Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdlsm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdlsm 40530
Description: Subspace sum is preserved by the map defined by df-mapd 40491. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdlsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdlsm.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
mapdlsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
mapdlsm.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdlsm.q ✚ = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdlsm.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdlsm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdlsm.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdlsm (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem mapdlsm
StepHypRef Expression
1 mapdlsm.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdlsm.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdlsm.k . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40458 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
65lsssssubg 20568 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
8 mapdlsm.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdlsm.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 mapdlsm.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
11 mapdlsm.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
121, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 11mapdcl2 40522 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
137, 12sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
14 mapdlsm.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
151, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 14mapdcl2 40522 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
167, 15sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
17 mapdlsm.q . . . . . . . . 9 ✚ = (LSSumβ€˜πΆ)
1817lsmub1 19524 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
1913, 16, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
201, 8, 9, 10, 3, 11mapdcl 40519 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ ran 𝑀)
211, 8, 9, 10, 3, 14mapdcl 40519 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ ran 𝑀)
221, 8, 9, 2, 17, 3, 20, 21mapdlsmcl 40529 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∈ ran 𝑀)
231, 8, 3, 22mapdcnvid2 40523 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
2419, 23sseqtrrd 4023 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
251, 8, 9, 10, 3, 22mapdcnvcl 40518 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ 𝑆)
261, 9, 10, 8, 3, 11, 25mapdord 40504 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ 𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
2724, 26mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
2817lsmub2 19525 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
2913, 16, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
3029, 23sseqtrrd 4023 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
311, 9, 10, 8, 3, 14, 25mapdord 40504 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
3230, 31mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
331, 9, 3dvhlmod 39976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
3410lsssssubg 20568 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3635, 11sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3735, 14sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3835, 25sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
39 mapdlsm.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
4039lsmlub 19531 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∧ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4136, 37, 38, 40syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))) ∧ π‘Œ βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4227, 32, 41mpbi2and 710 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ))))
4310, 39lsmcl 20693 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ∈ 𝑆)
4433, 11, 14, 43syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βŠ• π‘Œ) ∈ 𝑆)
451, 9, 10, 8, 3, 44, 25mapdord 40504 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 βŠ• π‘Œ) βŠ† (β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4642, 45mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))))
4746, 23sseqtrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
4839lsmub1 19524 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
4936, 37, 48syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
501, 9, 10, 8, 3, 11, 44mapdord 40504 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ↔ 𝑋 βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5149, 50mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5239lsmub2 19525 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
5336, 37, 52syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ))
541, 9, 10, 8, 3, 14, 44mapdord 40504 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ↔ π‘Œ βŠ† (𝑋 βŠ• π‘Œ)))
5553, 54mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
561, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 44mapdcl2 40522 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
577, 56sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
5817lsmlub 19531 . . . 4 (((π‘€β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ)) β†’ (((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))))
5913, 16, 57, 58syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ))))
6051, 55, 59mpbi2and 710 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)))
6147, 60eqssd 3999 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝑋 βŠ• π‘Œ)) = ((π‘€β€˜π‘‹) ✚ (π‘€β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  β—‘ccnv 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19501  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  LCDualclcd 40452  mapdcmpd 40490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lcv 37884  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261  df-lcdual 40453  df-mapd 40491
This theorem is referenced by:  mapdindp  40537  mapdpglem1  40538  mapdheq4lem  40597  mapdh6lem1N  40599  mapdh6lem2N  40600  hdmap1l6lem1  40673  hdmap1l6lem2  40674  hdmaprnlem3eN  40724
  Copyright terms: Public domain W3C validator