MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lidldvgen 21094
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lidldvgen.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
lidldvgen.k 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
lidldvgen.d βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lidldvgen ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 = (πΎβ€˜{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝐡   π‘₯, βˆ₯   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐺
Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
32snssd 4813 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ {𝐺} βŠ† 𝐡)
4 lidldvgen.k . . . . . . 7 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
5 lidldvgen.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
64, 5rspssid 20998 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} βŠ† 𝐡) β†’ {𝐺} βŠ† (πΎβ€˜{𝐺}))
71, 3, 6syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ {𝐺} βŠ† (πΎβ€˜{𝐺}))
8 snssg 4788 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) ↔ {𝐺} βŠ† (πΎβ€˜{𝐺})))
983ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) ↔ {𝐺} βŠ† (πΎβ€˜{𝐺})))
107, 9mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}))
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10 βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
125, 4, 11rspsn 21093 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 βˆ₯ 𝑦})
13123adant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐺}) = {𝑦 ∣ 𝐺 βˆ₯ 𝑦})
1413eleq2d 2818 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) ↔ π‘₯ ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 βˆ₯ 𝑦}))
15 vex 3477 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
16 breq2 5153 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐺 βˆ₯ 𝑦 ↔ 𝐺 βˆ₯ π‘₯))
1715, 16elab 3669 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∣ 𝐺 βˆ₯ 𝑦} ↔ 𝐺 βˆ₯ π‘₯)
1814, 17bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) ↔ 𝐺 βˆ₯ π‘₯))
1918biimpd 228 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) β†’ 𝐺 βˆ₯ π‘₯))
2019ralrimiv 3144 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (πΎβ€˜{𝐺})𝐺 βˆ₯ π‘₯)
2110, 20jca 511 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (πΎβ€˜{𝐺})𝐺 βˆ₯ π‘₯))
22 eleq2 2821 . . . 4 (𝐼 = (πΎβ€˜{𝐺}) β†’ (𝐺 ∈ 𝐼 ↔ 𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺})))
23 raleq 3321 . . . 4 (𝐼 = (πΎβ€˜{𝐺}) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (πΎβ€˜{𝐺})𝐺 βˆ₯ π‘₯))
2422, 23anbi12d 630 . . 3 (𝐼 = (πΎβ€˜{𝐺}) β†’ ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯) ↔ (𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (πΎβ€˜{𝐺})𝐺 βˆ₯ π‘₯)))
2521, 24syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 = (πΎβ€˜{𝐺}) β†’ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯)))
26 df-ral 3061 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐺 βˆ₯ π‘₯))
27 ssab 4059 . . . . . . 7 (𝐼 βŠ† {π‘₯ ∣ 𝐺 βˆ₯ π‘₯} ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐺 βˆ₯ π‘₯))
2826, 27sylbb2 237 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯ β†’ 𝐼 βŠ† {π‘₯ ∣ 𝐺 βˆ₯ π‘₯})
2928ad2antll 726 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯)) β†’ 𝐼 βŠ† {π‘₯ ∣ 𝐺 βˆ₯ π‘₯})
305, 4, 11rspsn 21093 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐺}) = {π‘₯ ∣ 𝐺 βˆ₯ π‘₯})
31303adant2 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐺}) = {π‘₯ ∣ 𝐺 βˆ₯ π‘₯})
3231adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜{𝐺}) = {π‘₯ ∣ 𝐺 βˆ₯ π‘₯})
3329, 32sseqtrrd 4024 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯)) β†’ 𝐼 βŠ† (πΎβ€˜{𝐺}))
34 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
35 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
36 snssi 4812 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ 𝐼 β†’ {𝐺} βŠ† 𝐼)
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) β†’ {𝐺} βŠ† 𝐼)
38 lidldvgen.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
394, 38rspssp 21001 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ {𝐺} βŠ† 𝐼) β†’ (πΎβ€˜{𝐺}) βŠ† 𝐼)
4034, 35, 37, 39syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝐼) β†’ (πΎβ€˜{𝐺}) βŠ† 𝐼)
4140adantrr 714 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜{𝐺}) βŠ† 𝐼)
4233, 41eqssd 4000 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯)) β†’ 𝐼 = (πΎβ€˜{𝐺}))
4342ex 412 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯) β†’ 𝐼 = (πΎβ€˜{𝐺})))
4425, 43impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 = (πΎβ€˜{𝐺}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐺 βˆ₯ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  βˆ€wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17149  Ringcrg 20128  βˆ₯rcdsr 20246  LIdealclidl 20929  RSpancrsp 20930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-dvdsr 20249  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934
This theorem is referenced by:  lpigen  21095  ig1prsp  25928
  Copyright terms: Public domain W3C validator