Theorem lmiiso 28781

Description: The line mirroring function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 10.10 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiiso.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lmiiso.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lmiiso	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem lmiiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		lmiiso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		lmiiso.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		eqid 2731	. 2 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵)))) = ((pInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵))))
12		eqid 2731	. 2 ⊢ ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵))) = ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	lmiisolem 28780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  ran crn 5620  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  2c2 12186  Basecbs 17126  distcds 17176  TarskiGcstrkg 28411  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28415  Itvcitv 28417  LineGclng 28418  pInvGcmir 28636  midGcmid 28756  lInvGclmi 28757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-concat 14484  df-s1 14510  df-s2 14761  df-s3 14762  df-trkgc 28432  df-trkgb 28433  df-trkgcb 28434  df-trkgld 28436  df-trkg 28437  df-cgrg 28495  df-leg 28567  df-mir 28637  df-rag 28678  df-perpg 28680  df-mid 28758  df-lmi 28759

This theorem is referenced by:  lmimot  28782  hypcgrlem1  28783  hypcgrlem2  28784  trgcopyeulem  28789