Theorem mhplss 22107

Description: Homogeneous polynomials form a linear subspace of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhplss.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhplss.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhplss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhplss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhplss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhplss	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem mhplss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhplss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhplss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mhplss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mhplss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	ringgrpd 20207	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		mhplss.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 5, 6	mhpsubg 22105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
11	2, 3, 4	mplsca 21987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
12	11	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
13	12	eqimsscd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
15	14	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
16		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))
17	1, 2, 8, 9, 10, 15, 16	mhpvscacl 22106	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
18	17	ralrimivva 3189	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
19	2, 3, 4	mpllmodd 21998	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
20		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
22		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
24	20, 21, 22, 8, 23	islss4 20928	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
25	19, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
26	7, 18, 25	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℕ₀cn0 12509  Basecbs 17229  Scalarcsca 17276   ·_𝑠 cvsca 17277  SubGrpcsubg 19107  Ringcrg 20198  LModclmod 20826  LSubSpclss 20897   mPoly cmpl 21880   mHomP cmhp 22081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-hom 17297  df-cco 17298  df-0g 17457  df-prds 17463  df-pws 17465  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-psr 21883  df-mpl 21885  df-mhp 22088

This theorem is referenced by: (None)