Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdlvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdlvec 38799
 Description: The dual vector space of functionals with closed kernels is a left vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdlmod.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlmod.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlmod.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lcdlvec (𝜑𝐶 ∈ LVec)

Proof of Theorem lcdlvec
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdlmod.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2824 . . 3 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdlmod.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2824 . . 3 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2824 . . 3 (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
6 eqid 2824 . . 3 (LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7 eqid 2824 . . 3 (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8 lcdlmod.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcdval 38797 . 2 (𝜑𝐶 = ((LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)}))
101, 4, 8dvhlvec 38317 . . . 4 (𝜑 → ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
117, 10lduallvec 36362 . . 3 (𝜑 → (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∈ LVec)
12 eqid 2824 . . . 4 (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13 eqid 2824 . . . 4 {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)}
141, 4, 2, 5, 6, 7, 12, 13, 8lclkr 38741 . . 3 (𝜑 → {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))
15 eqid 2824 . . . 4 ((LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)}) = ((LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)})
1615, 12lsslvec 19874 . . 3 (((LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∈ LVec ∧ {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → ((LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)}) ∈ LVec)
1711, 14, 16syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)}) ∈ LVec)
189, 17eqeltrd 2916 1 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3137  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   ↾s cress 16482  LSubSpclss 19698  LVecclvec 19869  LFnlclfn 36265  LKerclk 36293  LDualcld 36331  HLchlt 36558  LHypclh 37192  DVecHcdvh 38286  ocHcoch 38555  LCDualclcd 38794 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36161 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-0g 16713  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-proset 17536  df-poset 17554  df-plt 17566  df-lub 17582  df-glb 17583  df-join 17584  df-meet 17585  df-p0 17647  df-p1 17648  df-lat 17654  df-clat 17716  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-subg 18274  df-cntz 18445  df-oppg 18472  df-lsm 18759  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-dvr 19431  df-drng 19499  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lvec 19870  df-lsatoms 36184  df-lshyp 36185  df-lcv 36227  df-lfl 36266  df-lkr 36294  df-ldual 36332  df-oposet 36384  df-ol 36386  df-oml 36387  df-covers 36474  df-ats 36475  df-atl 36506  df-cvlat 36530  df-hlat 36559  df-llines 36706  df-lplanes 36707  df-lvols 36708  df-lines 36709  df-psubsp 36711  df-pmap 36712  df-padd 37004  df-lhyp 37196  df-laut 37197  df-ldil 37312  df-ltrn 37313  df-trl 37367  df-tgrp 37951  df-tendo 37963  df-edring 37965  df-dveca 38211  df-disoa 38237  df-dvech 38287  df-dib 38347  df-dic 38381  df-dih 38437  df-doch 38556  df-djh 38603  df-lcdual 38795 This theorem is referenced by:  lcdlmod  38800  mapdcnvatN  38874  mapdat  38875  mapdpglem18  38897  mapdpglem20  38899  mapdpglem22  38901  mapdpglem26  38906  mapdpglem27  38907  mapdpglem30  38910  mapdheq4lem  38939  mapdh6lem1N  38941  mapdh6lem2N  38942  hdmap1l6lem1  39015  hdmap1l6lem2  39016  hdmaprnlem3N  39058  hdmaprnlem3uN  39059  hdmaprnlem9N  39065  hdmap14lem2a  39075  hdmap14lem2N  39077  hdmap14lem3  39078  hdmap14lem6  39081  hdmap14lem9  39084  hgmapval0  39100  hgmapval1  39101  hgmapadd  39102  hgmapmul  39103  hgmaprnlem1N  39104
 Copyright terms: Public domain W3C validator