Theorem metcnp4 25208

Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. Theorem 14-4.3 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcnp4.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcnp4.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metcnp4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
metcnp4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
metcnp4.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
metcnp4	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑃,𝑓   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝐾

Proof of Theorem metcnp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcnp4.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metcnp4.3	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
3	2	met1stc 24407	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
5	2	mopntopon 24325	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		metcnp4.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
8		metcnp4.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
9	8	mopntopon 24325	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
11		metcnp4.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
12	4, 6, 10, 11	1stccnp 23347	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑃)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℕcn 12128  ∞Metcxmet 21246  MetOpencmopn 21251  TopOnctopon 22795   CnP ccnp 23110  ⇝_𝑡clm 23111  1^stωc1stc 23322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-fz 13411  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-cnp 23113  df-lm 23114  df-1stc 23324

This theorem is referenced by: (None)