Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim1fr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim1fr1 43849
Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim1fr1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)))
clim1fr1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
clim1fr1.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
clim1fr1.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
clim1fr1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12807 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12535 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 nnex 12160 . . . . . 6 β„• ∈ V
43mptex 7174 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ∈ V)
6 1cnd 11151 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7 eqidd 2738 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) = (𝑛 ∈ β„• ↦ 1))
8 eqidd 2738 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 1 = 1)
9 id 22 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10 1cnd 11151 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
117, 8, 9, 10fvmptd 6956 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) = 1)
1211adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) = 1)
131, 2, 5, 6, 12climconst 15426 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ⇝ 1)
14 clim1fr1.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)))
153mptex 7174 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛))) ∈ V
1614, 15eqeltri 2834 . . . 4 𝐹 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
18 clim1fr1.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
20 clim1fr1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
22 nncn 12162 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2322adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
24 clim1fr1.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
2524adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 β‰  0)
26 nnne0 12188 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
2726adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
2819, 21, 23, 25, 27divdiv1d 11963 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))
2928mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))))
3018, 20, 24divcld 11932 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚)
31 divcnv 15739 . . . . 5 ((𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3230, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3329, 32eqbrtrrd 5130 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))) ⇝ 0)
34 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) = (𝑛 ∈ β„• ↦ 1)
35 1cnd 11151 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35fmpti 7061 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1):β„•βŸΆβ„‚
3736a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1):β„•βŸΆβ„‚)
3837ffvelcdmda 7036 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3921, 23mulcld 11176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
4021, 23, 25, 27mulne0d 11808 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) β‰  0)
4119, 39, 40divcld 11932 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)) ∈ β„‚)
4241fmpttd 7064 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))):β„•βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7036 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 oveq2 7366 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 Β· 𝑛) = (𝐴 Β· π‘˜))
4544oveq1d 7373 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) = ((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡))
4645, 44oveq12d 7376 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)) = (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)))
47 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4820adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4947nncnd 12170 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5048, 49mulcld 11176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
5118adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5250, 51addcld 11175 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) ∈ β„‚)
5324adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 β‰  0)
5447nnne0d 12204 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ β‰  0)
5548, 49, 53, 54mulne0d 11808 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) β‰  0)
5652, 50, 55divcld 11932 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
5714, 46, 47, 56fvmptd3 6972 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)))
5850, 51, 50, 55divdird 11970 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) = (((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
5950, 55dividd 11930 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) = 1)
6059oveq1d 7373 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))) = (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
6158, 60eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) = (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
6212eqcomd 2743 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜))
63 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))))
64 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 = π‘˜)
6564oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) = (𝐴 Β· π‘˜))
6665oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)) = (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)))
6751, 50, 55divcld 11932 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
6863, 66, 47, 67fvmptd 6956 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜) = (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)))
6968eqcomd 2743 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜))
7062, 69oveq12d 7376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜)))
7157, 61, 703eqtrd 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜)))
721, 2, 13, 17, 33, 38, 43, 71climadd 15515 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (1 + 0))
73 1p0e1 12278 . 2 (1 + 0) = 1
7472, 73breqtrdi 5147 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   Β· cmul 11057   / cdiv 11813  β„•cn 12154   ⇝ cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372
This theorem is referenced by:  wallispilem5  44317
  Copyright terms: Public domain W3C validator