Theorem ppivalnn 48537

Description: Value of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, see statement in [Ribenboim], p. 181. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem ppivalnn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12977	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		ppi1sum 48536	. . . 4 ⊢ (π‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
3		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = (π‘1))
4		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = (2...1))
5		1lt2 12440	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
6		2z 12653	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1z 12651	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzn 13596	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
10	5, 9	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
11	4, 10	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = ∅)
12	11	sumeq1d 15789	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
13	2, 3, 12	3eqtr4a 2823	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
14		fzfid 14039	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2...𝑁) ∈ Fin)
15		inss1 4185	. . . . 5 ⊢ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))
17	16	indsumhash 15918	. . . . 5 ⊢ (((2...𝑁) ∈ Fin ∧ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
18	14, 15, 17	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
19		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (2...𝑁) = (2...𝑁)
20	19	indprmfz 48535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = (𝑛 ∈ (2...𝑁) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))))
21		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 − 1)) = (!‘(𝑘 − 1)))
22	21	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) + 1) = ((!‘(𝑘 − 1)) + 1))
23		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
24	22, 23	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) = (((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘))
25	21, 23	oveq12d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛) = ((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))
26	25	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)) = (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))
27	24, 26	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛))) = ((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
28	27	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
29		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → 𝑘 ∈ (2...𝑁))
30		fvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) ∈ V)
31	20, 28, 29, 30	fvmptd3 7014	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
32	31	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
33	32	sumeq2dv 15791	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
34		eluzelz 12900	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		ppival2 27365	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
37	18, 33, 36	3eqtr4rd 2808	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
38	13, 37	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
39	1, 38	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   − cmin 11468   / cdiv 11898  𝟭cind 12245  ℕcn 12260  2c2 12322  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563  ⌊cfl 13853  !cfa 14339  ♯chash 14396  Σcsu 15775  ℙcprime 16765  πcppi 27331

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-ind 12246  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-phi 16861  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-cring 20379  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-cnfld 21590  df-ppi 27337

This theorem is used by: (None)