MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metelcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metelcls 25232
Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 10458. The statement can be generalized to first-countable spaces, not just metrizable spaces. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metelcls.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metelcls.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metelcls.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
metelcls (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑃,𝑓   𝑆,𝑓   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem metelcls
StepHypRef Expression
1 metelcls.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 metelcls.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
32met1stc 24429 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
5 metelcls.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
62mopnuni 24346 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
71, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
85, 7sseqtrd 4020 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 eqid 2728 . . 3 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1091stcelcls 23364 . 2 ((𝐽 ∈ 1stΟ‰ ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
114, 8, 10syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  β„•cn 12242  βˆžMetcxmet 21263  MetOpencmopn 21268  clsccl 22921  β‡π‘‘clm 23129  1stΟ‰c1stc 23340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-topgen 17424  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22795  df-topon 22812  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-lm 23132  df-1stc 23342
This theorem is referenced by:  metcld  25233
  Copyright terms: Public domain W3C validator