![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodsplitsn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodsplitsn.ph | โข โฒ๐๐ |
fprodsplitsn.kd | โข โฒ๐๐ท |
fprodsplitsn.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodsplitsn.b | โข (๐ โ ๐ต โ ๐) |
fprodsplitsn.ba | โข (๐ โ ยฌ ๐ต โ ๐ด) |
fprodsplitsn.c | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
fprodsplitsn.d | โข (๐ = ๐ต โ ๐ถ = ๐ท) |
fprodsplitsn.dcn | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodsplitsn | โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โช {๐ต})๐ถ = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fprodsplitsn.ph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
2 | fprodsplitsn.ba | . . . 4 โข (๐ โ ยฌ ๐ต โ ๐ด) | |
3 | disjsn 4711 | . . . 4 โข ((๐ด โฉ {๐ต}) = โ โ ยฌ ๐ต โ ๐ด) | |
4 | 2, 3 | sylibr 233 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โฉ {๐ต}) = โ ) |
5 | eqidd 2728 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โช {๐ต}) = (๐ด โช {๐ต})) | |
6 | fprodsplitsn.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
7 | snfi 9058 | . . . 4 โข {๐ต} โ Fin | |
8 | unfi 9186 | . . . 4 โข ((๐ด โ Fin โง {๐ต} โ Fin) โ (๐ด โช {๐ต}) โ Fin) | |
9 | 6, 7, 8 | sylancl 585 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โช {๐ต}) โ Fin) |
10 | fprodsplitsn.c | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) | |
11 | 10 | adantlr 714 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
12 | elunnel1 4145 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ (๐ด โช {๐ต}) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ {๐ต}) | |
13 | elsni 4641 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ {๐ต} โ ๐ = ๐ต) | |
14 | 12, 13 | syl 17 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ (๐ด โช {๐ต}) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ = ๐ต) |
15 | 14 | adantll 713 | . . . . . 6 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ = ๐ต) |
16 | fprodsplitsn.d | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ต โ ๐ถ = ๐ท) | |
17 | 15, 16 | syl 17 | . . . . 5 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ = ๐ท) |
18 | fprodsplitsn.dcn | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
19 | 18 | ad2antrr 725 | . . . . 5 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ท โ โ) |
20 | 17, 19 | eqeltrd 2828 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
21 | 11, 20 | pm2.61dan 812 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โ ๐ถ โ โ) |
22 | 1, 4, 5, 9, 21 | fprodsplitf 15950 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โช {๐ต})๐ถ = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท โ๐ โ {๐ต}๐ถ)) |
23 | fprodsplitsn.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐) | |
24 | fprodsplitsn.kd | . . . . 5 โข โฒ๐๐ท | |
25 | 24, 16 | prodsnf 15926 | . . . 4 โข ((๐ต โ ๐ โง ๐ท โ โ) โ โ๐ โ {๐ต}๐ถ = ๐ท) |
26 | 23, 18, 25 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ต}๐ถ = ๐ท) |
27 | 26 | oveq2d 7430 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท โ๐ โ {๐ต}๐ถ) = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท)) |
28 | 22, 27 | eqtrd 2767 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โช {๐ต})๐ถ = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โฒwnf 1778 โ wcel 2099 โฒwnfc 2878 โช cun 3942 โฉ cin 3943 โ c0 4318 {csn 4624 (class class class)co 7414 Fincfn 8953 โcc 11122 ยท cmul 11129 โcprod 15867 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-inf2 9650 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-er 8716 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-sup 9451 df-oi 9519 df-card 9948 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11888 df-nn 12229 df-2 12291 df-3 12292 df-n0 12489 df-z 12575 df-uz 12839 df-rp 12993 df-fz 13503 df-fzo 13646 df-seq 13985 df-exp 14045 df-hash 14308 df-cj 15064 df-re 15065 df-im 15066 df-sqrt 15200 df-abs 15201 df-clim 15450 df-prod 15868 |
This theorem is referenced by: fprodmodd 15959 coprmprod 16617 coprmproddvdslem 16618 breprexplema 34185 breprexplemc 34187 circlemethhgt 34198 fprodexp 44895 fprodabs2 44896 mccllem 44898 fprodcnlem 44900 fprodcncf 45201 dvmptfprodlem 45245 dvnprodlem2 45248 hspmbllem1 45927 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |