Theorem isumneg 46178

Description: Negation of a converging sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumneg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumneg.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumneg.3	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
isumneg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumneg.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumneg.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumneg	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 -𝐴 = -Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumneg.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	mulm1d 11639	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	2	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐴 = (-1 · 𝐴))
4	3	sumeq2dv 15729	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 -𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (-1 · 𝐴))
5		isumneg.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		isumneg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		isumneg.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
8		isumneg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9		1cnd 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10	9	negcld 11529	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
11	5, 6, 7, 1, 8, 10	isummulc2 15789	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (-1 · 𝐴))
12		isumneg.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	mulm1d 11639	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = -Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
14	4, 11, 13	3eqtr2d 2803	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 -𝐴 = -Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  -cneg 11415  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  seqcseq 14014   ⇝ cli 15511  Σcsu 15713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714

This theorem is referenced by: (None)