MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitsn 15960
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitsn.ph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodsplitsn.kd โ„ฒ๐‘˜๐ท
fprodsplitsn.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodsplitsn.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
fprodsplitsn.ba (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
fprodsplitsn.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fprodsplitsn.d (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)
fprodsplitsn.dcn (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitsn (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodsplitsn
StepHypRef Expression
1 fprodsplitsn.ph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 fprodsplitsn.ba . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
3 disjsn 4712 . . . 4 ((๐ด โˆฉ {๐ต}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
42, 3sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ {๐ต}) = โˆ…)
5 eqidd 2726 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) = (๐ด โˆช {๐ต}))
6 fprodsplitsn.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
7 snfi 9062 . . . 4 {๐ต} โˆˆ Fin
8 unfi 9190 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐ต} โˆˆ Fin) โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆˆ Fin)
96, 7, 8sylancl 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆˆ Fin)
10 fprodsplitsn.c . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1110adantlr 713 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 elunnel1 4143 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐ต})
13 elsni 4642 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {๐ต} โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
1514adantll 712 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
16 fprodsplitsn.d . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
18 fprodsplitsn.dcn . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1918ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2017, 19eqeltrd 2825 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2111, 20pm2.61dan 811 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
221, 4, 5, 9, 21fprodsplitf 15959 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ))
23 fprodsplitsn.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
24 fprodsplitsn.kd . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐ท
2524, 16prodsnf 15935 . . . 4 ((๐ต โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ = ๐ท)
2623, 18, 25syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ = ๐ท)
2726oveq2d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
2822, 27eqtrd 2765 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โ„ฒwnfc 2875   โˆช cun 3939   โˆฉ cin 3940  โˆ…c0 4319  {csn 4625  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  โ„‚cc 11131   ยท cmul 11138  โˆcprod 15876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-prod 15877
This theorem is referenced by:  fprodmodd  15968  coprmprod  16626  coprmproddvdslem  16627  breprexplema  34315  breprexplemc  34317  circlemethhgt  34328  fprodexp  45041  fprodabs2  45042  mccllem  45044  fprodcnlem  45046  fprodcncf  45347  dvmptfprodlem  45391  dvnprodlem2  45394  hspmbllem1  46073
  Copyright terms: Public domain W3C validator