MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasdsval2 16778
Description: The distance function of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasbas.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasbas.r (𝜑𝑅𝑍)
imasds.e 𝐸 = (dist‘𝑅)
imasds.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasdsval.x (𝜑𝑋𝐵)
imasdsval.y (𝜑𝑌𝐵)
imasdsval.s 𝑆 = { ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(‘1))) = 𝑋 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑛))) = 𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(‘(𝑖 + 1)))))}
imasds.u 𝑇 = (𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasdsval2 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑖,𝑛,𝐹   𝑅,𝑔,,𝑖,𝑛   𝜑,𝑔,,𝑖,𝑛   ,𝑋,𝑛   𝑆,𝑔   𝑔,𝑉,   ,𝑌,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝑆(,𝑖,𝑛)   𝑇(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝑈(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝑉(𝑖,𝑛)   𝑋(𝑔,𝑖)   𝑌(𝑔,𝑖)   𝑍(𝑔,,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem imasdsval2
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasbas.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasbas.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasds.e . . 3 𝐸 = (dist‘𝑅)
6 imasds.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑈)
7 imasdsval.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 imasdsval.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
9 imasdsval.s . . 3 𝑆 = { ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(‘1))) = 𝑋 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑛))) = 𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(‘(𝑖 + 1)))))}
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasdsval 16777 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔))), ℝ*, < ))
11 imasds.u . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉))
1211coeq1i 5711 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑔) = ((𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∘ 𝑔)
139ssrab3 4041 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛))
1413sseli 3947 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑆𝑔 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)))
15 elmapi 8411 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) → 𝑔:(1...𝑛)⟶(𝑉 × 𝑉))
16 frn 6501 . . . . . . . . . 10 (𝑔:(1...𝑛)⟶(𝑉 × 𝑉) → ran 𝑔 ⊆ (𝑉 × 𝑉))
17 cores 6083 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑔 ⊆ (𝑉 × 𝑉) → ((𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∘ 𝑔) = (𝐸𝑔))
1814, 15, 16, 174syl 19 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑆 → ((𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∘ 𝑔) = (𝐸𝑔))
1912, 18syl5eq 2871 . . . . . . . 8 (𝑔𝑆 → (𝑇𝑔) = (𝐸𝑔))
2019oveq2d 7154 . . . . . . 7 (𝑔𝑆 → (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔)) = (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔)))
2120mpteq2ia 5138 . . . . . 6 (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))) = (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔)))
2221rneqi 5788 . . . . 5 ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))) = ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔)))
2322a1i 11 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))) = ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔))))
2423iuneq2i 4921 . . 3 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))) = 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔)))
2524infeq1i 8926 . 2 inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))), ℝ*, < ) = inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔))), ℝ*, < )
2610, 25syl6eqr 2877 1 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  {crab 3136  wss 3918   ciun 4900  cmpt 5127   × cxp 5534  ran crn 5537  cres 5538  ccom 5540  wf 6332  ontowfo 6334  cfv 6336  (class class class)co 7138  1st c1st 7670  2nd c2nd 7671  m cmap 8389  infcinf 8889  1c1 10523   + caddc 10525  *cxr 10659   < clt 10660  cmin 10855  cn 11623  ...cfz 12883  Basecbs 16472  distcds 16563   Σg cgsu 16703  *𝑠cxrs 16762  s cimas 16766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-imas 16770
This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  22969
  Copyright terms: Public domain W3C validator