Theorem ppiprm 26205

Description: The prime-counting function π at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppiprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13621	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...𝐴) ∈ Fin)
2		inss1 4159	. . . 4 ⊢ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)
3		ssfi 8918	. . . 4 ⊢ (((2...𝐴) ∈ Fin ∧ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5		zre 12253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ltp1d 11835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
8		peano2z 12291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
10	9	zred 12355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
11	6, 10	ltnled 11052	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
13		elinel1 4125	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴))
14		elfzle2 13189	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
16	12, 15	nsyl 140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
17		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ V
18		hashunsng 14035	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ V → ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1)))
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
20	4, 16, 19	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
21		ppival2 26182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
22	9, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
23		2z 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		zcn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		pncan 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
28	25, 26, 27	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
29		prmuz2 16329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℙ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
31		uz2m1nn 12592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
33	28, 32	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
34		nnuz 12550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35		2m1e1 12029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
36	35	fveq2i 6759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
37	34, 36	eqtr4i 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
38	33, 37	eleqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
39		fzsuc2 13243	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
40	23, 38, 39	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
41	40	ineq1d 4142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ))
42		indir 4206	. . . . . 6 ⊢ (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ))
43	41, 42	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)))
44		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
45	44	snssd 4739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → {(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ)
46		df-ss 3900	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ ↔ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
47	45, 46	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
48	47	uneq2d 4093	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
49	43, 48	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
50	49	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
51	22, 50	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
52		ppival2 26182	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
53	52	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
54	53	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((π‘𝐴) + 1) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
55	20, 51, 54	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π‘𝐴) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ♯chash 13972  ℙcprime 16304  πcppi 26148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305  df-ppi 26154

This theorem is referenced by:  ppip1le  26215  ppi1i  26222  bposlem5  26341