Theorem clim1fr1 46055

Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim1fr1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
clim1fr1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
clim1fr1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
clim1fr1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
clim1fr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12822	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12553	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		nnex 12175	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	mptex 7173	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V)
6		1cnd 11134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
8		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 1 = 1)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
10		1cnd 11134	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
11	7, 8, 9, 10	fvmptd 6951	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
13	1, 2, 5, 6, 12	climconst 15500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ⇝ 1)
14		clim1fr1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
15	3	mptex 7173	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))) ∈ V
16	14, 15	eqeltri 2833	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
18		clim1fr1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20		clim1fr1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		nncn 12177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24		clim1fr1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
26		nnne0 12206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
28	19, 21, 23, 25, 27	divdiv1d 11957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
29	28	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
30	18, 20, 24	divcld 11926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31		divcnv 15813	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
33	29, 32	eqbrtrrd 5110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) ⇝ 0)
34		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
35		1cnd 11134	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	fmpti 7060	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ)
38	37	ffvelcdmda 7032	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) ∈ ℂ)
39	21, 23	mulcld 11160	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
40	21, 23, 25, 27	mulne0d 11797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ≠ 0)
41	19, 39, 40	divcld 11926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7032	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		oveq2 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
45	44	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵))
46	45, 44	oveq12d 7380	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
48	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47	nncnd 12185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
50	48, 49	mulcld 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
51	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	50, 51	addcld 11159	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) ∈ ℂ)
53	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
54	47	nnne0d 12222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
55	48, 49, 53, 54	mulne0d 11797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
56	52, 50, 55	divcld 11926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
57	14, 46, 47, 56	fvmptd3 6967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
58	50, 51, 50, 55	divdird 11964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
59	50, 55	dividd 11924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) = 1)
60	59	oveq1d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
61	58, 60	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
62	12	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘))
63		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
64		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
65	64	oveq2d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
66	65	oveq2d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
67	51, 50, 55	divcld 11926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
68	63, 66, 47, 67	fvmptd 6951	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
69	68	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘))
70	62, 69	oveq12d 7380	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
71	57, 61, 70	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
72	1, 2, 13, 17, 33, 38, 43, 71	climadd 15589	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (1 + 0))
73		1p0e1 12295	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
74	72, 73	breqtrdi 5127	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   / cdiv 11802  ℕcn 12169   ⇝ cli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446

This theorem is referenced by:  wallispilem5  46521