Theorem lsatdim 31602

Description: A line, spanned by a nonzero singleton, has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lbslsat.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lsatdim	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = 1)

Proof of Theorem lsatdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20283	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
4		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4739	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6		lbslsat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lbslsat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	6, 7, 8	lspcl 20153	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	3, 5, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11		lbslsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))
12	11, 7	lsslvec 20284	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
13	1, 10, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
14		lbslsat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15	6, 8, 14, 11	lbslsat 31601	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
17	16	dimval 31588	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ LVec ∧ {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌)) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
18	13, 15, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
19		hashsng 14012	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑋}) = 1)
20	4, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (♯‘{𝑋}) = 1)
21	18, 20	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  ♯chash 13972  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LBasisclbs 20251  LVecclvec 20279  dimcldim 31586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-r1 9453  df-rank 9454  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ocomp 16909  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-mri 17214  df-acs 17215  df-proset 17928  df-drs 17929  df-poset 17946  df-ipo 18161  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lbs 20252  df-lvec 20280  df-dim 31587

This theorem is referenced by:  drngdimgt0  31603