Theorem gbegt5 49132

Description: Any even Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbegt5	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbegt5

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 49122	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2		oddprmuzge3 49087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘3))
3	2	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘3))
4		oddprmuzge3 49087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3))
5	4	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluz2 13011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝))
7		eluz2 13011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞))
8		zre 12737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
9		zre 12737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
10		3re 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10, 10	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
12		pm3.22 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
13		le2add 11838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
14	11, 12, 13	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
15	14	ancomsd 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
16		3p3e6 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	breq1i 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
18		5lt6 12566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 5 < 6
19		5re 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 5 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 5 ∈ ℝ)
21		6re 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 6 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 6 ∈ ℝ)
23		readdcl 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
24	23	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
25		ltletr 11441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
26	20, 22, 24, 25	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
27	18, 26	mpani 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
28	17, 27	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
29	15, 28	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
30	8, 9, 29	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
31	30	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
33	32	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
34	33	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑞 → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))))
35	34	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
36	35	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑝 → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
37	36	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
38	37	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
39	7, 38	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
40	6, 39	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
41	40	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
42	3, 5, 41	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
43	42	an4s 673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
44	43	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
45	44	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
46	45	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
47		breq2 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
48	47	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
49	48	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
50	46, 49	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
51	50	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍)))
53	52	rexlimdvv 3222	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
54	53	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
55	1, 54	sylbi 220	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383  3c3 12438  5c5 12440  6c6 12441  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ℙcprime 16890   Even ceven 48995   Odd codd 48996   GoldbachEven cgbe 49116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891  df-even 48997  df-odd 48998  df-gbe 49119

This theorem is used by:  gbege6  49136