Theorem lmiiso 28852

Description: The line mirroring function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 10.10 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiiso.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lmiiso.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lmiiso	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem lmiiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		lmiiso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		lmiiso.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		eqid 2737	. 2 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵)))) = ((pInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵))))
12		eqid 2737	. 2 ⊢ ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵))) = ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	lmiisolem 28851	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  2c2 12204  Basecbs 17140  distcds 17190  TarskiGcstrkg 28482  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28486  Itvcitv 28488  LineGclng 28489  pInvGcmir 28707  midGcmid 28827  lInvGclmi 28828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-s2 14775  df-s3 14776  df-trkgc 28503  df-trkgb 28504  df-trkgcb 28505  df-trkgld 28507  df-trkg 28508  df-cgrg 28566  df-leg 28638  df-mir 28708  df-rag 28749  df-perpg 28751  df-mid 28829  df-lmi 28830

This theorem is referenced by:  lmimot  28853  hypcgrlem1  28854  hypcgrlem2  28855  trgcopyeulem  28860