Theorem lcmfunnnd 42301

Description: Useful equation to calculate the least common multiple of 1 to n. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lcmfunnnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunnnd	⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfunnnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 11498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6		nnm1nn0 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 12791	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	8	eleq2i 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
10	7, 9	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
11		1m1e0 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
12	11	fveq2i 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
13	12	eleq2i 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0)))
15	10, 14	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
16		1z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
17		fzsuc2 13500	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
18	16, 17	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
20	5, 19	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
21	4	sneqd 4591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
22	21	uneq2d 4119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
23	20, 22	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
24	23	fveq2d 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})))
25		fzssz 13444	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ)
27		fzfi 13897	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
29		nnz 12511	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
30	1, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
31	26, 28, 30	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		lcmfunsn 16573	. . 3 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
33	31, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
34	24, 33	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900  {csn 4579  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11366  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425   lcm clcm 16517  lcmclcmf 16518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-prod 15829  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-lcm 16519  df-lcmf 16520

This theorem is referenced by:  lcm1un  42302  lcm2un  42303  lcm3un  42304  lcm4un  42305  lcm5un  42306  lcm6un  42307  lcm7un  42308  lcm8un  42309  lcmineqlem19  42336  lcmineqlem22  42339