Theorem lcmfunnnd 39948

Description: Useful equation to calculate the least common multiple of 1 to n. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lcmfunnnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunnnd	⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfunnnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 10901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	8	eleq2i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
10	7, 9	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
11		1m1e0 11975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
12	11	fveq2i 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
13	12	eleq2i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0)))
15	10, 14	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
16		1z 12280	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
17		fzsuc2 13243	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
18	16, 17	mpan 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
20	5, 19	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
21	4	sneqd 4570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
22	21	uneq2d 4093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
23	20, 22	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
24	23	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})))
25		fzssz 13187	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ)
27		fzfi 13620	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
29		nnz 12272	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
30	1, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
31	26, 28, 30	3jca 1126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		lcmfunsn 16277	. . 3 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
33	31, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
34	24, 33	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168   lcm clcm 16221  lcmclcmf 16222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-lcm 16223  df-lcmf 16224

This theorem is referenced by:  lcm1un  39949  lcm2un  39950  lcm3un  39951  lcm4un  39952  lcm5un  39953  lcm6un  39954  lcm7un  39955  lcm8un  39956  lcmineqlem19  39983  lcmineqlem22  39986