Theorem indsumhash 15833

Description: The finite sum of the indicator function is the number of elements of the corresponding subset. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indsumhash.f	⊢ 1 = ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indsumhash	⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = (♯‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑂

Allowed substitution hint:   1 (𝑘)

Proof of Theorem indsumhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indsumhash.f	. . . . . 6 ⊢ 1 = ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)
2	1	fveq1i 6857	. . . . 5 ⊢ ( 1 ‘𝑘) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘)
3		fvindre 12193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
5	4	mulridd 11189	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘))
6	2, 5	eqtr4id 2810	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ( 1 ‘𝑘) = ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
7	6	ralrimiva 3148	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ∀𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
8	7	sumeq2d 15704	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
9		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ Fin)
10		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
11		1cnd 11165	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → 1 ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	indsum 15832	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 1)
13		ssfi 9130	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ Fin)
14		fsumconst1 15794	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = (♯‘𝐴))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = (♯‘𝐴))
16	8, 12, 15	3eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Fincfn 8916  1c1 11064   · cmul 11068  𝟭cind 12185  ♯chash 14333  Σcsu 15689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-ind 12186  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-sum 15690

This theorem is referenced by:  ppivalnn  48189