Theorem lidldvgen 20439

Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldvgen.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidldvgen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidldvgen.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lidldvgen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldvgen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, ∥   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐺

Proof of Theorem lidldvgen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
3	2	snssd 4739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → {𝐺} ⊆ 𝐵)
4		lidldvgen.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5		lidldvgen.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	rspssid 20407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} ⊆ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
7	1, 3, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
8		snssg 4715	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
9	8	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
10	7, 9	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}))
11		lidldvgen.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
12	5, 4, 11	rspsn 20438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦})
13	12	3adant2 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦})
14	13	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦}))
15		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		breq2 5074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺 ∥ 𝑦 ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
17	15, 16	elab 3602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦} ↔ 𝐺 ∥ 𝑥)
18	14, 17	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
19	18	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) → 𝐺 ∥ 𝑥))
20	19	ralrimiv 3106	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥)
21	10, 20	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥))
22		eleq2 2827	. . . 4 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺 ∈ 𝐼 ↔ 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺})))
23		raleq 3333	. . . 4 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥))
24	22, 23	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥) ↔ (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥)))
25	21, 24	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))
26		df-ral 3068	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐺 ∥ 𝑥))
27		ssab 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐺 ∥ 𝑥))
28	26, 27	sylbb2 237	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 → 𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
29	28	ad2antll 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
30	5, 4, 11	rspsn 20438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
31	30	3adant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
33	29, 32	sseqtrrd 3958	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
34		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
35		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
36		snssi 4738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐼 → {𝐺} ⊆ 𝐼)
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → {𝐺} ⊆ 𝐼)
38		lidldvgen.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
39	4, 38	rspssp 20410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ {𝐺} ⊆ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
40	34, 35, 37, 39	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
41	40	adantrr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
42	33, 41	eqssd 3934	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺}))
43	42	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺})))
44	25, 43	impbid 211	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Ringcrg 19698  ∥_rcdsr 19795  LIdealclidl 20347  RSpancrsp 20348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-dvdsr 19798  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-rsp 20352

This theorem is referenced by:  lpigen  20440  ig1prsp  25247