Theorem lidldvgen 21688

Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldvgen.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidldvgen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidldvgen.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lidldvgen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldvgen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, ∥   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐺

Proof of Theorem lidldvgen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
3	2	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → {𝐺} ⊆ 𝐵)
4		lidldvgen.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5		lidldvgen.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	rspssid 21549	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} ⊆ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
7	1, 3, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
8		snssg 4744	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
9	8	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
10	7, 9	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}))
11		lidldvgen.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
12	5, 4, 11	rspsn 21687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦})
13	12	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦})
14	13	eleq2d 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦}))
15		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		breq2 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺 ∥ 𝑦 ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
17	15, 16	elab 3636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 ∥ 𝑦} ↔ 𝐺 ∥ 𝑥)
18	14, 17	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
19	18	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) → 𝐺 ∥ 𝑥))
20	19	ralrimiv 3157	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥)
21	10, 20	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥))
22		eleq2 2853	. . . 4 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺 ∈ 𝐼 ↔ 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺})))
23		raleq 3320	. . . 4 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥))
24	22, 23	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥) ↔ (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 ∥ 𝑥)))
25	21, 24	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))
26		df-ral 3081	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐺 ∥ 𝑥))
27		ssab 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐺 ∥ 𝑥))
28	26, 27	sylbb2 241	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥 → 𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
29	28	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 ⊆ {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
30	5, 4, 11	rspsn 21687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
31	30	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})
33	29, 32	sseqtrrd 3950	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
34		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
35		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
36		snssi 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐼 → {𝐺} ⊆ 𝐼)
37	36	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → {𝐺} ⊆ 𝐼)
38		lidldvgen.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
39	4, 38	rspssp 21552	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ {𝐺} ⊆ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
40	34, 35, 37, 39	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
41	40	adantrr 730	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
42	33, 41	eqssd 3930	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺}))
43	42	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺})))
44	25, 43	impbid 215	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐺 ∥ 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  Ringcrg 20489  ∥_rcdsr 20614  LIdealclidl 21514  RSpancrsp 21515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-dvdsr 20617  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517

This theorem is used by:  lpigen  21689  ig1prsp  26529