MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiprm 27194
Description: The prime-counting function π at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiprm ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppiprm
StepHypRef Expression
1 fzfid 14014 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...𝐴) ∈ Fin)
2 inss1 4237 . . . 4 ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)
3 ssfi 9213 . . . 4 (((2...𝐴) ∈ Fin ∧ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5 zre 12617 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
76ltp1d 12198 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
8 peano2z 12658 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
109zred 12722 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
116, 10ltnled 11408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
127, 11mpbid 232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
13 elinel1 4201 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴))
14 elfzle2 13568 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
1612, 15nsyl 140 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
17 ovex 7464 . . . 4 (𝐴 + 1) ∈ V
18 hashunsng 14431 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1)))
1917, 18ax-mp 5 . . 3 ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
204, 16, 19syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
21 ppival2 27171 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
229, 21syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
23 2z 12649 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
24 zcn 12618 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
27 pncan 11514 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
2825, 26, 27sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
29 prmuz2 16733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + 1) ∈ ℙ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2))
31 uz2m1nn 12965 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
3328, 32eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
34 nnuz 12921 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
35 2m1e1 12392 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
3635fveq2i 6909 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
3734, 36eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
3833, 37eleqtrdi 2851 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
39 fzsuc2 13622 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
4023, 38, 39sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
4140ineq1d 4219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ))
42 indir 4286 . . . . . 6 (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ))
4341, 42eqtrdi 2793 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)))
44 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
4544snssd 4809 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → {(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ)
46 dfss2 3969 . . . . . . 7 ({(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ ↔ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
4745, 46sylib 218 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
4847uneq2d 4168 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
4943, 48eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
5049fveq2d 6910 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
5122, 50eqtrd 2777 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
52 ppival2 27171 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (π𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
5352adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
5453oveq1d 7446 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((π𝐴) + 1) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
5520, 51, 543eqtr4d 2787 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  chash 14369  cprime 16708  πcppi 27137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-ppi 27143
This theorem is referenced by:  ppip1le  27204  ppi1i  27211  bposlem5  27332
  Copyright terms: Public domain W3C validator