Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdlss 38908
Description: Subspaces of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdlss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlss.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
lcdlss.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdlss.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcdlss.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdlss.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcdlss.b 𝐵 = {𝑓𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcdlss.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lcdlss (𝜑𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝐿   𝑓,𝑂   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)

Proof of Theorem lcdlss
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdlss.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
2 lcdlss.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lcdlss.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcdlss.c . . . . . . . 8 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5 lcdlss.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 lcdlss.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcdlss.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 lcdlss.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9 lcdlss.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 lcdlss.b . . . . . . . 8 𝐵 = {𝑓𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcdval2 38879 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (𝐷s 𝐵))
1211fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘(𝐷s 𝐵)))
131, 12syl5eq 2848 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (LSubSp‘(𝐷s 𝐵)))
1413eleq2d 2878 . . . 4 (𝜑 → (𝑢𝑆𝑢 ∈ (LSubSp‘(𝐷s 𝐵))))
152, 5, 9dvhlmod 38399 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
168, 15lduallmod 36442 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
17 lcdlss.t . . . . . 6 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
182, 5, 3, 6, 7, 8, 17, 10, 9lclkr 38822 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑇)
19 eqid 2801 . . . . . 6 (𝐷s 𝐵) = (𝐷s 𝐵)
20 eqid 2801 . . . . . 6 (LSubSp‘(𝐷s 𝐵)) = (LSubSp‘(𝐷s 𝐵))
2119, 17, 20lsslss 19729 . . . . 5 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑇) → (𝑢 ∈ (LSubSp‘(𝐷s 𝐵)) ↔ (𝑢𝑇𝑢𝐵)))
2216, 18, 21syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑢 ∈ (LSubSp‘(𝐷s 𝐵)) ↔ (𝑢𝑇𝑢𝐵)))
2314, 22bitrd 282 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↔ (𝑢𝑇𝑢𝐵)))
24 elin 3900 . . . 4 (𝑢 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑢𝑇𝑢 ∈ 𝒫 𝐵))
25 velpw 4505 . . . . 5 (𝑢 ∈ 𝒫 𝐵𝑢𝐵)
2625anbi2i 625 . . . 4 ((𝑢𝑇𝑢 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑢𝑇𝑢𝐵))
2724, 26bitr2i 279 . . 3 ((𝑢𝑇𝑢𝐵) ↔ 𝑢 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵))
2823, 27syl6bb 290 . 2 (𝜑 → (𝑢𝑆𝑢 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵)))
2928eqrdv 2799 1 (𝜑𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {crab 3113  cin 3883  wss 3884  𝒫 cpw 4500  cfv 6328  (class class class)co 7139  s cress 16479  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LFnlclfn 36346  LKerclk 36374  LDualcld 36412  HLchlt 36639  LHypclh 37273  DVecHcdvh 38367  ocHcoch 38636  LCDualclcd 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36242
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871  df-lsatoms 36265  df-lshyp 36266  df-lcv 36308  df-lfl 36347  df-lkr 36375  df-ldual 36413  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-tgrp 38032  df-tendo 38044  df-edring 38046  df-dveca 38292  df-disoa 38318  df-dvech 38368  df-dib 38428  df-dic 38462  df-dih 38518  df-doch 38637  df-djh 38684  df-lcdual 38876
This theorem is referenced by:  lcdlss2N  38909  mapdrn2  38940
  Copyright terms: Public domain W3C validator