Theorem mapdpglem28 42559

Description: Lemma for mapdpg 42564. Baer p. 45 line 18: "vx'-vy'' = x'-uy''". (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem28	⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐴(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐵(ℎ, 𝑖)   𝐶(ℎ, 𝑖)   𝑅(𝑢, ℎ, 𝑖)   · (ℎ, 𝑖)   𝑈(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐺(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐻(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐽(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐾(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑀(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   − (𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑁(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑂(ℎ, 𝑖)   𝑉(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑊(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑋(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑌(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   0 (𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem28

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem28.u2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
2		mapdpglem28.u1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
3	2	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
4		mapdpg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
5		mapdpglem26.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
8		mapdpg.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
9		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	9, 10, 11	lcdlmod 42450	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
13		mapdpglem28.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
14		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
16		mapdpglem26.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
17	9, 14, 15, 16, 10, 6, 7, 11	lcdsbase 42458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
18	13, 17	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
19		mapdpg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		mapdpgem25.i1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
21	20	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
22	4, 5, 6, 7, 8, 12, 18, 19, 21	lmodsubdi 21102	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)))
23	1, 3, 22	3eqtr3rd 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  Scalarcsca 17347   ·_𝑠 cvsca 17348  0_gc0g 17526  -_gcsg 19058  LSpanclspn 21154  HLchlt 40208  LHypclh 40842  DVecHcdvh 41936  LCDualclcd 42444  mapdcmpd 42482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-0g 17528  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-oppg 19472  df-lsm 19762  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-nzr 20672  df-rlreg 20855  df-domn 20856  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lvec 21286  df-lsatoms 39834  df-lshyp 39835  df-lcv 39877  df-lfl 39916  df-lkr 39944  df-ldual 39982  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-llines 40356  df-lplanes 40357  df-lvols 40358  df-lines 40359  df-psubsp 40361  df-pmap 40362  df-padd 40654  df-lhyp 40846  df-laut 40847  df-ldil 40962  df-ltrn 40963  df-trl 41017  df-tgrp 41601  df-tendo 41613  df-edring 41615  df-dveca 41861  df-disoa 41887  df-dvech 41937  df-dib 41997  df-dic 42031  df-dih 42087  df-doch 42206  df-djh 42253  df-lcdual 42445

This theorem is used by:  mapdpglem30  42560