Theorem lidldvgen 21322

Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldvgen.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidldvgen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidldvgen.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lidldvgen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldvgen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, ∥   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐺

Proof of Theorem lidldvgen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
3	2	snssd 4753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → {𝐺} ⊆ 𝐵)
4		lidldvgen.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5		lidldvgen.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	rspssid 21224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} ⊆ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
7	1, 3, 6	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
8		snssg 4728	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
9	8	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
10	7, 9	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}))
11		lidldvgen.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
12	5, 4, 11	rspsn 21321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦})
13	12	3adant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦})
14	13	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦}))
15		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺 ∥ 𝑦 ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
17	15, 16	elab 3623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦} ↔ 𝐺 ∥ 𝑥)
18	14, 17	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
19	18	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) → 𝐺 ∥ 𝑥))
20	19	ralrimiv 3129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥)
21	10, 20	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥))
22		eleq2 2826	. . . 4 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺 ∈ 𝐼 ↔ 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺})))
23		raleq 3293	. . . 4 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥))
24	22, 23	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥) ↔ (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥)))
25	21, 24	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))
26		df-ral 3053	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐺 ∥ 𝑥))
27		ssab 4004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐺 ∥ 𝑥))
28	26, 27	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 → 𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
29	28	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
30	5, 4, 11	rspsn 21321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
31	30	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
33	29, 32	sseqtrrd 3960	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
34		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
35		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
36		snssi 4752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐼 → {𝐺} ⊆ 𝐼)
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → {𝐺} ⊆ 𝐼)
38		lidldvgen.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
39	4, 38	rspssp 21227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ {𝐺} ⊆ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
40	34, 35, 37, 39	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
41	40	adantrr 718	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
42	33, 41	eqssd 3940	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺}))
43	42	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺})))
44	25, 43	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  Basecbs 17168  Ringcrg 20203  ∥_rcdsr 20323  LIdealclidl 21194  RSpancrsp 21195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-dvdsr 20326  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-lidl 21196  df-rsp 21197

This theorem is referenced by:  lpigen  21323  ig1prsp  26158