Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnp4 23912
 Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. Theorem 14-4.3 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metcnp4.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcnp4.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metcnp4.5 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
metcnp4.6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
metcnp4.7 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
metcnp4 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑃,𝑓   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝐾

Proof of Theorem metcnp4
StepHypRef Expression
1 metcnp4.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 metcnp4.3 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
32met1stc 23126 . . 3 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝐽 ∈ 1stω)
52mopntopon 23044 . . 3 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
61, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 metcnp4.6 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
8 metcnp4.4 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
98mopntopon 23044 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
107, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
11 metcnp4.7 . 2 (𝜑𝑃𝑋)
124, 6, 10, 111stccnp 22065 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053   ∘ ccom 5547  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  ℕcn 11632  ∞Metcxmet 20525  MetOpencmopn 20530  TopOnctopon 21513   CnP ccnp 21828  ⇝𝑡clm 21829  1stωc1stc 22040 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-card 9361  df-acn 9364  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-fz 12893  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-cnp 21831  df-lm 21832  df-1stc 22042 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator