Theorem metelcls 24469

Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 10191. The statement can be generalized to first-countable spaces, not just metrizable spaces. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metelcls.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metelcls.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metelcls.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
metelcls	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑃,𝑓   𝑆,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem metelcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metelcls.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metelcls.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	met1stc 23677	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
5		metelcls.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
6	2	mopnuni 23594	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	5, 7	sseqtrd 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9		eqid 2738	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	1stcelcls 22612	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))
11	4, 8, 10	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℕcn 11973  ∞Metcxmet 20582  MetOpencmopn 20587  clsccl 22169  ⇝_𝑡clm 22377  1^stωc1stc 22588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-lm 22380  df-1stc 22590

This theorem is referenced by:  metcld  24470