Theorem mapdhvmap 41717

Description: Relationship between mapd and HVMap, which can be used to satisfy the last hypothesis of mapdpg 41654. Equation 10 of [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdhvmap.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdhvmap.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdhvmap.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdhvmap.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdhvmap.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdhvmap.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdhvmap.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdhvmap.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdhvmap.p	⊢ 𝑃 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
mapdhvmap.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhvmap.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
mapdhvmap	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(𝑃‘𝑋)}))

Proof of Theorem mapdhvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdhvmap.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdhvmap.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdhvmap.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdhvmap.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		mapdhvmap.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
9		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LSpan‘(LDual‘𝑈)) = (LSpan‘(LDual‘𝑈))
11		mapdhvmap.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		mapdhvmap.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		mapdhvmap.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
15		mapdhvmap.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
16	1, 4, 5, 14, 7, 15, 11, 12	hvmaplfl 41715	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
17	1, 2, 4, 5, 14, 8, 15, 11, 12	hvmaplkr 41716	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑃‘𝑋)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋}))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17	mapdsn3 41591	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = ((LSpan‘(LDual‘𝑈))‘{(𝑃‘𝑋)}))
19		mapdhvmap.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
20		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
21		mapdhvmap.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
22		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
23	1, 4, 5, 14, 19, 20, 22, 15, 11, 12	hvmapcl2 41714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}))
24	23	eldifad 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
25	24	snssd 4783	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑋)} ⊆ (Base‘𝐶))
26	1, 4, 9, 10, 19, 20, 21, 11, 25	lcdlsp 41569	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(𝑃‘𝑋)}) = ((LSpan‘(LDual‘𝑈))‘{(𝑃‘𝑋)}))
27	18, 26	eqtr4d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(𝑃‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3921  {csn 4599  ‘cfv 6528  Basecbs 17215  0_gc0g 17440  LSpanclspn 20915  LFnlclfn 39004  LKerclk 39032  LDualcld 39070  HLchlt 39297  LHypclh 39932  DVecHcdvh 41026  ocHcoch 41295  LCDualclcd 41534  mapdcmpd 41572  HVMapchvm 41704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-riotaBAD 38900

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7666  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-tpos 8220  df-undef 8267  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-er 8714  df-map 8837  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-0g 17442  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-proset 18293  df-poset 18312  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cntz 19287  df-oppg 19316  df-lsm 19604  df-cmn 19750  df-abl 19751  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20284  df-dvdsr 20304  df-unit 20305  df-invr 20335  df-dvr 20348  df-nzr 20460  df-rlreg 20641  df-domn 20642  df-drng 20678  df-lmod 20806  df-lss 20876  df-lsp 20916  df-lvec 21048  df-lsatoms 38923  df-lshyp 38924  df-lcv 38966  df-lfl 39005  df-lkr 39033  df-ldual 39071  df-oposet 39123  df-ol 39125  df-oml 39126  df-covers 39213  df-ats 39214  df-atl 39245  df-cvlat 39269  df-hlat 39298  df-llines 39446  df-lplanes 39447  df-lvols 39448  df-lines 39449  df-psubsp 39451  df-pmap 39452  df-padd 39744  df-lhyp 39936  df-laut 39937  df-ldil 40052  df-ltrn 40053  df-trl 40107  df-tgrp 40691  df-tendo 40703  df-edring 40705  df-dveca 40951  df-disoa 40977  df-dvech 41027  df-dib 41087  df-dic 41121  df-dih 41177  df-doch 41296  df-djh 41343  df-lcdual 41535  df-mapd 41573  df-hvmap 41705

This theorem is referenced by:  hdmapcl  41778  hdmapval2lem  41779  hdmapval0  41781  hdmapeveclem  41782  hdmapval3lemN  41785  hdmap10lem  41787  hdmap11lem1  41789