Theorem mapdlsm 42538

Description: Subspace sum is preserved by the map defined by df-mapd 42499. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdlsm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdlsm.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdlsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
mapdlsm.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.q	⊢ ✚ = (LSSum‘𝐶)
mapdlsm.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdlsm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdlsm.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdlsm	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem mapdlsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdlsm.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdlsm.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdlsm.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
6	5	lsssssubg 21143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
7	4, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
8		mapdlsm.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdlsm.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdlsm.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
11		mapdlsm.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
12	1, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 11	mapdcl2 42530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝐶))
13	7, 12	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶))
14		mapdlsm.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
15	1, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 14	mapdcl2 42530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
16	7, 15	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶))
17		mapdlsm.q	. . . . . . . . 9 ⊢ ✚ = (LSSum‘𝐶)
18	17	lsmub1 19785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
19	13, 16, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
20	1, 8, 9, 10, 3, 11	mapdcl 42527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ran 𝑀)
21	1, 8, 9, 10, 3, 14	mapdcl 42527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ran 𝑀)
22	1, 8, 9, 2, 17, 3, 20, 21	mapdlsmcl 42537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)) ∈ ran 𝑀)
23	1, 8, 3, 22	mapdcnvid2 42531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
24	19, 23	sseqtrrd 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
25	1, 8, 9, 10, 3, 22	mapdcnvcl 42526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∈ 𝑆)
26	1, 9, 10, 8, 3, 11, 25	mapdord 42512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ 𝑋 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
27	24, 26	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))))
28	17	lsmub2 19786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (𝑀‘𝑌) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
29	13, 16, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
30	29, 23	sseqtrrd 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
31	1, 9, 10, 8, 3, 14, 25	mapdord 42512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ 𝑌 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
32	30, 31	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))))
33	1, 9, 3	dvhlmod 41984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
34	10	lsssssubg 21143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
36	35, 11	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
37	35, 14	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
38	35, 25	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39		mapdlsm.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
40	39	lsmlub 19792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((𝑋 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∧ 𝑌 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ (𝑋 ⊕ 𝑌) ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
41	36, 37, 38, 40	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∧ 𝑌 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ (𝑋 ⊕ 𝑌) ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
42	27, 32, 41	mpbi2and 725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))))
43	10, 39	lsmcl 21268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ 𝑆)
44	33, 11, 14, 43	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ 𝑆)
45	1, 9, 10, 8, 3, 44, 25	mapdord 42512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ (𝑋 ⊕ 𝑌) ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
46	42, 45	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
47	46, 23	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
48	39	lsmub1 19785	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌))
49	36, 37, 48	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌))
50	1, 9, 10, 8, 3, 11, 44	mapdord 42512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ↔ 𝑋 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌)))
51	49, 50	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)))
52	39	lsmub2 19786	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌))
53	36, 37, 52	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌))
54	1, 9, 10, 8, 3, 14, 44	mapdord 42512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ↔ 𝑌 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌)))
55	53, 54	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)))
56	1, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 44	mapdcl2 42530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∈ (LSubSp‘𝐶))
57	7, 56	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝐶))
58	17	lsmlub 19792	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌))) ↔ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌))))
59	13, 16, 57, 58	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌))) ↔ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌))))
60	51, 55, 59	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)))
61	47, 60	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5654  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  SubGrpcsubg 19244  LSSumclsm 19762  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  HLchlt 40224  LHypclh 40858  DVecHcdvh 41952  LCDualclcd 42460  mapdcmpd 42498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-oppg 19474  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-nzr 20674  df-rlreg 20857  df-domn 20858  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39850  df-lshyp 39851  df-lcv 39893  df-lfl 39932  df-lkr 39960  df-ldual 39998  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033  df-tgrp 41617  df-tendo 41629  df-edring 41631  df-dveca 41877  df-disoa 41903  df-dvech 41953  df-dib 42013  df-dic 42047  df-dih 42103  df-doch 42222  df-djh 42269  df-lcdual 42461  df-mapd 42499

This theorem is used by:  mapdindp  42545  mapdpglem1  42546  mapdheq4lem  42605  mapdh6lem1N  42607  mapdh6lem2N  42608  hdmap1l6lem1  42681  hdmap1l6lem2  42682  hdmaprnlem3eN  42732