Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatdim 33645
Description: A line, spanned by a nonzero singleton, has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z 0 = (0g𝑊)
lbslsat.y 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lsatdim ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (dim‘𝑌) = 1)

Proof of Theorem lsatdim
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21123 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
4 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
54snssd 4814 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 eqid 2735 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
96, 7, 8lspcl 20992 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
103, 5, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11 lbslsat.y . . . . 5 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
1211, 7lsslvec 21126 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
131, 10, 12syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
14 lbslsat.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
156, 8, 14, 11lbslsat 33644 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
16 eqid 2735 . . . 4 (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
1716dimval 33628 . . 3 ((𝑌 ∈ LVec ∧ {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌)) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
1813, 15, 17syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
19 hashsng 14405 . . 3 (𝑋𝑉 → (♯‘{𝑋}) = 1)
204, 19syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (♯‘{𝑋}) = 1)
2118, 20eqtrd 2775 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (dim‘𝑌) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  chash 14366  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LBasisclbs 21091  LVecclvec 21119  dimcldim 33626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-r1 9802  df-rank 9803  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-mri 17633  df-acs 17634  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lbs 21092  df-lvec 21120  df-dim 33627
This theorem is referenced by:  drngdimgt0  33646
  Copyright terms: Public domain W3C validator