Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatdim 33320
Description: A line, spanned by a nonzero singleton, has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbslsat.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lbslsat.y π‘Œ = (π‘Š β†Ύs (π‘β€˜{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lsatdim ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (dimβ€˜π‘Œ) = 1)

Proof of Theorem lsatdim
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20996 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 simp2 1134 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
54snssd 4815 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
6 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 eqid 2727 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
8 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
96, 7, 8lspcl 20865 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
103, 5, 9syl2anc 582 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
11 lbslsat.y . . . . 5 π‘Œ = (π‘Š β†Ύs (π‘β€˜{𝑋}))
1211, 7lsslvec 20999 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
131, 10, 12syl2anc 582 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
14 lbslsat.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
156, 8, 14, 11lbslsat 33319 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))
16 eqid 2727 . . . 4 (LBasisβ€˜π‘Œ) = (LBasisβ€˜π‘Œ)
1716dimval 33303 . . 3 ((π‘Œ ∈ LVec ∧ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ)) β†’ (dimβ€˜π‘Œ) = (β™―β€˜{𝑋}))
1813, 15, 17syl2anc 582 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (dimβ€˜π‘Œ) = (β™―β€˜{𝑋}))
19 hashsng 14366 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{𝑋}) = 1)
204, 19syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (β™―β€˜{𝑋}) = 1)
2118, 20eqtrd 2767 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (dimβ€˜π‘Œ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936   βŠ† wss 3947  {csn 4630  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  1c1 11145  β™―chash 14327  Basecbs 17185   β†Ύs cress 17214  0gc0g 17426  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820  LSpanclspn 20860  LBasisclbs 20964  LVecclvec 20992  dimcldim 33301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-reg 9621  ax-inf2 9670  ax-ac2 10492  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-oi 9539  df-r1 9793  df-rank 9794  df-card 9968  df-acn 9971  df-ac 10145  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ocomp 17259  df-0g 17428  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-mri 17573  df-acs 17574  df-proset 18292  df-drs 18293  df-poset 18310  df-ipo 18525  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lbs 20965  df-lvec 20993  df-dim 33302
This theorem is referenced by:  drngdimgt0  33321
  Copyright terms: Public domain W3C validator