Theorem ppivalnn 48089

Description: Value of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, see statement in [Ribenboim], p. 181. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem ppivalnn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12875	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		ppi1sum 48088	. . . 4 ⊢ (π‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
3		fveq2 6841	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = (π‘1))
4		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = (2...1))
5		1lt2 12347	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
6		2z 12559	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1z 12557	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzn 13494	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
9	6, 7, 8	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
10	5, 9	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
11	4, 10	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = ∅)
12	11	sumeq1d 15662	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
13	2, 3, 12	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
14		fzfid 13935	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2...𝑁) ∈ Fin)
15		inss1 4178	. . . . 5 ⊢ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))
17	16	indsumhash 15792	. . . . 5 ⊢ (((2...𝑁) ∈ Fin ∧ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
18	14, 15, 17	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (2...𝑁) = (2...𝑁)
20	19	indprmfz 48087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = (𝑛 ∈ (2...𝑁) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))))
21		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 − 1)) = (!‘(𝑘 − 1)))
22	21	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) + 1) = ((!‘(𝑘 − 1)) + 1))
23		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
24	22, 23	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) = (((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘))
25	21, 23	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛) = ((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))
26	25	fveq2d 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)) = (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))
27	24, 26	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛))) = ((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
28	27	fveq2d 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
29		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → 𝑘 ∈ (2...𝑁))
30		fvexd 6856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) ∈ V)
31	20, 28, 29, 30	fvmptd3 6972	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
32	31	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
33	32	sumeq2dv 15664	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
34		eluzelz 12798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		ppival2 27091	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
37	18, 33, 36	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
38	13, 37	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
39	1, 38	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   − cmin 11377   / cdiv 11807  𝟭cind 12159  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ⌊cfl 13749  !cfa 14235  ♯chash 14292  Σcsu 15648  ℙcprime 16640  πcppi 27057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-phi 16736  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-cnfld 21353  df-ppi 27063

This theorem is referenced by: (None)