Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim1fr1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clim1fr1 44616
Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim1fr1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)))
clim1fr1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
clim1fr1.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
clim1fr1.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
clim1fr1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)
Proof of Theorem clim1fr1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12870 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12598 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 nnex 12223 . . . . . 6 β„• ∈ V
43mptex 7227 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ∈ V)
6 1cnd 11214 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7 eqidd 2732 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) = (𝑛 ∈ β„• ↦ 1))
8 eqidd 2732 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 1 = 1)
9 id 22 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10 1cnd 11214 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
117, 8, 9, 10fvmptd 7005 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) = 1)
1211adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) = 1)
131, 2, 5, 6, 12climconst 15492 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) ⇝ 1)
14 clim1fr1.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)))
153mptex 7227 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛))) ∈ V
1614, 15eqeltri 2828 . . . 4 𝐹 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
18 clim1fr1.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
20 clim1fr1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
22 nncn 12225 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2322adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
24 clim1fr1.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 β‰  0)
26 nnne0 12251 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
2726adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
2819, 21, 23, 25, 27divdiv1d 12026 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))
2928mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))))
3018, 20, 24divcld 11995 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚)
31 divcnv 15804 . . . . 5 ((𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3230, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝐡 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3329, 32eqbrtrrd 5172 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))) ⇝ 0)
34 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1) = (𝑛 ∈ β„• ↦ 1)
35 1cnd 11214 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35fmpti 7113 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ 1):β„•βŸΆβ„‚
3736a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ 1):β„•βŸΆβ„‚)
3837ffvelcdmda 7086 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3921, 23mulcld 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
4021, 23, 25, 27mulne0d 11871 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) β‰  0)
4119, 39, 40divcld 11995 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)) ∈ β„‚)
4241fmpttd 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))):β„•βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7086 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 Β· 𝑛) = (𝐴 Β· π‘˜))
4544oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) = ((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡))
4645, 44oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝐴 Β· 𝑛) + 𝐡) / (𝐴 Β· 𝑛)) = (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)))
47 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4820adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4947nncnd 12233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5048, 49mulcld 11239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
5118adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5250, 51addcld 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) ∈ β„‚)
5324adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 β‰  0)
5447nnne0d 12267 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ β‰  0)
5548, 49, 53, 54mulne0d 11871 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) β‰  0)
5652, 50, 55divcld 11995 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
5714, 46, 47, 56fvmptd3 7021 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)))
5850, 51, 50, 55divdird 12033 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) = (((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
5950, 55dividd 11993 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) = 1)
6059oveq1d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) / (𝐴 Β· π‘˜)) + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))) = (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
6158, 60eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· π‘˜) + 𝐡) / (𝐴 Β· π‘˜)) = (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))))
6212eqcomd 2737 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜))
63 eqidd 2732 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛))))
64 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 = π‘˜)
6564oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) = (𝐴 Β· π‘˜))
6665oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)) = (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)))
6751, 50, 55divcld 11995 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
6863, 66, 47, 67fvmptd 7005 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜) = (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)))
6968eqcomd 2737 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜))
7062, 69oveq12d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (𝐡 / (𝐴 Β· π‘˜))) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜)))
7157, 61, 703eqtrd 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ 1)β€˜π‘˜) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝐡 / (𝐴 Β· 𝑛)))β€˜π‘˜)))
721, 2, 13, 17, 33, 38, 43, 71climadd 15581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (1 + 0))
73 1p0e1 12341 . 2 (1 + 0) = 1
7472, 73breqtrdi 5189 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   / cdiv 11876  β„•cn 12217   ⇝ cli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438
This theorem is referenced by:  wallispilem5  45084
  Copyright terms: Public domain W3C validator