MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasrngf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasrngf1 20125
Description: The image of a non-unital ring under an injection is a non-unital ring (imasmndf1 18740 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
imasrngf1.u 𝑈 = (𝐹s 𝑅)
imasrngf1.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
imasrngf1 ((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Proof of Theorem imasrngf1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasrngf1.u . . 3 𝑈 = (𝐹s 𝑅)
21a1i 11 . 2 ((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
3 imasrngf1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 ((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5 eqid 2728 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6 eqid 2728 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 f1f1orn 6855 . . . 4 (𝐹:𝑉1-1𝐵𝐹:𝑉1-1-onto→ran 𝐹)
87adantr 479 . . 3 ((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉1-1-onto→ran 𝐹)
9 f1ofo 6851 . . 3 (𝐹:𝑉1-1-onto→ran 𝐹𝐹:𝑉onto→ran 𝐹)
108, 9syl 17 . 2 ((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉onto→ran 𝐹)
118f1ocpbl 17514 . 2 (((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g𝑅)𝑞))))
128f1ocpbl 17514 . 2 (((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))))
13 simpr 483 . 2 ((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) → 𝑅 ∈ Rng)
142, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13imasrng 20124 1 ((𝐹:𝑉1-1𝐵𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ran crn 5683  1-1wf1 6550  ontowfo 6551  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  s cimas 17493  Rngcrng 20099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-0g 17430  df-imas 17497  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100
This theorem is referenced by:  xpsrngd  20126
  Copyright terms: Public domain W3C validator