Theorem clim1fr1 42817

Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim1fr1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
clim1fr1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
clim1fr1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
clim1fr1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
clim1fr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12477	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		nnex 11836	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	mptex 7039	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V)
6		1cnd 10828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
8		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 1 = 1)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
10		1cnd 10828	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
11	7, 8, 9, 10	fvmptd 6825	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
12	11	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
13	1, 2, 5, 6, 12	climconst 15104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ⇝ 1)
14		clim1fr1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
15	3	mptex 7039	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))) ∈ V
16	14, 15	eqeltri 2834	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
18		clim1fr1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20		clim1fr1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		nncn 11838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24		clim1fr1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
25	24	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
26		nnne0 11864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
27	26	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
28	19, 21, 23, 25, 27	divdiv1d 11639	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
29	28	mpteq2dva 5150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
30	18, 20, 24	divcld 11608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31		divcnv 15417	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
33	29, 32	eqbrtrrd 5077	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) ⇝ 0)
34		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
35		1cnd 10828	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	fmpti 6929	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ)
38	37	ffvelrnda 6904	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) ∈ ℂ)
39	21, 23	mulcld 10853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
40	21, 23, 25, 27	mulne0d 11484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ≠ 0)
41	19, 39, 40	divcld 11608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 6932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelrnda 6904	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
45	44	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵))
46	45, 44	oveq12d 7231	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
47		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
48	20	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47	nncnd 11846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
50	48, 49	mulcld 10853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
51	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	50, 51	addcld 10852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) ∈ ℂ)
53	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
54	47	nnne0d 11880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
55	48, 49, 53, 54	mulne0d 11484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
56	52, 50, 55	divcld 11608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
57	14, 46, 47, 56	fvmptd3 6841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
58	50, 51, 50, 55	divdird 11646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
59	50, 55	dividd 11606	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) = 1)
60	59	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
61	58, 60	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
62	12	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘))
63		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
64		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
65	64	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
66	65	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
67	51, 50, 55	divcld 11608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
68	63, 66, 47, 67	fvmptd 6825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
69	68	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘))
70	62, 69	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
71	57, 61, 70	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
72	1, 2, 13, 17, 33, 38, 43, 71	climadd 15193	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (1 + 0))
73		1p0e1 11954	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
74	72, 73	breqtrdi 5094	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   / cdiv 11489  ℕcn 11830   ⇝ cli 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050

This theorem is referenced by:  wallispilem5  43285