Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsextg 19930
 Description: For any linearly independent subset 𝐶 of 𝑉, there is a basis containing the vectors in 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsex.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsex.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsex.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsextg (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐶   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠,𝑥   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lbsextg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsex.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lbsex.j . 2 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3 lbsex.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 simp1l 1194 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5 simp2 1134 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝐶𝑉)
6 simp3 1135 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
7 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
8 sneq 4535 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
98difeq2d 4050 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∖ {𝑥}) = (𝐶 ∖ {𝑦}))
109fveq2d 6649 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
117, 10eleq12d 2884 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
1211notbid 321 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
1312cbvralvw 3396 . . 3 (∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
146, 13sylib 221 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
158difeq2d 4050 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑧 ∖ {𝑦}))
1615fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
177, 16eleq12d 2884 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
1817notbid 321 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
1918cbvralvw 3396 . . . 4 (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
2019anbi2i 625 . . 3 ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
2120rabbii 3420 . 2 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))}
22 simp1r 1195 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
231, 2, 3, 4, 5, 14, 21, 22lbsextlem4 19929 1 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  dom cdm 5519  ‘cfv 6324  cardccrd 9350  Basecbs 16477  LSpanclspn 19739  LBasisclbs 19842  LVecclvec 19870 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-rpss 7431  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lbs 19843  df-lvec 19871 This theorem is referenced by:  lbsext  19931  lbsexg  19932
 Copyright terms: Public domain W3C validator