Theorem lcmfunnnd 42512

Description: Useful equation to calculate the least common multiple of 1 to n. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lcmfunnnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunnnd	⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfunnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfunnnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 11504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6		nnm1nn0 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 12821	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	8	eleq2i 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
10	7, 9	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
11		1m1e0 12248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
12	11	fveq2i 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
13	12	eleq2i 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0)))
15	10, 14	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
16		1z 12552	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
17		fzsuc2 13531	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
18	16, 17	mpan 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
20	5, 19	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
21	4	sneqd 4570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
22	21	uneq2d 4101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
23	20, 22	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
24	23	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})))
25		fzssz 13475	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ)
27		fzfi 13929	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
29		nnz 12540	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
30	1, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
31	26, 28, 30	3jca 1135	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		lcmfunsn 16608	. . 3 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℤ ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
33	31, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘((1...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁})) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))
34	24, 33	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) = ((lcm‘(1...(𝑁 − 1))) lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∪ cun 3883   ⊆ wss 3885  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   − cmin 11372  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456   lcm clcm 16552  lcmclcmf 16553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-prod 15864  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-lcm 16554  df-lcmf 16555

This theorem is referenced by:  lcm1un  42513  lcm2un  42514  lcm3un  42515  lcm4un  42516  lcm5un  42517  lcm6un  42518  lcm7un  42519  lcm8un  42520  lcmineqlem19  42547  lcmineqlem22  42550