Theorem clim1fr1 45630

Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim1fr1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
clim1fr1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
clim1fr1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
clim1fr1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
clim1fr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12895	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12623	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		nnex 12246	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	mptex 7215	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V)
6		1cnd 11230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
8		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 1 = 1)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
10		1cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
11	7, 8, 9, 10	fvmptd 6993	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
13	1, 2, 5, 6, 12	climconst 15559	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ⇝ 1)
14		clim1fr1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
15	3	mptex 7215	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))) ∈ V
16	14, 15	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
18		clim1fr1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20		clim1fr1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		nncn 12248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24		clim1fr1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
26		nnne0 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
28	19, 21, 23, 25, 27	divdiv1d 12048	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
29	28	mpteq2dva 5214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
30	18, 20, 24	divcld 12017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31		divcnv 15869	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
33	29, 32	eqbrtrrd 5143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) ⇝ 0)
34		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
35		1cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	fmpti 7102	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ)
38	37	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) ∈ ℂ)
39	21, 23	mulcld 11255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
40	21, 23, 25, 27	mulne0d 11889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ≠ 0)
41	19, 39, 40	divcld 12017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
45	44	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵))
46	45, 44	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
48	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47	nncnd 12256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
50	48, 49	mulcld 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
51	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	50, 51	addcld 11254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) ∈ ℂ)
53	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
54	47	nnne0d 12290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
55	48, 49, 53, 54	mulne0d 11889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
56	52, 50, 55	divcld 12017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
57	14, 46, 47, 56	fvmptd3 7009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
58	50, 51, 50, 55	divdird 12055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
59	50, 55	dividd 12015	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) = 1)
60	59	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
61	58, 60	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
62	12	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘))
63		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
64		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
65	64	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
66	65	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
67	51, 50, 55	divcld 12017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
68	63, 66, 47, 67	fvmptd 6993	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
69	68	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘))
70	62, 69	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
71	57, 61, 70	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
72	1, 2, 13, 17, 33, 38, 43, 71	climadd 15648	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (1 + 0))
73		1p0e1 12364	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
74	72, 73	breqtrdi 5160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   / cdiv 11894  ℕcn 12240   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505

This theorem is referenced by:  wallispilem5  46098