Theorem lidldvgen 20597

Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldvgen.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidldvgen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidldvgen.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lidldvgen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldvgen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, ∥   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐺

Proof of Theorem lidldvgen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
3	2	snssd 4752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → {𝐺} ⊆ 𝐵)
4		lidldvgen.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5		lidldvgen.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	rspssid 20565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} ⊆ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
7	1, 3, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
8		snssg 4727	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
9	8	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
10	7, 9	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}))
11		lidldvgen.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
12	5, 4, 11	rspsn 20596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦})
13	12	3adant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦})
14	13	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦}))
15		vex 3445	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		breq2 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺 ∥ 𝑦 ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
17	15, 16	elab 3618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦} ↔ 𝐺 ∥ 𝑥)
18	14, 17	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
19	18	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) → 𝐺 ∥ 𝑥))
20	19	ralrimiv 3139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥)
21	10, 20	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥))
22		eleq2 2826	. . . 4 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺 ∈ 𝐼 ↔ 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺})))
23		raleq 3306	. . . 4 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥))
24	22, 23	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥) ↔ (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥)))
25	21, 24	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))
26		df-ral 3063	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐺 ∥ 𝑥))
27		ssab 4004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐺 ∥ 𝑥))
28	26, 27	sylbb2 237	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 → 𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
29	28	ad2antll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
30	5, 4, 11	rspsn 20596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
31	30	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
32	31	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
33	29, 32	sseqtrrd 3971	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
34		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
35		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
36		snssi 4751	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐼 → {𝐺} ⊆ 𝐼)
37	36	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → {𝐺} ⊆ 𝐼)
38		lidldvgen.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
39	4, 38	rspssp 20568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ {𝐺} ⊆ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
40	34, 35, 37, 39	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
41	40	adantrr 714	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
42	33, 41	eqssd 3947	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺}))
43	42	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺})))
44	25, 43	impbid 211	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2714  ∀wral 3062   ⊆ wss 3896  {csn 4569   class class class wbr 5085  ‘cfv 6463  Basecbs 16979  Ringcrg 19850  ∥_rcdsr 19947  LIdealclidl 20503  RSpancrsp 20504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-subg 18819  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-dvdsr 19950  df-subrg 20093  df-lmod 20196  df-lss 20265  df-lsp 20305  df-sra 20505  df-rgmod 20506  df-lidl 20507  df-rsp 20508

This theorem is referenced by:  lpigen  20598  ig1prsp  25413