MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimot 28038
Description: Line mirroring is a motion of the geometric space. Theorem 10.11 of [Schwabhauser] p. 90. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
lmif.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmif.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
Assertion
Ref Expression
lmimot (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem lmimot
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ismid.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 ismid.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 ismid.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
6 lmif.m . . 3 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
7 lmif.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
8 lmif.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmif1o 28035 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃)
104adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
115adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
128adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
14 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
151, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 14lmiiso 28037 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((π‘€β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘€β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
1615ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((π‘€β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘€β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
171, 2ismot 27775 . . 3 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((π‘€β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘€β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
184, 17syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑀:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((π‘€β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘€β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
199, 16, 18mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  2c2 12263  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27667  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27671  Itvcitv 27673  LineGclng 27674  Ismtcismt 27772  lInvGclmi 28013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27688  df-trkgb 27689  df-trkgcb 27690  df-trkgld 27692  df-trkg 27693  df-cgrg 27751  df-ismt 27773  df-leg 27823  df-mir 27893  df-rag 27934  df-perpg 27936  df-mid 28014  df-lmi 28015
This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  28040
  Copyright terms: Public domain W3C validator