Theorem lmiiso 29182

Description: The line mirroring function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 10.10 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiiso.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lmiiso.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lmiiso	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem lmiiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		lmiiso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		lmiiso.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		eqid 2762	. 2 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵)))) = ((pInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵))))
12		eqid 2762	. 2 ⊢ ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵))) = ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐴))(midG‘𝐺)(𝐵(midG‘𝐺)(𝑀‘𝐵)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	lmiisolem 29181	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  2c2 12322  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28769  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28773  Itvcitv 28775  LineGclng 28776  pInvGcmir 29004  midGcmid 29157  lInvGclmi 29158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28790  df-trkgb 28791  df-trkgcb 28792  df-trkgld 28794  df-trkg 28795  df-cgrg 28854  df-leg 28926  df-mir 29005  df-rag 29049  df-perpg 29051  df-mid 29159  df-lmi 29160

This theorem is used by:  lmimot  29183  hypcgrlem1  29185  hypcgrlem2  29186  trgcopyeulem  29192