Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitsn 15335
 Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitsn.ph 𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd 𝑘𝐷
fprodsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fprodsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fprodsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitsn (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn
StepHypRef Expression
1 fprodsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fprodsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 4607 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 237 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2799 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fprodsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 snfi 8577 . . . 4 {𝐵} ∈ Fin
8 unfi 8769 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10 fprodsplitsn.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110adantlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 elunnel1 4077 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
13 elsni 4542 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
1514adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
16 fprodsplitsn.d . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
18 fprodsplitsn.dcn . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
2017, 19eqeltrd 2890 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2111, 20pm2.61dan 812 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
221, 4, 5, 9, 21fprodsplitf 15334 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
23 fprodsplitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
24 fprodsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2524, 16prodsnf 15310 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2623, 18, 25syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2726oveq2d 7151 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
2822, 27eqtrd 2833 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524   · cmul 10531  ∏cprod 15251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252 This theorem is referenced by:  fprodmodd  15343  coprmprod  15995  coprmproddvdslem  15996  breprexplema  32011  breprexplemc  32013  circlemethhgt  32024  fprodexp  42234  fprodabs2  42235  mccllem  42237  fprodcnlem  42239  fprodcncf  42540  dvmptfprodlem  42584  dvnprodlem2  42587  hspmbllem1  43263
 Copyright terms: Public domain W3C validator