Theorem mhplss 22476

Description: Homogeneous polynomials form a linear subspace of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhplss.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhplss.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhplss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhplss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhplss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhplss	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem mhplss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhplss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhplss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mhplss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mhplss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	ringgrpd 20469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		mhplss.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 5, 6	mhpsubg 22474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
11	2, 3, 4	mplsca 22320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
12	11	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
13	12	eqimsscd 3988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
15	14	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
16		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))
17	1, 2, 8, 9, 10, 15, 16	mhpvscacl 22475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
18	17	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
19	2, 3, 4	mpllmodd 22332	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
24	20, 21, 22, 8, 23	islss4 21237	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
25	19, 24	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
26	7, 18, 25	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  SubGrpcsubg 19330  Ringcrg 20459  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206   mPoly cmpl 22214   mHomP cmhp 22454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-mhp 22457

This theorem is used by: (None)