MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metelcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metelcls 25177
Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 10427. The statement can be generalized to first-countable spaces, not just metrizable spaces. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metelcls.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metelcls.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metelcls.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
metelcls (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑃,𝑓   𝑆,𝑓   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem metelcls
StepHypRef Expression
1 metelcls.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 metelcls.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
32met1stc 24374 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
5 metelcls.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
62mopnuni 24291 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
71, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
85, 7sseqtrd 4015 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 eqid 2724 . . 3 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1091stcelcls 23309 . 2 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
114, 8, 10syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  β„•cn 12211  βˆžMetcxmet 21219  MetOpencmopn 21224  clsccl 22866  β‡π‘‘clm 23074  1stΟ‰c1stc 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-fz 13486  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-lm 23077  df-1stc 23287
This theorem is referenced by:  metcld  25178
  Copyright terms: Public domain W3C validator