MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitsn 16021
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitsn.ph 𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd 𝑘𝐷
fprodsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fprodsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fprodsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitsn (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn
StepHypRef Expression
1 fprodsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fprodsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 4715 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2735 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fprodsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 snfi 9081 . . . 4 {𝐵} ∈ Fin
8 unfi 9209 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10 fprodsplitsn.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 elunnel1 4163 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
13 elsni 4647 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
1514adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
16 fprodsplitsn.d . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
18 fprodsplitsn.dcn . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
2017, 19eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2111, 20pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
221, 4, 5, 9, 21fprodsplitf 16020 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
23 fprodsplitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
24 fprodsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2524, 16prodsnf 15996 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2623, 18, 25syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2726oveq2d 7446 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
2822, 27eqtrd 2774 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wnfc 2887  cun 3960  cin 3961  c0 4338  {csn 4630  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150   · cmul 11157  cprod 15935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936
This theorem is referenced by:  fprodmodd  16029  coprmprod  16694  coprmproddvdslem  16695  breprexplema  34623  breprexplemc  34625  circlemethhgt  34636  fprodexp  45549  fprodabs2  45550  mccllem  45552  fprodcnlem  45554  fprodcncf  45855  dvmptfprodlem  45899  dvnprodlem2  45902  hspmbllem1  46581
  Copyright terms: Public domain W3C validator