Theorem ppiprm 27280

Description: The prime-counting function π at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppiprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14008	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...𝐴) ∈ Fin)
2		inss1 4197	. . . 4 ⊢ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)
3		ssfi 9156	. . . 4 ⊢ (((2...𝐴) ∈ Fin ∧ ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝐴)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5		zre 12594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ltp1d 12144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
8		peano2z 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
9	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
10	9	zred 12699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
11	6, 10	ltnled 11356	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
13		elinel1 4162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴))
14		elfzle2 13555	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
16	12, 15	nsyl 141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
17		ovex 7444	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ V
18		hashunsng 14427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ V → ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1)))
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
20	4, 16, 19	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
21		ppival2 27257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
22	9, 21	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
23		2z 12625	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		zcn 12595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		pncan 11462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
28	25, 26, 27	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
29		prmuz2 16753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℙ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
31		uz2m1nn 12946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
33	28, 32	eqeltrrd 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
34		nnuz 12900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35		2m1e1 12364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
36	35	fveq2i 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
37	34, 36	eqtr4i 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
38	33, 37	eleqtrdi 2879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
39		fzsuc2 13609	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
40	23, 38, 39	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
41	40	ineq1d 4180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ))
42		indir 4247	. . . . . 6 ⊢ (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ))
43	41, 42	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)))
44		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
45	44	snssd 4757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → {(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ)
46		dfss2 3931	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ ↔ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
47	45, 46	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
48	47	uneq2d 4130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
49	43, 48	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
50	49	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
51	22, 50	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘(((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)})))
52		ppival2 27257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
53	52	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
54	53	oveq1d 7426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((π‘𝐴) + 1) = ((♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)) + 1))
55	20, 51, 54	3eqtr4d 2814	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = ((π‘𝐴) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℂcc 11097  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  ℕcn 12232  2c2 12294  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ♯chash 14365  ℙcprime 16728  πcppi 27223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-prm 16729  df-ppi 27229

This theorem is referenced by:  ppip1le  27290  ppi1i  27297  bposlem5  27417