Theorem clim1fr1 45522

Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim1fr1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
clim1fr1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
clim1fr1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
clim1fr1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
clim1fr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12946	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12674	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		nnex 12299	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	mptex 7260	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V)
6		1cnd 11285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
8		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 1 = 1)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
10		1cnd 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
11	7, 8, 9, 10	fvmptd 7036	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
13	1, 2, 5, 6, 12	climconst 15589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ⇝ 1)
14		clim1fr1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
15	3	mptex 7260	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))) ∈ V
16	14, 15	eqeltri 2840	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
18		clim1fr1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20		clim1fr1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		nncn 12301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24		clim1fr1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
26		nnne0 12327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
28	19, 21, 23, 25, 27	divdiv1d 12101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
29	28	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
30	18, 20, 24	divcld 12070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31		divcnv 15901	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
33	29, 32	eqbrtrrd 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) ⇝ 0)
34		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
35		1cnd 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	fmpti 7146	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ)
38	37	ffvelcdmda 7118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) ∈ ℂ)
39	21, 23	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
40	21, 23, 25, 27	mulne0d 11942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ≠ 0)
41	19, 39, 40	divcld 12070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
45	44	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵))
46	45, 44	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
48	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47	nncnd 12309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
50	48, 49	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
51	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	50, 51	addcld 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) ∈ ℂ)
53	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
54	47	nnne0d 12343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
55	48, 49, 53, 54	mulne0d 11942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
56	52, 50, 55	divcld 12070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
57	14, 46, 47, 56	fvmptd3 7052	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
58	50, 51, 50, 55	divdird 12108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
59	50, 55	dividd 12068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) = 1)
60	59	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
61	58, 60	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
62	12	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘))
63		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
64		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
65	64	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
66	65	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
67	51, 50, 55	divcld 12070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
68	63, 66, 47, 67	fvmptd 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
69	68	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘))
70	62, 69	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
71	57, 61, 70	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
72	1, 2, 13, 17, 33, 38, 43, 71	climadd 15678	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (1 + 0))
73		1p0e1 12417	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
74	72, 73	breqtrdi 5207	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   / cdiv 11947  ℕcn 12293   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535

This theorem is referenced by:  wallispilem5  45990