MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitsn 15203
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitsn.ph 𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd 𝑘𝐷
fprodsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fprodsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fprodsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitsn (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn
StepHypRef Expression
1 fprodsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fprodsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 4521 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 226 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2780 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fprodsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 snfi 8391 . . . 4 {𝐵} ∈ Fin
8 unfi 8580 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancl 577 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10 fprodsplitsn.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110adantlr 702 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 elunnel1 4016 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
13 elsni 4458 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
1514adantll 701 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
16 fprodsplitsn.d . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
18 fprodsplitsn.dcn . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
2017, 19eqeltrd 2867 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2111, 20pm2.61dan 800 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
221, 4, 5, 9, 21fprodsplitf 15202 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
23 fprodsplitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
24 fprodsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2524, 16prodsnf 15178 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2623, 18, 25syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2726oveq2d 6992 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
2822, 27eqtrd 2815 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wnfc 2917  cun 3828  cin 3829  c0 4179  {csn 4441  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  cc 10333   · cmul 10340  cprod 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-prod 15120
This theorem is referenced by:  fprodmodd  15211  coprmprod  15861  coprmproddvdslem  15862  breprexplema  31546  breprexplemc  31548  circlemethhgt  31559  fprodexp  41304  fprodabs2  41305  mccllem  41307  fprodcnlem  41309  fprodcncf  41612  dvmptfprodlem  41657  dvnprodlem2  41660  hspmbllem1  42337
  Copyright terms: Public domain W3C validator