Theorem lmimot 28553

Description: Line mirroring is a motion of the geometric space. Theorem 10.11 of [Schwabhauser] p. 90. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lmimot	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem lmimot

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmif1o 28550	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃)
10	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
12	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
14		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
15	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 14	lmiiso 28552	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((𝑀‘𝑎) − (𝑀‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
16	15	ralrimivva 3194	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀‘𝑎) − (𝑀‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
17	1, 2	ismot 28290	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → (𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀‘𝑎) − (𝑀‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
18	4, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀‘𝑎) − (𝑀‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
19	9, 16, 18	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   class class class wbr 5141  ran crn 5670  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  2c2 12268  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28182  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28186  Itvcitv 28188  LineGclng 28189  Ismtcismt 28287  lInvGclmi 28528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 28203  df-trkgb 28204  df-trkgcb 28205  df-trkgld 28207  df-trkg 28208  df-cgrg 28266  df-ismt 28288  df-leg 28338  df-mir 28408  df-rag 28449  df-perpg 28451  df-mid 28529  df-lmi 28530

This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  28555