Theorem lbsextg 21387

Description: For any linearly independent subset 𝐶 of 𝑉, there is a basis containing the vectors in 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsex.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsex.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsextg	⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐶   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠,𝑥   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lbsextg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsex.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lbsex.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		lbsex.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		simp1l 1216	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑉)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
7		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
8		sneq 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
9	8	difeq2d 4074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∖ {𝑥}) = (𝐶 ∖ {𝑦}))
10	9	fveq2d 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
11	7, 10	eleq12d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
12	11	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
13	12	cbvralvw 3240	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
14	6, 13	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
15	8	difeq2d 4074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑧 ∖ {𝑦}))
16	15	fveq2d 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
17	7, 16	eleq12d 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
18	17	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
19	18	cbvralvw 3240	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
20	19	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
21	20	rabbii 3417	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))}
22		simp1r 1217	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
23	1, 2, 3, 4, 5, 14, 21, 22	lbsextlem4 21386	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  dom cdm 5648  ‘cfv 6528  cardccrd 9973  Basecbs 17334  LSpanclspn 21193  LBasisclbs 21296  LVecclvec 21324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-rpss 7723  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-drng 20929  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-lbs 21297  df-lvec 21325

This theorem is used by:  lbsext  21388  lbsexg  21389