Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdlsm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdlsm 40583
Description: Subspace sum is preserved by the map defined by df-mapd 40544. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdlsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdlsm.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
mapdlsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
mapdlsm.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.q ✚ = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdlsm.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdlsm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdlsm.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdlsm (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem mapdlsm
StepHypRef Expression
1 mapdlsm.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdlsm.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdlsm.k . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40511 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
65lsssssubg 20569 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
8 mapdlsm.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdlsm.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 mapdlsm.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
11 mapdlsm.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
121, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 11mapdcl2 40575 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
137, 12sseldd 3984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
14 mapdlsm.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
151, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 14mapdcl2 40575 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
167, 15sseldd 3984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
17 mapdlsm.q . . . . . . . . 9 ✚ = (LSSumβ€˜πΆ)
1817lsmub1 19525 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
1913, 16, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
201, 8, 9, 10, 3, 11mapdcl 40572 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ ran 𝑀)
211, 8, 9, 10, 3, 14mapdcl 40572 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ ran 𝑀)
221, 8, 9, 2, 17, 3, 20, 21mapdlsmcl 40582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∈ ran 𝑀)
231, 8, 3, 22mapdcnvid2 40576 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
2419, 23sseqtrrd 4024 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
251, 8, 9, 10, 3, 22mapdcnvcl 40571 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ 𝑆)
261, 9, 10, 8, 3, 11, 25mapdord 40557 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ 𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
2724, 26mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
2817lsmub2 19526 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
2913, 16, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
3029, 23sseqtrrd 4024 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
311, 9, 10, 8, 3, 14, 25mapdord 40557 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
3230, 31mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
331, 9, 3dvhlmod 40029 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
3410lsssssubg 20569 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3635, 11sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3735, 14sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3835, 25sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
39 mapdlsm.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
4039lsmlub 19532 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∧ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4136, 37, 38, 40syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∧ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4227, 32, 41mpbi2and 711 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
4310, 39lsmcl 20694 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ∈ 𝑆)
4433, 11, 14, 43syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ∈ 𝑆)
451, 9, 10, 8, 3, 44, 25mapdord 40557 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4642, 45mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4746, 23sseqtrd 4023 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
4839lsmub1 19525 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
4936, 37, 48syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
501, 9, 10, 8, 3, 11, 44mapdord 40557 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ↔ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5149, 50mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5239lsmub2 19526 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
5336, 37, 52syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
541, 9, 10, 8, 3, 14, 44mapdord 40557 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ↔ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5553, 54mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
561, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 44mapdcl2 40575 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
577, 56sseldd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
5817lsmlub 19532 . . . 4 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))))
5913, 16, 57, 58syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))))
6051, 55, 59mpbi2and 711 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
6147, 60eqssd 4000 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β—‘ccnv 5676  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  SubGrpcsubg 19000  LSSumclsm 19502  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  HLchlt 38268  LHypclh 38903  DVecHcdvh 39997  LCDualclcd 40505  mapdcmpd 40543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37871
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37894  df-lshyp 37895  df-lcv 37937  df-lfl 37976  df-lkr 38004  df-ldual 38042  df-oposet 38094  df-ol 38096  df-oml 38097  df-covers 38184  df-ats 38185  df-atl 38216  df-cvlat 38240  df-hlat 38269  df-llines 38417  df-lplanes 38418  df-lvols 38419  df-lines 38420  df-psubsp 38422  df-pmap 38423  df-padd 38715  df-lhyp 38907  df-laut 38908  df-ldil 39023  df-ltrn 39024  df-trl 39078  df-tgrp 39662  df-tendo 39674  df-edring 39676  df-dveca 39922  df-disoa 39948  df-dvech 39998  df-dib 40058  df-dic 40092  df-dih 40148  df-doch 40267  df-djh 40314  df-lcdual 40506  df-mapd 40544
This theorem is referenced by:  mapdindp  40590  mapdpglem1  40591  mapdheq4lem  40650  mapdh6lem1N  40652  mapdh6lem2N  40653  hdmap1l6lem1  40726  hdmap1l6lem2  40727  hdmaprnlem3eN  40777
  Copyright terms: Public domain W3C validator