Theorem ppiprm 27535

Description: The prime-counting function π at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppiprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...𝐴) ∈ Fin)
2		inss1 4136	. . . 4 ⊢ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)
3		ssfi 9226	. . . 4 ⊢ (((2...𝐴) ∈ Fin ∧ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5		zre 12737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ltp1d 12287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
8		peano2z 12777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
10	9	zred 12843	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
11	6, 10	ltnled 11496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
13		elinel1 4101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴))
14		elfzle2 13701	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
16	12, 15	nsyl 141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
17		ovex 7484	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ V
18		hashunsng 14577	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ V → ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1)))
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
20	4, 16, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
21		ppival2 27512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
22	9, 21	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
23		2z 12768	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		zcn 12738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		pncan 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
28	25, 26, 27	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
29		prmuz2 16915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℙ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
31		uz2m1nn 13090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
33	28, 32	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
34		nnuz 13044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35		2m1e1 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
36	35	fveq2i 6919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
37	34, 36	eqtr4i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
38	33, 37	eleqtrdi 2874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
39		fzsuc2 13756	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
40	23, 38, 39	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
41	40	ineq1d 4119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ))
42		indir 4234	. . . . . 6 ⊢ (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ))
43	41, 42	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)))
44		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
45	44	snssd 4749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → {(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ)
46		dfss2 4097	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ ↔ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
47	45, 46	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
48	47	uneq2d 4170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
49	43, 48	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
50	49	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
51	22, 50	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
52		ppival2 27512	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
53	52	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
54	53	oveq1d 7466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((π‘𝐴) + 1) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
55	20, 51, 54	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π‘𝐴) + 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  ℂcc 11237  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  ♯chash 14515  ℙcprime 16890  πcppi 27478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891  df-ppi 27484

This theorem is used by:  ppip1le  27545  ppi1i  27552  bposlem5  27672