Theorem ppivalnn 48351

Description: Value of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, see statement in [Ribenboim], p. 181. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem ppivalnn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12948	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		ppi1sum 48350	. . . 4 ⊢ (π‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
3		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = (π‘1))
4		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = (2...1))
5		1lt2 12412	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
6		2z 12625	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1z 12623	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzn 13567	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
9	6, 7, 8	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
10	5, 9	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
11	4, 10	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = ∅)
12	11	sumeq1d 15751	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
13	2, 3, 12	3eqtr4a 2822	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
14		fzfid 14009	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2...𝑁) ∈ Fin)
15		inss1 4188	. . . . 5 ⊢ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))
17	16	indsumhash 15881	. . . . 5 ⊢ (((2...𝑁) ∈ Fin ∧ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
18	14, 15, 17	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (2...𝑁) = (2...𝑁)
20	19	indprmfz 48349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = (𝑛 ∈ (2...𝑁) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))))
21		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 − 1)) = (!‘(𝑘 − 1)))
22	21	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) + 1) = ((!‘(𝑘 − 1)) + 1))
23		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
24	22, 23	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) = (((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘))
25	21, 23	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛) = ((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))
26	25	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)) = (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))
27	24, 26	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛))) = ((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
28	27	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
29		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → 𝑘 ∈ (2...𝑁))
30		fvexd 6896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) ∈ V)
31	20, 28, 29, 30	fvmptd3 7013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
32	31	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
33	32	sumeq2dv 15753	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
34		eluzelz 12871	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		ppival2 27268	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
37	18, 33, 36	3eqtr4rd 2807	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
38	13, 37	jaoi 870	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
39	1, 38	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242   − cmin 11440   / cdiv 11870  𝟭cind 12217  ℕcn 12232  2c2 12294  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ⌊cfl 13823  !cfa 14309  ♯chash 14366  Σcsu 15737  ℙcprime 16728  πcppi 27234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-ind 12218  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-phi 16824  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-cnfld 21502  df-ppi 27240

This theorem is referenced by: (None)