Theorem indsumhash 16025

Description: The finite sum of the indicator function is the number of elements of the corresponding subset. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indsumhash.f	⊢ 1 = ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indsumhash	⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = (♯‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑂

Allowed substitution hint:   1 (𝑘)

Proof of Theorem indsumhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indsumhash.f	. . . . . 6 ⊢ 1 = ((𝟭‘𝑂)‘𝐴)
2	1	fveq1i 6909	. . . . 5 ⊢ ( 1 ‘𝑘) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘)
3		fvindre 12355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11364	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
5	4	mulridd 11353	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘))
6	2, 5	eqtr4id 2817	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ( 1 ‘𝑘) = ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
7	6	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ∀𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
8	7	sumeq2d 15897	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1))
9		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ Fin)
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
11		1cnd 11329	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → 1 ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	indsum 16024	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑘) · 1) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 1)
13		ssfi 9216	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ Fin)
14		fsumconst1 15986	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = (♯‘𝐴))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = (♯‘𝐴))
16	8, 12, 15	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → Σ𝑘 ∈ 𝑂 ( 1 ‘𝑘) = (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  1c1 11228   · cmul 11232  𝟭cind 12347  ♯chash 14501  Σcsu 15882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-ind 12348  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883

This theorem is used by:  ppivalnn  48922