Theorem metelcls 25606

Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 10494. The statement can be generalized to first-countable spaces, not just metrizable spaces. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metelcls.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metelcls.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metelcls.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
metelcls	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑃,𝑓   𝑆,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem metelcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metelcls.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metelcls.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	met1stc 24820	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
5		metelcls.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
6	2	mopnuni 24740	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	1, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	5, 7	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9		eqid 2761	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	1stcelcls 23760	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
11	4, 8, 10	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℕcn 12316  ∞Metcxmet 21643  MetOpencmopn 21648  clsccl 23316  ⇝_𝑡clm 23524  1^stωc1stc 23735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-fz 13621  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-lm 23527  df-1stc 23737

This theorem is used by:  metcld  25607