Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8b 39450
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8b.f (𝜑𝐺𝐷)
mapdh8b.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdh8b.a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
mapdh8b.x (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8b.y (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8b.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8b.xt (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8b.vw (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8b.e (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
mapdh8b.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝐸,𝑥   𝑤,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐸(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑥,𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem mapdh8b
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . 2 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . 2 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh8b.f . 2 (𝜑𝐺𝐷)
16 mapdh8b.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
17 mapdh8b.a . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
18 mapdh8b.x . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh8b.y . 2 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh8b.yz . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
21 mapdh8b.xt . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
221, 2, 14dvhlvec 38779 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2318eldifad 3865 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2419eldifad 3865 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
2521eldifad 3865 . . . 4 (𝜑𝑇𝑉)
26 mapdh8b.e . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
27 mapdh8b.xn . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
283, 6, 22, 23, 24, 25, 26, 27lspindp5 39440 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
29 prcom 4633 . . . . . 6 {𝑤, 𝑇} = {𝑇, 𝑤}
3029fveq2i 6690 . . . . 5 (𝑁‘{𝑤, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑤})
3130eleq2i 2825 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑇}) ↔ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤}))
3222adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑈 ∈ LVec)
3318adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3425adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑇𝑉)
3524adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑤𝑉)
36 mapdh8b.vw . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
3736adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
38 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤}))
393, 5, 6, 32, 33, 34, 35, 37, 38lspexch 20033 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
4039ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤}) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
4131, 40syl5bi 245 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑇}) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
4228, 41mtod 201 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑇}))
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 42mapdh8a 39445 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  Vcvv 3400  cdif 3850  ifcif 4424  {csn 4526  {cpr 4528  cotp 4534  cmpt 5120  cfv 6350  crio 7139  (class class class)co 7183  1st c1st 7725  2nd c2nd 7726  Basecbs 16599  0gc0g 16829  -gcsg 18234  LSpanclspn 19875  LVecclvec 20006  HLchlt 37020  LHypclh 37654  DVecHcdvh 38748  LCDualclcd 39256  mapdcmpd 39294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-riotaBAD 36623
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-undef 7981  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-0g 16831  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-lub 17713  df-glb 17714  df-join 17715  df-meet 17716  df-p0 17778  df-p1 17779  df-lat 17785  df-clat 17847  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-subg 18407  df-cntz 18578  df-oppg 18605  df-lsm 18892  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-unit 19527  df-invr 19557  df-dvr 19568  df-drng 19636  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-lvec 20007  df-lsatoms 36646  df-lshyp 36647  df-lcv 36689  df-lfl 36728  df-lkr 36756  df-ldual 36794  df-oposet 36846  df-ol 36848  df-oml 36849  df-covers 36936  df-ats 36937  df-atl 36968  df-cvlat 36992  df-hlat 37021  df-llines 37168  df-lplanes 37169  df-lvols 37170  df-lines 37171  df-psubsp 37173  df-pmap 37174  df-padd 37466  df-lhyp 37658  df-laut 37659  df-ldil 37774  df-ltrn 37775  df-trl 37829  df-tgrp 38413  df-tendo 38425  df-edring 38427  df-dveca 38673  df-disoa 38699  df-dvech 38749  df-dib 38809  df-dic 38843  df-dih 38899  df-doch 39018  df-djh 39065  df-lcdual 39257  df-mapd 39295
This theorem is referenced by:  mapdh8c  39451  mapdh8d0N  39452  mapdh8d  39453
  Copyright terms: Public domain W3C validator