Theorem fprodsplitsn 15962

Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fprodsplitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fprodsplitsn.ba	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
fprodsplitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
3		disjsn 4678	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 9017	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
8		unfi 9141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10		fprodsplitsn.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		elunnel1 4120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
13		elsni 4609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
15	14	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
16		fprodsplitsn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
18		fprodsplitsn.dcn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
20	17, 19	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	11, 20	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	1, 4, 5, 9, 21	fprodsplitf 15961	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
23		fprodsplitsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
24		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
25	24, 16	prodsnf 15937	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
26	23, 18, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
27	26	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))
28	22, 27	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073   · cmul 11080  ∏cprod 15876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877

This theorem is referenced by:  fprodmodd  15970  coprmprod  16638  coprmproddvdslem  16639  breprexplema  34628  breprexplemc  34630  circlemethhgt  34641  fprodexp  45599  fprodabs2  45600  mccllem  45602  fprodcnlem  45604  fprodcncf  45905  dvmptfprodlem  45949  dvnprodlem2  45952  hspmbllem1  46631