Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gbegt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gbegt5 46199
Description: Any even Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gbegt5 (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbegt5
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbe 46189 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2 oddprmuzge3 46154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
32ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
4 oddprmuzge3 46154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
54ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
6 eluz2 12810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝))
7 eluz2 12810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞))
8 zre 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
9 zre 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
10 3re 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 ∈ ℝ
1110, 10pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
12 pm3.22 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
13 le2add 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
1411, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
1514ancomsd 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
16 3p3e6 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 + 3) = 6
1716breq1i 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
18 5lt6 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 < 6
19 5re 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 5 ∈ ℝ)
21 6re 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 6 ∈ ℝ)
23 readdcl 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
2423ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
25 ltletr 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2620, 22, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2718, 26mpani 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2817, 27biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2915, 28syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
308, 9, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
3130ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3433exp4b 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑞 → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))))
35343imp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3635com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑝 → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3736imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
38373adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
397, 38biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
406, 39sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4140imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
423, 5, 41syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
4342an4s 658 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
4443ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
45443adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4645impcom 408 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
47 breq2 5145 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
48473ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4948adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
5046, 49mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
5150ex 413 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
5251a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍)))
5352rexlimdvv 3209 . . 3 (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
5453imp 407 . 2 ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
551, 54sylbi 216 1 (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3069   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  cr 11091   + caddc 11095   < clt 11230  cle 11231  3c3 12250  5c5 12252  6c6 12253  cz 12540  cuz 12804  cprime 16590   Even ceven 46062   Odd codd 46063   GoldbachEven cgbe 46183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-prm 16591  df-even 46064  df-odd 46065  df-gbe 46186
This theorem is referenced by:  gbege6  46203
  Copyright terms: Public domain W3C validator