Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdlsm 37739
 Description: Subspace sum is preserved by the map defined by df-mapd 37700. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdlsm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdlsm.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdlsm.p = (LSSum‘𝑈)
mapdlsm.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.q = (LSSum‘𝐶)
mapdlsm.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdlsm.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdlsm.y (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdlsm (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))

Proof of Theorem mapdlsm
StepHypRef Expression
1 mapdlsm.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdlsm.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdlsm.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37667 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
65lsssssubg 19317 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ LMod → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
8 mapdlsm.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdlsm.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdlsm.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
11 mapdlsm.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
121, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 11mapdcl2 37731 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘𝐶))
137, 12sseldd 3828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶))
14 mapdlsm.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑆)
151, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 14mapdcl2 37731 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
167, 15sseldd 3828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶))
17 mapdlsm.q . . . . . . . . 9 = (LSSum‘𝐶)
1817lsmub1 18422 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (𝑀𝑋) ⊆ ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
1913, 16, 18syl2anc 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑋) ⊆ ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
201, 8, 9, 10, 3, 11mapdcl 37728 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ ran 𝑀)
211, 8, 9, 10, 3, 14mapdcl 37728 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ ran 𝑀)
221, 8, 9, 2, 17, 3, 20, 21mapdlsmcl 37738 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) ∈ ran 𝑀)
231, 8, 3, 22mapdcnvid2 37732 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
2419, 23sseqtr4d 3867 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))))
251, 8, 9, 10, 3, 22mapdcnvcl 37727 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌))) ∈ 𝑆)
261, 9, 10, 8, 3, 11, 25mapdord 37713 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))) ↔ 𝑋 ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))))
2724, 26mpbid 224 . . . . 5 (𝜑𝑋 ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌))))
2817lsmub2 18423 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (𝑀𝑌) ⊆ ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
2913, 16, 28syl2anc 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑌) ⊆ ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
3029, 23sseqtr4d 3867 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))))
311, 9, 10, 8, 3, 14, 25mapdord 37713 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))) ↔ 𝑌 ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))))
3230, 31mpbid 224 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌))))
331, 9, 3dvhlmod 37185 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3410lsssssubg 19317 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
3635, 11sseldd 3828 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
3735, 14sseldd 3828 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
3835, 25sseldd 3828 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌))) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39 mapdlsm.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑈)
4039lsmlub 18429 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌))) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((𝑋 ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌))) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))) ↔ (𝑋 𝑌) ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))))
4136, 37, 38, 40syl3anc 1496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌))) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))) ↔ (𝑋 𝑌) ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))))
4227, 32, 41mpbi2and 705 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌))))
4310, 39lsmcl 19442 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑆)
4433, 11, 14, 43syl3anc 1496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑆)
451, 9, 10, 8, 3, 44, 25mapdord 37713 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))) ↔ (𝑋 𝑌) ⊆ (𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))))
4642, 45mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))))
4746, 23sseqtrd 3866 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ⊆ ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
4839lsmub1 18422 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 𝑌))
4936, 37, 48syl2anc 581 . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ (𝑋 𝑌))
501, 9, 10, 8, 3, 11, 44mapdord 37713 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ↔ 𝑋 ⊆ (𝑋 𝑌)))
5149, 50mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌)))
5239lsmub2 18423 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ (𝑋 𝑌))
5336, 37, 52syl2anc 581 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ (𝑋 𝑌))
541, 9, 10, 8, 3, 14, 44mapdord 37713 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ↔ 𝑌 ⊆ (𝑋 𝑌)))
5553, 54mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌)))
561, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 44mapdcl2 37731 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ∈ (LSubSp‘𝐶))
577, 56sseldd 3828 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝐶))
5817lsmlub 18429 . . . 4 (((𝑀𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌))) ↔ ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌))))
5913, 16, 57, 58syl3anc 1496 . . 3 (𝜑 → (((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌)) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌))) ↔ ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌))))
6051, 55, 59mpbi2and 705 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑌)))
6147, 60eqssd 3844 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3798  ◡ccnv 5341  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  SubGrpcsubg 17939  LSSumclsm 18400  LModclmod 19219  LSubSpclss 19288  HLchlt 35425  LHypclh 36059  DVecHcdvh 37153  LCDualclcd 37661  mapdcmpd 37699 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35028 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-oppg 18126  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lsatoms 35051  df-lshyp 35052  df-lcv 35094  df-lfl 35133  df-lkr 35161  df-ldual 35199  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tgrp 36818  df-tendo 36830  df-edring 36832  df-dveca 37078  df-disoa 37104  df-dvech 37154  df-dib 37214  df-dic 37248  df-dih 37304  df-doch 37423  df-djh 37470  df-lcdual 37662  df-mapd 37700 This theorem is referenced by:  mapdindp  37746  mapdpglem1  37747  mapdheq4lem  37806  mapdh6lem1N  37808  mapdh6lem2N  37809  hdmap1l6lem1  37882  hdmap1l6lem2  37883  hdmaprnlem3eN  37933
 Copyright terms: Public domain W3C validator