Theorem ppivalnn 48092

Description: Value of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, see statement in [Ribenboim], p. 181. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem ppivalnn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12864	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		ppi1sum 48091	. . . 4 ⊢ (π‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
3		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = (π‘1))
4		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = (2...1))
5		1lt2 12336	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
6		2z 12548	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1z 12546	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzn 13483	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
9	6, 7, 8	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
10	5, 9	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
11	4, 10	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = ∅)
12	11	sumeq1d 15651	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
13	2, 3, 12	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
14		fzfid 13924	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2...𝑁) ∈ Fin)
15		inss1 4178	. . . . 5 ⊢ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))
17	16	indsumhash 15781	. . . . 5 ⊢ (((2...𝑁) ∈ Fin ∧ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
18	14, 15, 17	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (2...𝑁) = (2...𝑁)
20	19	indprmfz 48090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = (𝑛 ∈ (2...𝑁) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))))
21		fvoveq1 7381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 − 1)) = (!‘(𝑘 − 1)))
22	21	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) + 1) = ((!‘(𝑘 − 1)) + 1))
23		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
24	22, 23	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) = (((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘))
25	21, 23	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛) = ((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))
26	25	fveq2d 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)) = (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))
27	24, 26	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛))) = ((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
28	27	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
29		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → 𝑘 ∈ (2...𝑁))
30		fvexd 6847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) ∈ V)
31	20, 28, 29, 30	fvmptd3 6963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
32	31	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
33	32	sumeq2dv 15653	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
34		eluzelz 12787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		ppival2 27109	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
37	18, 33, 36	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
38	13, 37	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
39	1, 38	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11168   − cmin 11366   / cdiv 11796  𝟭cind 12148  ℕcn 12163  2c2 12225  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  ⌊cfl 13738  !cfa 14224  ♯chash 14281  Σcsu 15637  ℙcprime 16629  πcppi 27075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-ind 12149  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-dvds 16211  df-gcd 16453  df-prm 16630  df-phi 16725  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-cnfld 21343  df-ppi 27081

This theorem is referenced by: (None)