Theorem metcnp4 23327

Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. Theorem 14-4.3 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcnp4.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcnp4.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metcnp4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
metcnp4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
metcnp4.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
metcnp4	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑃,𝑓   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝐾

Proof of Theorem metcnp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcnp4.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metcnp4.3	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
3	2	met1stc 22546	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
5	2	mopntopon 22464	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		metcnp4.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
8		metcnp4.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
9	8	mopntopon 22464	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
11		metcnp4.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
12	4, 6, 10, 11	1stccnp 21486	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382  ∀wal 1629   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℕcn 11222  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  TopOnctopon 20935   CnP ccnp 21250  ⇝_𝑡clm 21251  1^st𝜔c1stc 21461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-acn 8968  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12534  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-1stc 21463

This theorem is referenced by: (None)