Theorem lbsextg 21079

Description: For any linearly independent subset 𝐶 of 𝑉, there is a basis containing the vectors in 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsex.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsex.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsextg	⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐶   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠,𝑥   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lbsextg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsex.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lbsex.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		lbsex.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		simp1l 1198	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑉)
6		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
7		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
8		sneq 4602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
9	8	difeq2d 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∖ {𝑥}) = (𝐶 ∖ {𝑦}))
10	9	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
11	7, 10	eleq12d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
12	11	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
13	12	cbvralvw 3216	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
14	6, 13	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
15	8	difeq2d 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑧 ∖ {𝑦}))
16	15	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
17	7, 16	eleq12d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
18	17	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
19	18	cbvralvw 3216	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
20	19	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
21	20	rabbii 3414	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))}
22		simp1r 1199	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
23	1, 2, 3, 4, 5, 14, 21, 22	lbsextlem4 21078	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  cardccrd 9895  Basecbs 17186  LSpanclspn 20884  LBasisclbs 20988  LVecclvec 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-rpss 7702  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lbs 20989  df-lvec 21017

This theorem is referenced by:  lbsext  21080  lbsexg  21081