Theorem lcm1un 42007

Description: Least common multiple of natural numbers up to 1 equals 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm1un	⊢ (lcm‘(1...1)) = 1

Proof of Theorem lcm1un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12281	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 42006	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (lcm‘(1...1)) = ((lcm‘(1...(1 − 1))) lcm 1))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...1)) = ((lcm‘(1...(1 − 1))) lcm 1)
5		1m1e0 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq2i 7446	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 − 1)) = (1...0)
7		fz10 13588	. . . . . . 7 ⊢ (1...0) = ∅
8	6, 7	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (1...(1 − 1)) = ∅
9	8	fveq2i 6914	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...(1 − 1))) = (lcm‘∅)
10		lcmf0 16674	. . . . 5 ⊢ (lcm‘∅) = 1
11	9, 10	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(1 − 1))) = 1
12	11	oveq1i 7445	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(1 − 1))) lcm 1) = (1 lcm 1)
13		1z 12651	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		lcmid 16649	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 lcm 1) = (abs‘1))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 lcm 1) = (abs‘1)
16		abs1 15339	. . . 4 ⊢ (abs‘1) = 1
17	15, 16	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (1 lcm 1) = 1
18	12, 17	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(1 − 1))) lcm 1) = 1
19	4, 18	eqtri 2764	1 ⊢ (lcm‘(1...1)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  ∅c0 4340  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  0cc0 11159  1c1 11160   − cmin 11496  ℕcn 12270  ℤcz 12617  ...cfz 13550  abscabs 15276   lcm clcm 16628  lcmclcmf 16629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-inf2 9685  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-se 5643  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-sup 9486  df-inf 9487  df-oi 9554  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-n0 12531  df-z 12618  df-uz 12883  df-rp 13039  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-fl 13835  df-mod 13913  df-seq 14046  df-exp 14106  df-hash 14373  df-cj 15141  df-re 15142  df-im 15143  df-sqrt 15277  df-abs 15278  df-clim 15527  df-prod 15943  df-dvds 16294  df-gcd 16535  df-lcm 16630  df-lcmf 16631

This theorem is referenced by:  lcm2un  42008