![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodsplitsn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodsplitsn.ph | โข โฒ๐๐ |
fprodsplitsn.kd | โข โฒ๐๐ท |
fprodsplitsn.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodsplitsn.b | โข (๐ โ ๐ต โ ๐) |
fprodsplitsn.ba | โข (๐ โ ยฌ ๐ต โ ๐ด) |
fprodsplitsn.c | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
fprodsplitsn.d | โข (๐ = ๐ต โ ๐ถ = ๐ท) |
fprodsplitsn.dcn | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodsplitsn | โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โช {๐ต})๐ถ = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fprodsplitsn.ph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
2 | fprodsplitsn.ba | . . . 4 โข (๐ โ ยฌ ๐ต โ ๐ด) | |
3 | disjsn 4712 | . . . 4 โข ((๐ด โฉ {๐ต}) = โ โ ยฌ ๐ต โ ๐ด) | |
4 | 2, 3 | sylibr 233 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โฉ {๐ต}) = โ ) |
5 | eqidd 2726 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โช {๐ต}) = (๐ด โช {๐ต})) | |
6 | fprodsplitsn.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
7 | snfi 9062 | . . . 4 โข {๐ต} โ Fin | |
8 | unfi 9190 | . . . 4 โข ((๐ด โ Fin โง {๐ต} โ Fin) โ (๐ด โช {๐ต}) โ Fin) | |
9 | 6, 7, 8 | sylancl 584 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โช {๐ต}) โ Fin) |
10 | fprodsplitsn.c | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) | |
11 | 10 | adantlr 713 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
12 | elunnel1 4143 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ (๐ด โช {๐ต}) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ {๐ต}) | |
13 | elsni 4642 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ {๐ต} โ ๐ = ๐ต) | |
14 | 12, 13 | syl 17 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ (๐ด โช {๐ต}) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ = ๐ต) |
15 | 14 | adantll 712 | . . . . . 6 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ = ๐ต) |
16 | fprodsplitsn.d | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ต โ ๐ถ = ๐ท) | |
17 | 15, 16 | syl 17 | . . . . 5 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ = ๐ท) |
18 | fprodsplitsn.dcn | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
19 | 18 | ad2antrr 724 | . . . . 5 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ท โ โ) |
20 | 17, 19 | eqeltrd 2825 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โง ยฌ ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
21 | 11, 20 | pm2.61dan 811 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (๐ด โช {๐ต})) โ ๐ถ โ โ) |
22 | 1, 4, 5, 9, 21 | fprodsplitf 15959 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โช {๐ต})๐ถ = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท โ๐ โ {๐ต}๐ถ)) |
23 | fprodsplitsn.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐) | |
24 | fprodsplitsn.kd | . . . . 5 โข โฒ๐๐ท | |
25 | 24, 16 | prodsnf 15935 | . . . 4 โข ((๐ต โ ๐ โง ๐ท โ โ) โ โ๐ โ {๐ต}๐ถ = ๐ท) |
26 | 23, 18, 25 | syl2anc 582 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ต}๐ถ = ๐ท) |
27 | 26 | oveq2d 7429 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท โ๐ โ {๐ต}๐ถ) = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท)) |
28 | 22, 27 | eqtrd 2765 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โช {๐ต})๐ถ = (โ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โฒwnf 1777 โ wcel 2098 โฒwnfc 2875 โช cun 3939 โฉ cin 3940 โ c0 4319 {csn 4625 (class class class)co 7413 Fincfn 8957 โcc 11131 ยท cmul 11138 โcprod 15876 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-inf2 9659 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9460 df-oi 9528 df-card 9957 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-n0 12498 df-z 12584 df-uz 12848 df-rp 13002 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-seq 13994 df-exp 14054 df-hash 14317 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-clim 15459 df-prod 15877 |
This theorem is referenced by: fprodmodd 15968 coprmprod 16626 coprmproddvdslem 16627 breprexplema 34315 breprexplemc 34317 circlemethhgt 34328 fprodexp 45041 fprodabs2 45042 mccllem 45044 fprodcnlem 45046 fprodcncf 45347 dvmptfprodlem 45391 dvnprodlem2 45394 hspmbllem1 46073 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |