Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmfunnnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfunnnd 40498
Description: Useful equation to calculate the least common multiple of 1 to n. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmfunnnd.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
lcmfunnnd (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunnnd
StepHypRef Expression
1 lcmfunnnd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nncnd 12176 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3 1cnd 11157 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42, 3npcand 11523 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
54oveq2d 7378 . . . . 5 (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
71, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
8 nn0uz 12812 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
98eleq2i 2830 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
107, 9sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
11 1m1e0 12232 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
1211fveq2i 6850 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
1312eleq2i 2830 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0)))
1510, 14mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
16 1z 12540 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
17 fzsuc2 13506 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(1 − 1))) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
1816, 17mpan 689 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(1 − 1)) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
205, 19eqtr3d 2779 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
214sneqd 4603 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
2221uneq2d 4128 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2320, 22eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2423fveq2d 6851 . 2 (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})))
25 fzssz 13450 . . . . 5 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ)
27 fzfi 13884 . . . . 5 (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
29 nnz 12527 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
301, 29syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3126, 28, 303jca 1129 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32 lcmfunsn 16527 . . 3 (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
3331, 32syl 17 . 2 (𝜑 → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
3424, 33eqtrd 2777 1 (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913  wss 3915  {csn 4591  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  cn 12160  0cn0 12420  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431   lcm clcm 16471  lcmclcmf 16472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-lcm 16473  df-lcmf 16474
This theorem is referenced by:  lcm1un  40499  lcm2un  40500  lcm3un  40501  lcm4un  40502  lcm5un  40503  lcm6un  40504  lcm7un  40505  lcm8un  40506  lcmineqlem19  40533  lcmineqlem22  40536
  Copyright terms: Public domain W3C validator