Theorem lcdlss 42434

Description: Subspaces of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlss.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
lcdlss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdlss.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcdlss.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdlss.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcdlss.b	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcdlss.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdlss	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝐿   𝑓,𝑂   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)

Proof of Theorem lcdlss

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
2		lcdlss.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcdlss.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdlss.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdlss.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdlss.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcdlss.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lcdlss.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		lcdlss.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcdlss.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcdval2 42405	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐷 ↾s 𝐵))
12	11	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘(𝐷 ↾s 𝐵)))
13	1, 12	eqtrid 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘(𝐷 ↾s 𝐵)))
14	13	eleq2d 2852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↔ 𝑢 ∈ (LSubSp‘(𝐷 ↾s 𝐵))))
15	2, 5, 9	dvhlmod 41925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16	8, 15	lduallmod 39968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
17		lcdlss.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
18	2, 5, 3, 6, 7, 8, 17, 10, 9	lclkr 42348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
19		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ↾s 𝐵) = (𝐷 ↾s 𝐵)
20		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘(𝐷 ↾s 𝐵)) = (LSubSp‘(𝐷 ↾s 𝐵))
21	19, 17, 20	lsslss 21119	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (𝑢 ∈ (LSubSp‘(𝐷 ↾s 𝐵)) ↔ (𝑢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ⊆ 𝐵)))
22	16, 18, 21	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (LSubSp‘(𝐷 ↾s 𝐵)) ↔ (𝑢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ⊆ 𝐵)))
23	14, 22	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ⊆ 𝐵)))
24		elin 3924	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐵))
25		velpw 4572	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑢 ⊆ 𝐵)
26	25	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ⊆ 𝐵))
27	24, 26	bitr2i 279	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ⊆ 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵))
28	23, 27	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↔ 𝑢 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵)))
29	28	eqrdv 2764	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↾_s cress 17315  LModclmod 21018  LSubSpclss 21089  LFnlclfn 39872  LKerclk 39900  LDualcld 39938  HLchlt 40165  LHypclh 40799  DVecHcdvh 41893  ocHcoch 42162  LCDualclcd 42401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-riotaBAD 39768

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-nzr 20647  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261  df-lsatoms 39791  df-lshyp 39792  df-lcv 39834  df-lfl 39873  df-lkr 39901  df-ldual 39939  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-llines 40313  df-lplanes 40314  df-lvols 40315  df-lines 40316  df-psubsp 40318  df-pmap 40319  df-padd 40611  df-lhyp 40803  df-laut 40804  df-ldil 40919  df-ltrn 40920  df-trl 40974  df-tgrp 41558  df-tendo 41570  df-edring 41572  df-dveca 41818  df-disoa 41844  df-dvech 41894  df-dib 41954  df-dic 41988  df-dih 42044  df-doch 42163  df-djh 42210  df-lcdual 42402

This theorem is used by:  lcdlss2N  42435  mapdrn2  42466