Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdlsm 40177
Description: Subspace sum is preserved by the map defined by df-mapd 40138. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdlsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdlsm.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
mapdlsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
mapdlsm.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.q ✚ = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdlsm.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdlsm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdlsm.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdlsm (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem mapdlsm
StepHypRef Expression
1 mapdlsm.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdlsm.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdlsm.k . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40105 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
65lsssssubg 20463 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
8 mapdlsm.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdlsm.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 mapdlsm.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
11 mapdlsm.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
121, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 11mapdcl2 40169 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
137, 12sseldd 3949 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
14 mapdlsm.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
151, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 14mapdcl2 40169 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
167, 15sseldd 3949 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
17 mapdlsm.q . . . . . . . . 9 ✚ = (LSSumβ€˜πΆ)
1817lsmub1 19447 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
1913, 16, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
201, 8, 9, 10, 3, 11mapdcl 40166 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ ran 𝑀)
211, 8, 9, 10, 3, 14mapdcl 40166 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ ran 𝑀)
221, 8, 9, 2, 17, 3, 20, 21mapdlsmcl 40176 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∈ ran 𝑀)
231, 8, 3, 22mapdcnvid2 40170 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
2419, 23sseqtrrd 3989 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
251, 8, 9, 10, 3, 22mapdcnvcl 40165 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ 𝑆)
261, 9, 10, 8, 3, 11, 25mapdord 40151 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ 𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
2724, 26mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
2817lsmub2 19448 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
2913, 16, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
3029, 23sseqtrrd 3989 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
311, 9, 10, 8, 3, 14, 25mapdord 40151 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
3230, 31mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
331, 9, 3dvhlmod 39623 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
3410lsssssubg 20463 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3635, 11sseldd 3949 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3735, 14sseldd 3949 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3835, 25sseldd 3949 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
39 mapdlsm.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
4039lsmlub 19454 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∧ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4136, 37, 38, 40syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∧ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4227, 32, 41mpbi2and 711 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
4310, 39lsmcl 20588 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ∈ 𝑆)
4433, 11, 14, 43syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ∈ 𝑆)
451, 9, 10, 8, 3, 44, 25mapdord 40151 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4642, 45mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4746, 23sseqtrd 3988 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
4839lsmub1 19447 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
4936, 37, 48syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
501, 9, 10, 8, 3, 11, 44mapdord 40151 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ↔ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5149, 50mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5239lsmub2 19448 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
5336, 37, 52syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
541, 9, 10, 8, 3, 14, 44mapdord 40151 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ↔ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5553, 54mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
561, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 44mapdcl2 40169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
577, 56sseldd 3949 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
5817lsmlub 19454 . . . 4 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))))
5913, 16, 57, 58syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))))
6051, 55, 59mpbi2and 711 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
6147, 60eqssd 3965 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  β—‘ccnv 5636  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  SubGrpcsubg 18930  LSSumclsm 19424  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100  df-mapd 40138
This theorem is referenced by:  mapdindp  40184  mapdpglem1  40185  mapdheq4lem  40244  mapdh6lem1N  40246  mapdh6lem2N  40247  hdmap1l6lem1  40320  hdmap1l6lem2  40321  hdmaprnlem3eN  40371
  Copyright terms: Public domain W3C validator