Theorem lcmfunnnd 42013

Description: Useful equation to calculate the least common multiple of 1 to n. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lcmfunnnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunnnd	⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfunnnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 11624	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6		nnm1nn0 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 12920	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	8	eleq2i 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
10	7, 9	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
11		1m1e0 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
12	11	fveq2i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
13	12	eleq2i 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0)))
15	10, 14	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
16		1z 12647	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
17		fzsuc2 13622	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
18	16, 17	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
20	5, 19	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
21	4	sneqd 4638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
22	21	uneq2d 4168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
23	20, 22	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
24	23	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})))
25		fzssz 13566	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ)
27		fzfi 14013	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
29		nnz 12634	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
30	1, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
31	26, 28, 30	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		lcmfunsn 16681	. . 3 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
33	31, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
34	24, 33	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547   lcm clcm 16625  lcmclcmf 16626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-lcm 16627  df-lcmf 16628

This theorem is referenced by:  lcm1un  42014  lcm2un  42015  lcm3un  42016  lcm4un  42017  lcm5un  42018  lcm6un  42019  lcm7un  42020  lcm8un  42021  lcmineqlem19  42048  lcmineqlem22  42051