Theorem metelcls 24050

Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 9928. The statement can be generalized to first-countable spaces, not just metrizable spaces. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metelcls.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metelcls.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metelcls.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
metelcls	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑃,𝑓   𝑆,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem metelcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metelcls.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metelcls.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	met1stc 23267	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
5		metelcls.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
6	2	mopnuni 23187	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	5, 7	sseqtrd 3915	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9		eqid 2738	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	1stcelcls 22205	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
11	4, 8, 10	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3841  ∪ cuni 4793   class class class wbr 5027  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  ℕcn 11709  ∞Metcxmet 20195  MetOpencmopn 20200  clsccl 21762  ⇝_𝑡clm 21970  1^stωc1stc 22181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cc 9928  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-fz 12975  df-topgen 16813  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-top 21638  df-topon 21655  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-lm 21973  df-1stc 22183

This theorem is referenced by:  metcld  24051