Theorem mhplss 21255

Description: Homogeneous polynomials form a linear subspace of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhplss.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhplss.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhplss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhplss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhplss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhplss	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem mhplss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhplss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhplss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mhplss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mhplss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 19703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		mhplss.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	1, 2, 3, 6, 7	mhpsubg 21253	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
12	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
13	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	2, 3, 4	mplsca 21127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
15	14	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16	15	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
17	16	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
18	17	adantrr 713	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
19		simprr 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))
20	1, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 19	mhpvscacl 21254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
21	20	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
22	2	mpllmod 21133	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
23	3, 4, 22	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
24		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
26		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
27		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
28	24, 25, 26, 9, 27	islss4 20139	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
29	23, 28	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
30	8, 21, 29	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108   mPoly cmpl 21019   mHomP cmhp 21229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-mhp 21233

This theorem is referenced by: (None)