Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatdim 31694
Description: A line, spanned by a nonzero singleton, has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z 0 = (0g𝑊)
lbslsat.y 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lsatdim ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (dim‘𝑌) = 1)

Proof of Theorem lsatdim
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 20364 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
4 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
54snssd 4748 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 eqid 2740 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
96, 7, 8lspcl 20234 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
103, 5, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11 lbslsat.y . . . . 5 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
1211, 7lsslvec 20365 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
131, 10, 12syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
14 lbslsat.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
156, 8, 14, 11lbslsat 31693 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
16 eqid 2740 . . . 4 (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
1716dimval 31680 . . 3 ((𝑌 ∈ LVec ∧ {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌)) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
1813, 15, 17syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
19 hashsng 14080 . . 3 (𝑋𝑉 → (♯‘{𝑋}) = 1)
204, 19syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (♯‘{𝑋}) = 1)
2118, 20eqtrd 2780 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (dim‘𝑌) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wss 3892  {csn 4567  cfv 6431  (class class class)co 7269  1c1 10871  chash 14040  Basecbs 16908  s cress 16937  0gc0g 17146  LModclmod 20119  LSubSpclss 20189  LSpanclspn 20229  LBasisclbs 20332  LVecclvec 20360  dimcldim 31678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-reg 9327  ax-inf2 9375  ax-ac2 10218  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-oi 9245  df-r1 9521  df-rank 9522  df-card 9696  df-acn 9699  df-ac 9871  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-fz 13237  df-hash 14041  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ocomp 16979  df-0g 17148  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-mri 17293  df-acs 17294  df-proset 18009  df-drs 18010  df-poset 18027  df-ipo 18242  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-sbg 18578  df-subg 18748  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-oppr 19858  df-dvdsr 19879  df-unit 19880  df-invr 19910  df-drng 19989  df-lmod 20121  df-lss 20190  df-lsp 20230  df-lbs 20333  df-lvec 20361  df-dim 31679
This theorem is referenced by:  drngdimgt0  31695
  Copyright terms: Public domain W3C validator