dan 812 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
221, 4, 5, 9, 21fprodsplitf 15876 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ))
23 fprodsplitsn.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
24 fprodsplitsn.kd . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐ท
2524, 16prodsnf 15852 . . . 4 ((๐ต โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ = ๐ท)
2623, 18, 25syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ = ๐ท)
2726oveq2d 7374 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
2822, 27eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542  โ„ฒwnf 1786   โˆˆ wcel 2107  โ„ฒwnfc 2884   โˆช cun 3909   โˆฉ cin 3910  โˆ…c0 4283  {csn 4587  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054   ยท cmul 11061  โˆcprod 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794
This theorem is referenced by:  fprodmodd  15885  coprmprod  16542  coprmproddvdslem  16543  breprexplema  33300  breprexplemc  33302  circlemethhgt  33313  fprodexp  43921  fprodabs2  43922  mccllem  43924  fprodcnlem  43926  fprodcncf  44227  dvmptfprodlem  44271  dvnprodlem2  44274  hspmbllem1  44953
  Copyright terms: Public domain W3C validator