MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitsn 15951
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitsn.ph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodsplitsn.kd โ„ฒ๐‘˜๐ท
fprodsplitsn.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodsplitsn.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
fprodsplitsn.ba (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
fprodsplitsn.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fprodsplitsn.d (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)
fprodsplitsn.dcn (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitsn (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodsplitsn
StepHypRef Expression
1 fprodsplitsn.ph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 fprodsplitsn.ba . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
3 disjsn 4711 . . . 4 ((๐ด โˆฉ {๐ต}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)
42, 3sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ {๐ต}) = โˆ…)
5 eqidd 2728 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) = (๐ด โˆช {๐ต}))
6 fprodsplitsn.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
7 snfi 9058 . . . 4 {๐ต} โˆˆ Fin
8 unfi 9186 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐ต} โˆˆ Fin) โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆˆ Fin)
96, 7, 8sylancl 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆˆ Fin)
10 fprodsplitsn.c . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1110adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 elunnel1 4145 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐ต})
13 elsni 4641 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {๐ต} โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
1514adantll 713 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
16 fprodsplitsn.d . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
18 fprodsplitsn.dcn . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1918ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2017, 19eqeltrd 2828 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2111, 20pm2.61dan 812 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
221, 4, 5, 9, 21fprodsplitf 15950 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ))
23 fprodsplitsn.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
24 fprodsplitsn.kd . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐ท
2524, 16prodsnf 15926 . . . 4 ((๐ต โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ = ๐ท)
2623, 18, 25syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ = ๐ท)
2726oveq2d 7430 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ถ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
2822, 27eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534  โ„ฒwnf 1778   โˆˆ wcel 2099  โ„ฒwnfc 2878   โˆช cun 3942   โˆฉ cin 3943  โˆ…c0 4318  {csn 4624  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  โ„‚cc 11122   ยท cmul 11129  โˆcprod 15867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-prod 15868
This theorem is referenced by:  fprodmodd  15959  coprmprod  16617  coprmproddvdslem  16618  breprexplema  34185  breprexplemc  34187  circlemethhgt  34198  fprodexp  44895  fprodabs2  44896  mccllem  44898  fprodcnlem  44900  fprodcncf  45201  dvmptfprodlem  45245  dvnprodlem2  45248  hspmbllem1  45927
  Copyright terms: Public domain W3C validator