MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnp4 24626
Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. Theorem 14-4.3 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metcnp4.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcnp4.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metcnp4.5 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
metcnp4.6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
metcnp4.7 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
metcnp4 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑃,𝑓   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝐾

Proof of Theorem metcnp4
StepHypRef Expression
1 metcnp4.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 metcnp4.3 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
32met1stc 23829 . . 3 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝐽 ∈ 1stω)
52mopntopon 23744 . . 3 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
61, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 metcnp4.6 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
8 metcnp4.4 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
98mopntopon 23744 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
107, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
11 metcnp4.7 . 2 (𝜑𝑃𝑋)
124, 6, 10, 111stccnp 22765 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  ccom 5636  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  cn 12112  ∞Metcxmet 20734  MetOpencmopn 20739  TopOnctopon 22211   CnP ccnp 22528  𝑡clm 22529  1stωc1stc 22740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cc 10330  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-inf 9338  df-card 9834  df-acn 9837  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-fz 13380  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-top 22195  df-topon 22212  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-cnp 22531  df-lm 22532  df-1stc 22742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator