Theorem ppiprm 27212

Description: The prime-counting function π at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppiprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...𝐴) ∈ Fin)
2		inss1 4258	. . . 4 ⊢ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)
3		ssfi 9240	. . . 4 ⊢ (((2...𝐴) ∈ Fin ∧ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5		zre 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ltp1d 12225	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
8		peano2z 12684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
10	9	zred 12747	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
11	6, 10	ltnled 11437	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
13		elinel1 4224	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴))
14		elfzle2 13588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
16	12, 15	nsyl 140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
17		ovex 7481	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ V
18		hashunsng 14441	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ V → ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1)))
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
20	4, 16, 19	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
21		ppival2 27189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
22	9, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
23		2z 12675	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		zcn 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		pncan 11542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
28	25, 26, 27	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
29		prmuz2 16743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℙ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
31		uz2m1nn 12988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
33	28, 32	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
34		nnuz 12946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35		2m1e1 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
36	35	fveq2i 6923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
37	34, 36	eqtr4i 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
38	33, 37	eleqtrdi 2854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
39		fzsuc2 13642	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
40	23, 38, 39	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
41	40	ineq1d 4240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ))
42		indir 4305	. . . . . 6 ⊢ (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ))
43	41, 42	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)))
44		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
45	44	snssd 4834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → {(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ)
46		dfss2 3994	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ ↔ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
47	45, 46	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
48	47	uneq2d 4191	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
49	43, 48	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
50	49	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
51	22, 50	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
52		ppival2 27189	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
53	52	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
54	53	oveq1d 7463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((π‘𝐴) + 1) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
55	20, 51, 54	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π‘𝐴) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ♯chash 14379  ℙcprime 16718  πcppi 27155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-ppi 27161

This theorem is referenced by:  ppip1le  27222  ppi1i  27229  bposlem5  27350