Theorem mhplss 22286

Description: Homogeneous polynomials form a linear subspace of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhplss.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhplss.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhplss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhplss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhplss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhplss	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem mhplss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhplss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhplss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mhplss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mhplss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	ringgrpd 20323	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		mhplss.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 5, 6	mhpsubg 22284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
11	2, 3, 4	mplsca 22130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
12	11	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
13	12	eqimsscd 4002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sselda 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
15	14	adantrr 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
16		simprr 784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))
17	1, 2, 8, 9, 10, 15, 16	mhpvscacl 22285	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
18	17	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
19	2, 3, 4	mpllmodd 22142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
20		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
22		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
24	20, 21, 22, 8, 23	islss4 21060	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
25	19, 24	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
26	7, 18, 25	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  SubGrpcsubg 19185  Ringcrg 20314  LModclmod 20958  LSubSpclss 21029   mPoly cmpl 22024   mHomP cmhp 22264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-psr 22027  df-mpl 22029  df-mhp 22267

This theorem is referenced by: (None)