Theorem ppivalnn 48793

Description: Value of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, see statement in [Ribenboim], p. 181. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem ppivalnn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 13053	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		ppi1sum 48792	. . . 4 ⊢ (π‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
3		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = (π‘1))
4		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = (2...1))
5		1lt2 12516	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
6		2z 12729	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1z 12727	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzn 13674	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
10	5, 9	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
11	4, 10	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2...𝑁) = ∅)
12	11	sumeq1d 15868	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ∅ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
13	2, 3, 12	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
14		fzfid 14117	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2...𝑁) ∈ Fin)
15		inss1 4133	. . . . 5 ⊢ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))
17	16	indsumhash 15997	. . . . 5 ⊢ (((2...𝑁) ∈ Fin ∧ ((2...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (2...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
18	14, 15, 17	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
19		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (2...𝑁) = (2...𝑁)
20	19	indprmfz 48791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ)) = (𝑛 ∈ (2...𝑁) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))))
21		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 − 1)) = (!‘(𝑘 − 1)))
22	21	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) + 1) = ((!‘(𝑘 − 1)) + 1))
23		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
24	22, 23	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) = (((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘))
25	21, 23	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛) = ((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))
26	25	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)) = (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))
27	24, 26	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛))) = ((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘))))
28	27	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (⌊‘((((!‘(𝑛 − 1)) + 1) / 𝑛) − (⌊‘((!‘(𝑛 − 1)) / 𝑛)))) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
29		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → 𝑘 ∈ (2...𝑁))
30		fvexd 6900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) ∈ V)
31	20, 28, 29, 30	fvmptd3 7017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
32	31	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ (2...𝑁)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = (((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
33	32	sumeq2dv 15870	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(((𝟭‘(2...𝑁))‘((2...𝑁) ∩ ℙ))‘𝑘))
34		eluzelz 12976	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		ppival2 27456	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = (♯‘((2...𝑁) ∩ ℙ)))
37	18, 33, 36	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
38	13, 37	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
39	1, 38	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (π‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (2...𝑁)(⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  1c1 11202   + caddc 11204   < clt 11344   − cmin 11542   / cdiv 11974  𝟭cind 12321  ℕcn 12336  2c2 12398  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ...cfz 13640  ⌊cfl 13931  !cfa 14418  ♯chash 14475  Σcsu 15854  ℙcprime 16847  πcppi 27422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280  ax-mulf 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-ind 12322  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-rp 13122  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-prm 16848  df-phi 16944  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-cnfld 21680  df-ppi 27428

This theorem is used by: (None)