Theorem gbegt5 48249

Description: Any even Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbegt5	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbegt5

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 48239	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2		oddprmuzge3 48204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘3))
3	2	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘3))
4		oddprmuzge3 48204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3))
5	4	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluz2 12785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝))
7		eluz2 12785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞))
8		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
9		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
10		3re 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10, 10	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
12		pm3.22 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
13		le2add 11623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
14	11, 12, 13	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
15	14	ancomsd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
16		3p3e6 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	breq1i 5093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
18		5lt6 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 5 < 6
19		5re 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 5 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 5 ∈ ℝ)
21		6re 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 6 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 6 ∈ ℝ)
23		readdcl 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
24	23	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
25		ltletr 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
26	20, 22, 24, 25	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
27	18, 26	mpani 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
28	17, 27	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
29	15, 28	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
30	8, 9, 29	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
31	30	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
33	32	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
34	33	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑞 → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))))
35	34	3imp 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
36	35	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑝 → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
37	36	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
38	37	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
39	7, 38	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
40	6, 39	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
41	40	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
42	3, 5, 41	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
43	42	an4s 661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
44	43	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
45	44	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
46	45	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
47		breq2 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
48	47	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
50	46, 49	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
51	50	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍)))
53	52	rexlimdvv 3194	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
54	53	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
55	1, 54	sylbi 217	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  3c3 12228  5c5 12230  6c6 12231  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℙcprime 16631   Even ceven 48112   Odd codd 48113   GoldbachEven cgbe 48233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632  df-even 48114  df-odd 48115  df-gbe 48236

This theorem is referenced by:  gbege6  48253