Theorem lcm1un 41473

Description: Least common multiple of natural numbers up to 1 equals 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm1un	⊢ (lcm‘(1...1)) = 1

Proof of Theorem lcm1un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12247	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 41472	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (lcm‘(1...1)) = ((lcm‘(1...(1 − 1))) lcm 1))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...1)) = ((lcm‘(1...(1 − 1))) lcm 1)
5		1m1e0 12308	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq2i 7425	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 − 1)) = (1...0)
7		fz10 13548	. . . . . . 7 ⊢ (1...0) = ∅
8	6, 7	eqtri 2755	. . . . . 6 ⊢ (1...(1 − 1)) = ∅
9	8	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...(1 − 1))) = (lcm‘∅)
10		lcmf0 16598	. . . . 5 ⊢ (lcm‘∅) = 1
11	9, 10	eqtri 2755	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(1 − 1))) = 1
12	11	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(1 − 1))) lcm 1) = (1 lcm 1)
13		1z 12616	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		lcmid 16573	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 lcm 1) = (abs‘1))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 lcm 1) = (abs‘1)
16		abs1 15270	. . . 4 ⊢ (abs‘1) = 1
17	15, 16	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (1 lcm 1) = 1
18	12, 17	eqtri 2755	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(1 − 1))) lcm 1) = 1
19	4, 18	eqtri 2755	1 ⊢ (lcm‘(1...1)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4318  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   − cmin 11468  ℕcn 12236  ℤcz 12582  ...cfz 13510  abscabs 15207   lcm clcm 16552  lcmclcmf 16553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-prod 15876  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-lcm 16554  df-lcmf 16555

This theorem is referenced by:  lcm2un  41474