Theorem lsatdim 34135

Description: A line, spanned by a nonzero singleton, has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lbslsat.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lsatdim	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = 1)

Proof of Theorem lsatdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21296	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
4		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6		lbslsat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lbslsat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	6, 7, 8	lspcl 21166	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	3, 5, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11		lbslsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))
12	11, 7	lsslvec 21299	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
13	1, 10, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
14		lbslsat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15	6, 8, 14, 11	lbslsat 34134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
17	16	dimval 34119	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ LVec ∧ {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌)) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
18	13, 15, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
19		hashsng 14437	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑋}) = 1)
20	4, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (♯‘{𝑋}) = 1)
21	18, 20	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1c1 11129  ♯chash 14398  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  0_gc0g 17530  LModclmod 21050  LSubSpclss 21121  LSpanclspn 21161  LBasisclbs 21264  LVecclvec 21292  dimcldim 34117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-reg 9568  ax-inf2 9624  ax-ac2 10469  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-oi 9486  df-r1 9750  df-rank 9751  df-scott 9872  df-card 9948  df-acn 9951  df-ac 10123  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ocomp 17369  df-0g 17532  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-mri 17678  df-acs 17679  df-proset 18388  df-drs 18389  df-poset 18407  df-ipo 18622  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lbs 21265  df-lvec 21293  df-dim 34118

This theorem is used by:  drngdimgt0  34136