Theorem lcmfunnnd 41487

Description: Useful equation to calculate the least common multiple of 1 to n. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lcmfunnnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunnnd	⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfunnnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 11611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6		nnm1nn0 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 12900	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	8	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
10	7, 9	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
11		1m1e0 12320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
12	11	fveq2i 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
13	12	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0)))
15	10, 14	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
16		1z 12628	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
17		fzsuc2 13597	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
18	16, 17	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
20	5, 19	eqtr3d 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
21	4	sneqd 4642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
22	21	uneq2d 4162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
23	20, 22	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
24	23	fveq2d 6904	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})))
25		fzssz 13541	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ)
27		fzfi 13975	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
29		nnz 12615	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
30	1, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
31	26, 28, 30	3jca 1125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		lcmfunsn 16620	. . 3 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
33	31, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
34	24, 33	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4630  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   − cmin 11480  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13522   lcm clcm 16564  lcmclcmf 16565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-prod 15888  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-lcm 16566  df-lcmf 16567

This theorem is referenced by:  lcm1un  41488  lcm2un  41489  lcm3un  41490  lcm4un  41491  lcm5un  41492  lcm6un  41493  lcm7un  41494  lcm8un  41495  lcmineqlem19  41522  lcmineqlem22  41525