Theorem indsumhash 15790

Description: The finite sum of the indicator function is the number of elements of the corresponding subset. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indsumhash.f	⊢ 1 = ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indsumhash	⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = (♯‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑂

Allowed substitution hint:   1 (𝑘)

Proof of Theorem indsumhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indsumhash.f	. . . . . 6 ⊢ 1 = ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)
2	1	fveq1i 6835	. . . . 5 ⊢ ( 1 ‘𝑘) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘)
3		fvindre 12165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
5	4	mulridd 11160	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘))
6	2, 5	eqtr4id 2794	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ( 1 ‘𝑘) = ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
7	6	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ∀𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
8	7	sumeq2d 15661	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
9		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ Fin)
10		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
11		1cnd 11137	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → 1 ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	indsum 15789	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 1)
13		ssfi 9104	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ Fin)
14		fsumconst1 15751	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = (♯‘𝐴))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = (♯‘𝐴))
16	8, 12, 15	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  1c1 11037   · cmul 11041  𝟭cind 12157  ♯chash 14290  Σcsu 15646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-ind 12158  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647

This theorem is referenced by:  ppivalnn  48111