Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gbegt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gbegt5 46429
Description: Any even Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gbegt5 (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbegt5
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbe 46419 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2 oddprmuzge3 46384 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
32ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
4 oddprmuzge3 46384 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
54ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
6 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝))
7 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞))
8 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
9 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
10 3re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 ∈ ℝ
1110, 10pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
12 pm3.22 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
13 le2add 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
1411, 12, 13sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
1514ancomsd 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
16 3p3e6 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 + 3) = 6
1716breq1i 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
18 5lt6 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 < 6
19 5re 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 5 ∈ ℝ)
21 6re 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 6 ∈ ℝ)
23 readdcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
2423ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
25 ltletr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2620, 22, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2718, 26mpani 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2817, 27biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2915, 28syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
308, 9, 29syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
3130ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3433exp4b 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑞 → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))))
35343imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3635com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑝 → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3736imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
38373adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
397, 38biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
406, 39sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4140imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
423, 5, 41syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
4342an4s 659 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
4443ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
45443adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4645impcom 409 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
47 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
48473ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4948adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
5046, 49mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
5150ex 414 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
5251a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍)))
5352rexlimdvv 3211 . . 3 (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
5453imp 408 . 2 ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
551, 54sylbi 216 1 (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  3c3 12268  5c5 12270  6c6 12271  cz 12558  cuz 12822  cprime 16608   Even ceven 46292   Odd codd 46293   GoldbachEven cgbe 46413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-even 46294  df-odd 46295  df-gbe 46416
This theorem is referenced by:  gbege6  46433
  Copyright terms: Public domain W3C validator