Theorem lbsextg 21139

Description: For any linearly independent subset 𝐶 of 𝑉, there is a basis containing the vectors in 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsex.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsex.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsextg	⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐶   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠,𝑥   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lbsextg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsex.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lbsex.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		lbsex.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		simp1l 1194	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5		simp2 1134	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑉)
6		simp3 1135	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
7		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
8		sneq 4633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
9	8	difeq2d 4118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∖ {𝑥}) = (𝐶 ∖ {𝑦}))
10	9	fveq2d 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
11	7, 10	eleq12d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
12	11	notbid 317	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
13	12	cbvralvw 3225	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
14	6, 13	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
15	8	difeq2d 4118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑧 ∖ {𝑦}))
16	15	fveq2d 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
17	7, 16	eleq12d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
18	17	notbid 317	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
19	18	cbvralvw 3225	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
20	19	anbi2i 621	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
21	20	rabbii 3425	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))}
22		simp1r 1195	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
23	1, 2, 3, 4, 5, 14, 21, 22	lbsextlem4 21138	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3419   ∖ cdif 3943   ⊆ wss 3946  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  dom cdm 5674  ‘cfv 6546  cardccrd 9971  Basecbs 17208  LSpanclspn 20944  LBasisclbs 21048  LVecclvec 21076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rpss 7726  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-drng 20705  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-lbs 21049  df-lvec 21077

This theorem is referenced by:  lbsext  21140  lbsexg  21141