Theorem indsumhash 15964

Description: The finite sum of the indicator function is the number of elements of the corresponding subset. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indsumhash.f	⊢ 1 = ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indsumhash	⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = (♯‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑂

Allowed substitution hint:   1 (𝑘)

Proof of Theorem indsumhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indsumhash.f	. . . . . 6 ⊢ 1 = ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)
2	1	fveq1i 6874	. . . . 5 ⊢ ( 1 ‘𝑘) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘)
3		fvindre 12298	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11309	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
5	4	mulridd 11298	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘))
6	2, 5	eqtr4id 2814	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ( 1 ‘𝑘) = ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
7	6	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ∀𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
8	7	sumeq2d 15836	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
9		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ Fin)
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
11		1cnd 11274	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → 1 ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	indsum 15963	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 1)
13		ssfi 9166	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ Fin)
14		fsumconst1 15925	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = (♯‘𝐴))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = (♯‘𝐴))
16	8, 12, 15	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  1c1 11173   · cmul 11177  𝟭cind 12290  ♯chash 14442  Σcsu 15821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-ind 12291  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-clim 15623  df-sum 15822

This theorem is used by:  ppivalnn  48639