Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim1fr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim1fr1 44303
Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim1fr1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)))
clim1fr1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
clim1fr1.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
clim1fr1.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
clim1fr1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12861 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12589 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 nnex 12214 . . . . . 6 β„• ∈ V
43mptex 7221 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ∈ V)
6 1cnd 11205 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7 eqidd 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) = (𝑛 ∈ β„• ↦ 1))
8 eqidd 2733 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 1 = 1)
9 id 22 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10 1cnd 11205 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
117, 8, 9, 10fvmptd 7002 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) = 1)
1211adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) = 1)
131, 2, 5, 6, 12climconst 15483 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ⇝ 1)
14 clim1fr1.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)))
153mptex 7221 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛))) ∈ V
1614, 15eqeltri 2829 . . . 4 𝐹 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
18 clim1fr1.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
20 clim1fr1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2120adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
22 nncn 12216 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2322adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
24 clim1fr1.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
2524adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 β‰  0)
26 nnne0 12242 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
2726adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
2819, 21, 23, 25, 27divdiv1d 12017 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))
2928mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))))
3018, 20, 24divcld 11986 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚)
31 divcnv 15795 . . . . 5 ((𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3230, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3329, 32eqbrtrrd 5171 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))) ⇝ 0)
34 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) = (𝑛 ∈ β„• ↦ 1)
35 1cnd 11205 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35fmpti 7108 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1):β„•βŸΆβ„‚
3736a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1):β„•βŸΆβ„‚)
3837ffvelcdmda 7083 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3921, 23mulcld 11230 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
4021, 23, 25, 27mulne0d 11862 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) β‰  0)
4119, 39, 40divcld 11986 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)) ∈ β„‚)
4241fmpttd 7111 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))):β„•βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7083 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 Β· 𝑛) = (𝐴 Β· π‘˜))
4544oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) = ((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡))
4645, 44oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)) = (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)))
47 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4820adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4947nncnd 12224 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5048, 49mulcld 11230 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
5118adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5250, 51addcld 11229 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) ∈ β„‚)
5324adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 β‰  0)
5447nnne0d 12258 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ β‰  0)
5548, 49, 53, 54mulne0d 11862 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) β‰  0)
5652, 50, 55divcld 11986 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
5714, 46, 47, 56fvmptd3 7018 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)))
5850, 51, 50, 55divdird 12024 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) = (((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
5950, 55dividd 11984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) = 1)
6059oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))) = (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
6158, 60eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) = (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
6212eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜))
63 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))))
64 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 = π‘˜)
6564oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) = (𝐴 Β· π‘˜))
6665oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)) = (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)))
6751, 50, 55divcld 11986 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
6863, 66, 47, 67fvmptd 7002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜) = (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)))
6968eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜))
7062, 69oveq12d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜)))
7157, 61, 703eqtrd 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜)))
721, 2, 13, 17, 33, 38, 43, 71climadd 15572 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (1 + 0))
73 1p0e1 12332 . 2 (1 + 0) = 1
7472, 73breqtrdi 5188 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   / cdiv 11867  β„•cn 12208   ⇝ cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429
This theorem is referenced by:  wallispilem5  44771
  Copyright terms: Public domain W3C validator