Theorem isumneg 43372

Description: Negation of a converging sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumneg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumneg.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumneg.3	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
isumneg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumneg.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumneg.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumneg	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 -𝐴 = -Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumneg.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	mulm1d 11477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	2	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐴 = (-1 · 𝐴))
4	3	sumeq2dv 15464	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 -𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (-1 · 𝐴))
5		isumneg.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		isumneg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		isumneg.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
8		isumneg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9		1cnd 11020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10	9	negcld 11369	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
11	5, 6, 7, 1, 8, 10	isummulc2 15523	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (-1 · 𝐴))
12		isumneg.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	mulm1d 11477	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = -Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
14	4, 11, 13	3eqtr2d 2782	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 -𝐴 = -Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  dom cdm 5600  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  1c1 10922   + caddc 10924   · cmul 10926  -cneg 11256  ℤcz 12369  ℤ_≥cuz 12632  seqcseq 13771   ⇝ cli 15242  Σcsu 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-exp 13833  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-clim 15246  df-sum 15447

This theorem is referenced by: (None)