Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem9 37650
Description: Lemma for dia2dim 37655. Eliminate (𝑅𝐹) ≠ 𝑈, 𝑉 conditions. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem9.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem9.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem9.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem9.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem9.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem9.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem9.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem9.y 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem9.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem9.pl = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem9.n 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem9.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem9.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem9.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem9.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem9.f (𝜑𝐹𝑇)
dia2dimlem9.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem9.uv (𝜑𝑈𝑉)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem9
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem9.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dia2dimlem9.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dia2dimlem9.y . . . . . . . 8 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
42, 3dvalvec 37604 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ∈ LVec)
5 lveclmod 19600 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
6 dia2dimlem9.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
76lsssssubg 19452 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
81, 4, 5, 74syl 19 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
9 dia2dimlem9.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
109simpld 487 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
11 eqid 2779 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12 dia2dimlem9.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1311, 12atbase 35867 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
159simprd 488 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 𝑊)
16 dia2dimlem9.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
17 dia2dimlem9.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
1811, 16, 2, 3, 17, 6dialss 37624 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 𝑊)) → (𝐼𝑈) ∈ 𝑆)
191, 14, 15, 18syl12anc 824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑈) ∈ 𝑆)
208, 19sseldd 3860 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌))
21 dia2dimlem9.v . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
2221simpld 487 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉𝐴)
2311, 12atbase 35867 . . . . . . . 8 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2521simprd 488 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 𝑊)
2611, 16, 2, 3, 17, 6dialss 37624 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 𝑊)) → (𝐼𝑉) ∈ 𝑆)
271, 24, 25, 26syl12anc 824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ 𝑆)
288, 27sseldd 3860 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌))
29 dia2dimlem9.pl . . . . . 6 = (LSSum‘𝑌)
3029lsmub1 18542 . . . . 5 (((𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌)) → (𝐼𝑈) ⊆ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
3120, 28, 30syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑈) ⊆ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
3231adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑈) → (𝐼𝑈) ⊆ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
33 dia2dimlem9.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑇)
34 dia2dimlem9.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
35 dia2dimlem9.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
362, 34, 35, 17dia1dimid 37641 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑅𝐹)))
371, 33, 36syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑅𝐹)))
3837adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑅𝐹)))
39 fveq2 6499 . . . . 5 ((𝑅𝐹) = 𝑈 → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝐼𝑈))
4039adantl 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑈) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝐼𝑈))
4138, 40eleqtrd 2869 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐼𝑈))
4232, 41sseldd 3860 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑈) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
4320adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑉) → (𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌))
4428adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑉) → (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌))
4529lsmub2 18543 . . . 4 (((𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌)) → (𝐼𝑉) ⊆ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
4643, 44, 45syl2anc 576 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑉) → (𝐼𝑉) ⊆ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
4737adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑅𝐹)))
48 fveq2 6499 . . . . 5 ((𝑅𝐹) = 𝑉 → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝐼𝑉))
4948adantl 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑉) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝐼𝑉))
5047, 49eleqtrd 2869 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐼𝑉))
5146, 50sseldd 3860 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑅𝐹) = 𝑉) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
52 dia2dimlem9.j . . 3 = (join‘𝐾)
53 dia2dimlem9.m . . 3 = (meet‘𝐾)
54 dia2dimlem9.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
551adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
569adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
5721adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
5833adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → 𝐹𝑇)
59 dia2dimlem9.rf . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
6059adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
61 dia2dimlem9.uv . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
6261adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → 𝑈𝑉)
63 simprl 758 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
64 simprr 760 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
6516, 52, 53, 12, 2, 34, 35, 3, 6, 29, 54, 17, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64dia2dimlem8 37649 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑅𝐹) ≠ 𝑈 ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)) → 𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
6642, 51, 65pm2.61da2ne 3057 1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wss 3830   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  lecple 16428  joincjn 17412  meetcmee 17413  SubGrpcsubg 18057  LSSumclsm 18520  LModclmod 19356  LSubSpclss 19425  LSpanclspn 19465  LVecclvec 19596  Atomscatm 35841  HLchlt 35928  LHypclh 36562  LTrncltrn 36679  trLctrl 36736  DVecAcdveca 37580  DIsoAcdia 37606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-riotaBAD 35531
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-undef 7742  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-0g 16571  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-cntz 18218  df-lsm 18522  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-drng 19227  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-lvec 19597  df-oposet 35754  df-ol 35756  df-oml 35757  df-covers 35844  df-ats 35845  df-atl 35876  df-cvlat 35900  df-hlat 35929  df-llines 36076  df-lplanes 36077  df-lvols 36078  df-lines 36079  df-psubsp 36081  df-pmap 36082  df-padd 36374  df-lhyp 36566  df-laut 36567  df-ldil 36682  df-ltrn 36683  df-trl 36737  df-tgrp 37321  df-tendo 37333  df-edring 37335  df-dveca 37581  df-disoa 37607
This theorem is referenced by:  dia2dimlem11  37652
  Copyright terms: Public domain W3C validator