MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasdsval2 17497
Description: The distance function of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasbas.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasbas.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasbas.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasds.e 𝐸 = (distβ€˜π‘…)
imasds.d 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
imasdsval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
imasdsval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
imasdsval.s 𝑆 = {β„Ž ∈ ((𝑉 Γ— 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((πΉβ€˜(1st β€˜(β„Žβ€˜1))) = 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘›))) = π‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑛 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜(1st β€˜(β„Žβ€˜(𝑖 + 1)))))}
imasds.u 𝑇 = (𝐸 β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasdsval2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) = inf(βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛,𝐹   𝑅,𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛   πœ‘,𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛   β„Ž,𝑋,𝑛   𝑆,𝑔   𝑔,𝑉,β„Ž   β„Ž,π‘Œ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛)   𝑆(β„Ž,𝑖,𝑛)   𝑇(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛)   π‘ˆ(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛)   𝑉(𝑖,𝑛)   𝑋(𝑔,𝑖)   π‘Œ(𝑔,𝑖)   𝑍(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem imasdsval2
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasbas.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imasbas.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 imasds.e . . 3 𝐸 = (distβ€˜π‘…)
6 imasds.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
7 imasdsval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 imasdsval.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 imasdsval.s . . 3 𝑆 = {β„Ž ∈ ((𝑉 Γ— 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((πΉβ€˜(1st β€˜(β„Žβ€˜1))) = 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘›))) = π‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑛 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜(1st β€˜(β„Žβ€˜(𝑖 + 1)))))}
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasdsval 17496 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) = inf(βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝐸 ∘ 𝑔))), ℝ*, < ))
11 imasds.u . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐸 β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
1211coeq1i 5856 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∘ 𝑔) = ((𝐸 β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∘ 𝑔)
139ssrab3 4072 . . . . . . . . . . 11 𝑆 βŠ† ((𝑉 Γ— 𝑉) ↑m (1...𝑛))
1413sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝑆 β†’ 𝑔 ∈ ((𝑉 Γ— 𝑉) ↑m (1...𝑛)))
15 elmapi 8866 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ ((𝑉 Γ— 𝑉) ↑m (1...𝑛)) β†’ 𝑔:(1...𝑛)⟢(𝑉 Γ— 𝑉))
16 frn 6724 . . . . . . . . . 10 (𝑔:(1...𝑛)⟢(𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ran 𝑔 βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉))
17 cores 6248 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑔 βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ((𝐸 β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∘ 𝑔) = (𝐸 ∘ 𝑔))
1814, 15, 16, 174syl 19 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ 𝑆 β†’ ((𝐸 β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∘ 𝑔) = (𝐸 ∘ 𝑔))
1912, 18eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝑆 β†’ (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝐸 ∘ 𝑔))
2019oveq2d 7432 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ 𝑆 β†’ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔)) = (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝐸 ∘ 𝑔)))
2120mpteq2ia 5246 . . . . . 6 (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))) = (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝐸 ∘ 𝑔)))
2221rneqi 5933 . . . . 5 ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))) = ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝐸 ∘ 𝑔)))
2322a1i 11 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))) = ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝐸 ∘ 𝑔))))
2423iuneq2i 5012 . . 3 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝐸 ∘ 𝑔)))
2524infeq1i 9501 . 2 inf(βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))), ℝ*, < ) = inf(βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝐸 ∘ 𝑔))), ℝ*, < )
2610, 25eqtr4di 2783 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) = inf(βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ran (𝑔 ∈ 𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419   βŠ† wss 3939  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1st c1st 7989  2nd c2nd 7990   ↑m cmap 8843  infcinf 9464  1c1 11139   + caddc 11141  β„*cxr 11277   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  ...cfz 13516  Basecbs 17179  distcds 17241   Ξ£g cgsu 17421  β„*𝑠cxrs 17481   β€œs cimas 17485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-imas 17489
This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  24297
  Copyright terms: Public domain W3C validator