Theorem lsatdim 33620

Description: A line, spanned by a nonzero singleton, has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lbslsat.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lsatdim	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = 1)

Proof of Theorem lsatdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21033	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
4		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4759	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6		lbslsat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lbslsat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	6, 7, 8	lspcl 20902	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11		lbslsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))
12	11, 7	lsslvec 21036	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
13	1, 10, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
14		lbslsat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15	6, 8, 14, 11	lbslsat 33619	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
16		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
17	16	dimval 33603	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ LVec ∧ {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌)) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
18	13, 15, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = (♯‘{𝑋}))
19		hashsng 14268	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑋}) = 1)
20	4, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (♯‘{𝑋}) = 1)
21	18, 20	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (dim‘𝑌) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3900  {csn 4574  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1c1 10999  ♯chash 14229  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133  0_gc0g 17335  LModclmod 20786  LSubSpclss 20857  LSpanclspn 20897  LBasisclbs 21001  LVecclvec 21029  dimcldim 33601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-oi 9391  df-r1 9649  df-rank 9650  df-card 9824  df-acn 9827  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-hash 14230  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ocomp 17174  df-0g 17337  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-mri 17482  df-acs 17483  df-proset 18192  df-drs 18193  df-poset 18211  df-ipo 18426  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-lbs 21002  df-lvec 21030  df-dim 33602

This theorem is referenced by:  drngdimgt0  33621