Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim1fr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim1fr1 41744
Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim1fr1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
clim1fr1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
clim1fr1.3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
clim1fr1.4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
clim1fr1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12273 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12005 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 nnex 11636 . . . . . 6 ℕ ∈ V
43mptex 6984 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V)
6 1cnd 10628 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7 eqidd 2825 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
8 eqidd 2825 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 1 = 1)
9 id 22 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
10 1cnd 10628 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
117, 8, 9, 10fvmptd 6770 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
1211adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
131, 2, 5, 6, 12climconst 14893 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ⇝ 1)
14 clim1fr1.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
153mptex 6984 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))) ∈ V
1614, 15eqeltri 2913 . . . 4 𝐹 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
18 clim1fr1.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20 clim1fr1.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 nncn 11638 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2322adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24 clim1fr1.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
26 nnne0 11663 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
2819, 21, 23, 25, 27divdiv1d 11439 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
2928mpteq2dva 5157 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
3018, 20, 24divcld 11408 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31 divcnv 15200 . . . . 5 ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3329, 32eqbrtrrd 5086 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) ⇝ 0)
34 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
35 1cnd 10628 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3634, 35fmpti 6871 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ)
3837ffvelrnda 6846 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) ∈ ℂ)
3921, 23mulcld 10653 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
4021, 23, 25, 27mulne0d 11284 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ≠ 0)
4119, 39, 40divcld 11408 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) ∈ ℂ)
4241fmpttd 6874 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))):ℕ⟶ℂ)
4342ffvelrnda 6846 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
44 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
4544oveq1d 7166 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵))
4645, 44oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
47 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4820adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4947nncnd 11646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
5048, 49mulcld 10653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
5118adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5250, 51addcld 10652 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) ∈ ℂ)
5324adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
5447nnne0d 11679 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
5548, 49, 53, 54mulne0d 11284 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
5652, 50, 55divcld 11408 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
5714, 46, 47, 56fvmptd3 6786 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
5850, 51, 50, 55divdird 11446 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
5950, 55dividd 11406 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) = 1)
6059oveq1d 7166 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
6158, 60eqtrd 2860 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
6212eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘))
63 eqidd 2825 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
64 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
6564oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
6665oveq2d 7167 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
6751, 50, 55divcld 11408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6863, 66, 47, 67fvmptd 6770 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
6968eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘))
7062, 69oveq12d 7169 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
7157, 61, 703eqtrd 2864 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
721, 2, 13, 17, 33, 38, 43, 71climadd 14981 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (1 + 0))
73 1p0e1 11753 . 2 (1 + 0) = 1
7472, 73breqtrdi 5103 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  Vcvv 3499   class class class wbr 5062  cmpt 5142  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   / cdiv 11289  cn 11630  cli 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839
This theorem is referenced by:  wallispilem5  42217
  Copyright terms: Public domain W3C validator